CARTES GÉOGRAPHIQUES

Tantôt on en fait la perspective , c’est-à-dire qu’on imagine l’œil d’un spectateur place en un lieu arbitraire, mais déterminé , duquel il envoie des rayons à tous les points qu’on veut figurer : une glace interpose'e entre l’œil et les objets , coupe ces droites en des points qu'on suppose conserver l’empreinte des lieux ; cette glace offre leur image , telle que les voit le spectateur dont il s’agit. Tantôt on cboisit, sur un plan un système arbitraire de ligftes droites ou courbes pour représenter les méridiens et les parallèles, et l’on place chaque localité sur ce réseau , au point qui a la longitude et la latitude convenables : c’est ce qu’on appelle une projection. Les cartes des royaumes sont construites de la sorte ; les mappemondes sont des perspectives.

3io. Lorsqu’on veut tracer une carte par projection, l’art consiste à choisir pour méridiens et parallèles des lignes faciles à tracer, et dont l’ensemble altère peu les distances des lieux, et les surfaces. Il y a mille manières de varier le système de projection ; nous nous bornerons à décrire ici celles qui sont en usage, les seules qu’il soit nécessaire de connaître , renvoyant pour le surplus au Traité de Topographie de M. Puissant, p. 61 et 99, et à Y Introduction de M. Lacroix à la Géographie de Pinkerlon. De plus , l’aplatissement terrestre est trop faible pour être pris ici en considération, en sorte que la terre sera censée sphérique.

Mappemondes.

3u. La mappemonde est la perspective d’un hémisphère terrestre , sur un plan passant par le centre, l’œil du spectateur étant situé au point de la surface où elle est rencontrée par le rayon perpendiculaire au plan central. Cette perspective est appelée projection stéréographique.

Ainsi, l’on suppose l’œil du spectateur placé en un point quelconque de la surface, et qui en voit toutes les parties à travers la masse , comme si elle était transparente. Le plan de perspective passe par le centre de la sphère , et est perpendi-

284 CÊOMORPH1E.

culaire au rayon qui va à l’œil. C’est l'hémisphère opposé A ce plan qu’on représente. On imagine des lignes dirigées de l’œil aux diffe'rens points remarquables de cet hémisphère , et que ces droites laissent leurs empreintes sur le plan central. L’ensemble de tous ces points sera la projection stéréograpbique, ou la mappemonde.

Ainsi, dans la fig. 97, le demi-cercle AOB est horizontal, et AQB relevé verticalement au-dessus de AB. L’œil est en 0„ CO étant perpendiculaire sur AB se rabat au centre C. Le demi-cercle AQB tournant autour de AB se rabat sur l’horizon , et complète le cercle AOB : et de même AOB tournant autour de AB, va continuer, sur le plan vertical, le demicercle AQB. Un point P' de l’horizon a sa projection en p'. sur la direction du diamètre AB. Le point P a de même la sienne en p : en sorte que si PP' est l’axe terrestre, P et P' les pôles , situés sur le cercle horizontal , p et p’ en seront les projections.

3ia. Avant tout, il faut démontrer ce théorème fondamental : quelles que soient les positions d’ un cercle tracé sur la sphère, et de l’œil situé en un point de la surface , la perspective sera toujours un cercle, sur le plan perpendiculaire au rayon mené par l’œil.

En effet , si le plan du cercle NN' (fig. 97) est perpendiculaire au plan horizontal AOB, contenant l’œil O, les rayons visuels menés à cette courbe formeront un cône oblique NON' à base circulaire, dont l’axe Oc aboutit au centre c de ce cercle. Le plan vertical AB coupe ce cône selon une courbe nn, qui est la perspective demandée, et qu'il s’agit de prouver être un cercle. Or, si l’on fait tourner les lignes N0,N'0». autour de l’axe Oc, elles reproduiront ce cône NON', passant successivement par tous les points du cercle NN' et de sa perspective nn . Une demi-révolution amène le point n en m, et n' etl m', en sorte que la droite nn prend la position mm' qui est l’axe de la section transposée. Mais l’anglq N = n', puisque l’un a pour mesure ^AN'+j AO, et l’autre.

CARTES GÉOGRAPHIQUES. a85

\ AN' -f- j OB , valeurs égales : ainsi l’angle N'NO = mm' O ; mm est parallèle à NN', et le cône est coupé par un plan parallèle à sa base; la section mm' , et par conséquent aussi rut', est dont un cercle (*).

3i3. La même chose arrive quand le plan du cercle NN' a une direction quelconque par rapport au plan horizontal AOB (fig. 98). En effet, menons au centre c du cercle NN' la droite Ce ; cette droite sera perpendiculaire à son plan et en mesurera la distance au centre C de la sphère. Le plan COc mené par l’axe Oc du cône et la droite Ce, est perpendiculaire au plan NN', puisqu’il passe par Ce ; il coupe la sphère suivant l’arc QL, et le plan de perspective selon CL; cette perspective est la courbe nn'. On voit que le cercle NN' et sa perspective nn sont , à l’égard du plan OCc, précisément dans les conditions de la fig. 97. 11 suffira de faire tourner le plan QNO autour de QO, et de le rabattre sur QOA, pour ramener tout au même état que ci-devant.

3x4. Exprimons analytiquement les relations du cercle NN' (fig. 97) et de sa perspective nn'. Soit l’arc PN = A, distance de ce cercle à son pôle P, et l’arc PQ = D, distance de ce pôle au point Q diamétralement opposé à l’œil. La perspective sera le cercle nn' dont le centre est en 1, le rayon nz=={ , la distance Ci = « des deux centres C et ». La construction qui donne ces élémens est fort simple. On mène les droites ON, ON', qui coupent AB en n et n , et donnent le diamètre nn', dont le milieu i est le centre du cercle de projection.

Cherchons les valeurs des quantités « et ç; car cette construction cesse d’être possible, quand le cercle N N' est situé de manière à donner des lignes ON, ON', si divergentes, que les points n et n' sortent des limites de la feuille. Or, on a

rï

N'Q = N'P + PQ = D + A, NQ=D — A,

(*) Lorsqu'on cône oblique NON', h base circulaire NN', est coupé par un plan nn', tel que l’angle N' = n , la section appelée anti-parallèle ou sous-contraire , est un cercle, f'ny. mon Cours de Math, pures , n° 640.

286 CÉOMORPtlIE.

le rayon CO étant =: i, C n, C ri , sont les tangentes des angles GO/i, COn’, mesurés parles moitiés des arcs NQ,N'Q, d’où

C/i' = tang i (D A) = C7 , Cn = tang £ (D — A)=£ , (i) - =Ci=t(C»' + C«),. Ç = ï (Cb' — Cn) ;

Cn' ±Cn—

sin *(D-M) sin (D — A)

cos^(D-l-A) cosjfD — À)’

sin^(D +A)cosj(D — A) isin^ (D-A)cosj(D+A) cos i (D -J- A). cos j (D — A)

Lorsqu’on préféré le signe 4- , le numérateur se réduit k sin D ; dans le cas du signe — , il devient sin A : quand au dénominateur, il est =•’ (cos D4-COS A), en vertu de l’éq. (1 1) p. 35. Donc

sinD sinD . ,

Cf, *~~ * . . — ■ - ■ ■ ■ ... ' ^ fji

cosD-J-cosa 2cos^(U4-A)eos g (D — A) *

sin A sin A

* cosD4-cosa — 2cosà (D-f-A) cos j (D — a)" ‘

d’où. a : { :: sinD : sin A.

3i5. Ces éq. renferment toute la théorie des projections stéréographiques. Pour projeter un cercle donné sur la sphère, il ne s’agit que de prendre les valeurs de D et A qui résultent de la position de ce cercle sur la sphère. Et quand le cercle NN' (fig. 98) qu’on veut projeter n’est pas perpendiculaire au plan horizontal AOB , la section- n est encore circulaire ; mais son centre i est situé sur la droite CL d’intersection du plan vertical AQB avec le plan CQN'O. C’est ce qui sera développé.

3t6. Projection sléréographique sur l’horizon. Si le centre C de la carte (fig 95) est la place d’une ville , telle que Paris, ce lieu occupera sur la sphère le point Q diamétralement opposé à l’œil O; l’axe PP' de la terre fera avec A B l’angle PCA égal à la latitude l du lieu ; PQ sera la colatitude. Le plan vertical élevé sur AB sera celui de la perspective; et comme le plan

MAPPEMONDES

tangent en Q est parallèle à celui-ci et est l'horizon du lieu , on conçoit la cause de la dénomination de cette projection.

Tirez de l’œil O (fig. 97) les droites OP, OP', aux deux pôles P et P', vous aurez en p, p\ intersections avec AB, les projections p et p' de ces pôles , et celle pp' de Taxe PP'.

Les parallèles h l’équateur sont des cercles tels que N N' perpendiculaires à PP' et au plan AOBQ ; leurs projections sont des cercles dont on obtient le diamètre nri en tirant les droites ON, ON'; le milieu i de nri est le centre ; in = iri est le rayon de ce parallèle. Ainsi dans la figure q5, qui est celle de la mappemonde dont il s’agit, après avoir tracé le cercle AOBQ, les diamètres rectangles AB,OQ, Taxe PP' faisant l’angle PCA égal à la latitude / du lieu , on marque les projections des pôles en p et p', en tirant OP et OP'. Le pôle p est ici seul utile, parce que la mappemonde ne représentant qu’un hémisphère , ne montre qu’un seul pôle p.

Les lignes ON, ON' menées à des points N, N', à égales distances de P donnent le diamètre nri d’un parallèle, dont NP est la colatitude. La figure montre tous ces parallèles tracés pourdeslatitudes croissantes de i5en i5 degrés. QAOestl’e'quateur qui passe évidemment parles pointsQ ctO, car ce cercle étant perpendiculaire à PP7, et passant en C, sa circonférence perce le tableau en O et Q. La difficulté de concevoir les constructions tient beaucoup à ce qu’ici le demi-cercle AQB représente à la fois le plan vertical de perspective, soit debout sur AB, soit recouché sur l’horizon , et aussi le prolongement du demicercle horizontal AOB.

3 1 7. Lorsque les rayons deviennent très grands, comme pour les latitudes australes , cette construction devient très incommode; elle est d’ailleurs sujette au défaut de précision dû à l'obliquité des lignes menées de O sur AB. Calculons donc pour chaque parallèle le rayon f de sa projection , la place qu’occupe son centre 1, « = Ci, et les distances G et G' du centre C aux points d’intersection n et ri des cercles.

Faisons dans les éq. (2) et (3)

a88 GÉOMOKPHIE.

D = PQ = colatitude du lieu central de la carte (fig. 97 et 95 J , fi =90° — latitude l, constante pour tous les parallèles :

puis donnons successivement à A les valeurs de PN, ou les distances polaires des divers parallèles, mesurées sur PN'AOB • d’où

cos /

snu-f-cos A

sia A

^ sin/-J-cos A ’

€ = tang (45°— J/— iA).

Et d’abord , si l’on fait a =0 ou = 180°, les petits cercles se réduisent à un point/» ou p'; on a { = o, et l’on trouve pour les projections des pôles

sinD 1

.’= -ïïjlS- = cot - 11=0/.

cosD — 1 1 *

La projection de l’arc PP', ou la distance pp' entre celles des pôles, est

, 1 .• 1 sinJ-D . cosiD

PP = “»6;»+<»*5D = ÏSib+sî1p

sin* JD + cos* î D

sin j D cos \ D sin D ’

donc le milieu F de pp' est donné par CF= pF — pC

1 1 n 1 sin ; D

an® 2 asinJDcos^D cos^ D

r— 2SU»*iD cosD n„, , (6)

"sinD

" 2 sin jD cos JD sinD

: cotD= tang/.

3 1 8. En faisant croître A deo à 180°, on obtient les valeurs de u , f et C propres à déterminer la projection de chaque parallèle. Pour la partie australe, A ^>go°, et cos a prend le signe — ; « et ç sont très grands, les cercles ont peu de cour-

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MAPPEMONDES. 389

bure. Ces formules sont assez commodes à employer. Au reste, nous donnerons pour ces cercles un proce'dé plus facile encore. Pour l’équateur 4 = 90°, et l’on a

sinD . 1 1

'=c-SD = UneD==cot'’ « = SrfS = -S7'W

Si l’on veut marquer les tropiques et les cercles polaires , on fera a = 23° 28', 66° 3a'. Ainsi le tracé des parallèles n’offre plus aucune difficulté. On a coutume de diviser la circonférence AOBQ de 5° en 5° : nous avons pris ici des arcs de i5°, pour éviter la confusion.

3 19. Venons-en aux méridiens. Ces cercles passent tous par les pôles P et P' (fig. 97), et leurs projections par p et//; pp' est une corde qui leur est commune, et leurs centres respectifs sont par conséquent situés sur H'FH , perpendiculaire au milieu de pp'. Ce point F vient d’être déterminé (éq. 6) : il est d’un usage plus commode que le point p ', qui est souvent trop éloigné du centre C de la figure. Tous les points de H'FH sont les centres de circonférences passant en p et//, lesquelles sont les projections d’autant de méridiens terrestres. Déterminons celui de ces cercles qui est la projection du. méridien incliné de 6 sur le plan OBQ, c.-à-d. dont t est la long^ide.

Le cercle NN' (fig. 98) dont le pôle est en R, est situé d’une manière quelconque sur la sphère ; les éq. (2) et (3) s’y appliquent, dans le plan OCc perpendiculaire au cercle NN'. Ainsi la perspective est un cercle nn'f dont le centre 1 est sur la ligne LC oblique à AC : la distance Ct = a , et le rayon { = in sont déterminés par la position de NN' sur la sphère , c.-à-d. par la distance RQ de son pôle R au pointQ, et par l’angle AQL que font les plans RCO et AQBO. Pour que ce cercle NN' devienne un méridien , il faut faire A =90°, parce qu^tout grand cercle est à 90° de son propre pôle R. Quant à D, qui représente l’arc PQ (fig. 97), cette lettre n’a plus la valeur 90° — /, car le cercle ou méridien NN' (fig. 98) n’est plus perpendiculaire à l’axe terrestre , et passe au contraire par cet axe. Rem-

3Ç)0 CéOMORPHIE.

plaçons I> par -J,, quireprésente cet arc RQ, attendu que nous voulons conserver à D la valeur 90° — l.

Ainsi

• = tang 4 » •

COs4

= sec 4 ;•'••••

donc le centre i du cercle de projection est , sur la droite CL, distant de «du centre C, L étant le pointoù l’arc QRL, de 90% coupe le plan horizontal AOB, cet arc passant par le pôleR du cercle NN'. On décrira de ce centre i un cercle avec le rayon Mais il faut connaître AL —tp qui détermine la direction de CL et l’arc RQ=4> en fonction de S.

330. Le cercle PMP' (6g. 99) est un méridien vu en perspective; TT' est l’équateur. En faisant tourner PMP' autour de PP', le méridien prend toutes les inclinaisons 9 sur le plan AOB, le pôle R de ce cercle le suit dans sa révolution et décrit l’équateur, parcourant des arcs égaux à ceux de ce méridien : le triangle sphérique RQT , rectangle en T , comprend

TR =90°— 9, RQ = 4, QT = 90° — D , et AQL = ç>,

puisque Q est le pôle de l’arc AL. Ainsi l’on trouve

= sin D sin t , cot = tang# cos D. . . (11)

Chaque méridien a sa longitude 9, inclinaison de ce plan sur AOBQ ; on en tire les valeurs correspondantes de 4 et deip. La t" donne 4, et par suite, les éq. (9) et (10) donnènt « et f, qui déterminent le cercle de projection , dont le centre est sur la droite FH(6g. 97). La 2e éq. (11) donne la direction p du rayon Ci sur lequel on doit porter*.

32 t. Mais ces éq. fournissent une construction très simple. Dans le triiftigle pFa (fig. 101), où a est le centre de l’une des projections de méridien, et pa' son rayon ( , on a

pF = ç X cos F/m',

côs4 sin D

= sin 9.

MAPPEMONDES. 391

Ainsi l’angle F pa! est le complément de la longitude 6 du

méridien, dont la projection a son centre en a'. Donc; du centre p, décrivez un quart de cercle FS avec un rayon arbitraire (on l’a pris ici égal à F p) : divisez ce quadrans de 5° en 5", par ex. , à partir de S (on n’a pris ici les arcs que de i5° pour éviter la confusion); et marquez les divisions des n°’ 5, io, i5. . . de S vers F. Pour chaque point, tel que a, tirez pa, qui marquera le centre a' sur F1I du méridien dont la longitude est Sa = 900— Fa.

La droite AB doit visiblement couper la projection en deux parties symétriques ; chaque centre a' , b' . . . a son correspon- . dant a" , b” . . . à même distance de F, du côté H', et a en outre le même rayon.

La figure 102 est la mappemonde complète formée de la réunion des figures g5 et 101 ; l’une représentant les parallèles , l’autre les méridiens.

322. On est dans l’usage de tracer aussi l’écliptique sur les cartes de géographie : mais c’est faire une chose vide de sens, et propre à donner des idées fausses de ce cercle. Si l’on voulait composer une carte céleste > alors il faudrait le marquer. Cette projection s’obtiendrait 'facilement par les principes qu’on vient d’exposer. Les astres seraient rapportées à leurs ascensions droites et leurs déclinaisons. Quand on veut que les coordonnées soient les longitudes et les latitudes, l’écliptique tient lieu d’équateur dans la projection , qui d’ailleurs s’obtient par les mêmes principes.

323. Lorsque les rentres des cercles sont très éloignés, les plus grands compas ne suffisent plus pour décrire les arcs. On se procure alors trois de leurs points A, B, C (fig. io/}) et l’on trace la courbe, soit par un système de coordonnées rectangles (yojr. n° 35o),soit par la propriété de l’angle inscrit. L’arc, dans ce dernier cas, est décrit par le sommet B d’un angle constant ABC, assujetti à passer sans cesse par deux points A et C, et qu’on fait tourner; lesonunet devantpasser par B dans l’une de ces positions, cette condition détermine cet angle B mobile.

aga g£gmo»i>hie.

Comme alors les arcs ont peu de courbure , il suffit d’en marquer quelques points.

3a4. La recherche des trois points A,B,C se fait comme il suit :

i°. Pour les parallèles. Soit NN' un arc perpendiculaire à l’axe terrestre PP' (fig. ioo); le centre de la projection est supposé très éloigné de C. Le plan NN’ rabattu donne la circonférence Ng-N', et élevant la perpendiculaire f g sur le diamètre NN',/g,est l’ordonnée verticale du point de la projection qui est soit au-dessus, soit au-dessous de f. Ainsi portant^ de f en h et en h', h et h' seront deux points de la projection circulaire’; et comme on a déjà le point n, par la valeur (i) deCn = ff, ou par la construction indiquée, les trois points h, n et h! sont ceux qu’on demande pour tracer l’arc de projection.

2°. Pour les méridiens. Le grand cercle qui est incliné de 6 sur le plan horizontal AOB (fig. to3), et va de P en P' dans l’espace , est celui qu’on veut mettre en perspective. L’œil est en O et le plan vertical élevé sur AB est celui de projection. Or, ce cercle PGP* va percer le plan AGB en deux points qui sont leurs perspectives particulières : cherchons ces points. L’un d’eux, tel que G, détermine un triangle sphérique AGP' rectangle en A ; on y connaît l’angle P' qui est celui d’inclinaison, ou la longitude du méridien PGP, AP= i8o° — ly AG = x est l’arc demandé. Ce triangle donne

tangx = sin l tang S.

On peut donc trouver par le calcul l’arc x qui va de A (fig. loi) aux points G et I ; où chaque méridien GI coupe en G et I le cercle AOBQ dans lequel la mappemonde est enfermée.

325. On en tire une construction fort simple pour trouver ces points G et I de chaque méridien. D’un point quelconque F de AB (fig. 107), celui, par exemple, dont on s’est déjà servi (fig. 101) , abaissez la perpendiculaire FM sur l’axe PP' de la terre , et portez FM de F en K ; faites l’angle FKL = t, et la

MAPPEMONDES

droite KL coupera la verticale FH en un point L , par lequel tirant le diamètre LCG, cette droite coupera le cercle de projection aux points cherchés G et I , auxquels il est croisé par la projection du méridien dont la longitude est 9.

En effet, on a FM = CF.sin/ = FK,

FL = FK.tangô =CF.sin ZtangS

d’où tangLCF = gp =sin/ tangé = tang x ;

donc x ■= LCF. On décrit du centre K un quadrans qu’on divise de 5° en 5°, et l’on mène par ces points des rayons KL, dont chacun est incliné sur FK d’un arc 9, et donne un point L, un diamètre LG, et les points G et I. La droite GI est une corde de la projection du méridien dont la longitude est 9.

3 26. Projection sur le méridien. Appliquons notre théorie au cas où l’œil 0 (fig. 97) est en un point de l’équateur, et où par conséquent le plan du tableau de perspective AQB est un méridien : le plan vertical QO est l’équateur; et le plan de projection, tournant autour de AB, de vertical qu’ilétait, se rabat sur AOQB. Dans le cas actuel , l’axe PP' des pôles se confond avec AB.

Projection des parallèles (fig. io5). La construction indiquée p. 287, s’applique ici. PP' est l’axe des pôles ; l’équateur est projeté selon le diamètre- OQ ; divisez le demi-cercle OPQ de 5° en 5°, et opérez pour chaque point de division , comme nous allons le faire pour les deux points correspondans N et N' (nous n’avons pris ici que des arcs de i5°t pour éviter la confusion des traits). Tirez ON et ON', qui coupent l’axe PP' en M et M' ; MM' est le diamètre de l’arc NMN' qui figure un parallèle. Et si l’on ne veut pas se servir du point M', qui peut être fort éloigné , on trouvera le point M , et l’on fera passer une circonférence par les trois points N, M et N', ainsi'qu’on l’a expliqué n” 324.

On peut encore trouver le rayon ç de chaque cercle, et les distances du centre C au point M et au centre du cer-

CÉOMORPHIE.

cle de projection, savoir, £ et a, en posant D = 9o° dans les éq. (i) , (2) et (3) , p. 286 ,

( = tan g A = cot latitude / du parallèle,

a = = — — j, 6 = tang - l.

cos a smi

Nous donnons ci-après ces valeurs. On peut faire résulter la construction précédente de ces éq. ; car on a

l’angle NOQ = i /, CM == tang^ l,

CM' = tangi (1800 — l) = cot \l,

d'où CM' -f- CM = 2« = — — -r

sin l

La symétrie des cercles de part et d’autre de l’équateur OQ, fait trouver à la fois les deux parallèles à même latitude boréale et australe. (

327. Projection des méridiens (fig. 106). Ou se sert des mêmes divisions de la circonf. , et l’on raisonne comme nous allons le faire pour N et N', la longitude du méridien étant donnée par les arcs QN, ON'. On tire le diamètre NN', et du pôle F, les cordes P'N, P'N', qui coupent l’axe QO en f et f'y ff est le diamètre du cercle , passant en P et P'; le milieu i de ff est le centre. Un autre cercle symétrique à celui-ci , a même rayon , et son centre en V à même distance que./. Cette construction est une modification de celles de la p. 287. On peut d’ailleurs la tirer des éq. suivantes. On fait A = 90° et D = Ô dans les éq. 1 , 2, 3, p. 286, et l’on a

€ = Cf — tang(45«- i fl), £’= C /'= tang (45»+ \ fl)

côsï’

» ={— C/=ç4-C/'=tangfl.

La figure 1 09 est une mappemonde complète , formée de la réunion des parallèles de la figure io5 et des méridiens de la figure 106. C’est cette espèce de mappemonde qui est la plus usitée.

MAPPEMONDES

ag5

Table des valeurs de a, de f et de C , tant en tongiiude qu’en latitude , de 5° en 5°, le rayon de lu mappemonde étant i .

ou 9

. parallèles.

WÉHIDIENS.

et ==

•ri. '28'

GG. 3-j

2,3GGao

1 , Jo54 !

1 ,23077 1, 15470 t , to.338 1 ,ogoiG

i,o3528 1 ,oi543 i,oo382

1 1 ,43oo5 5,67128 3,7.3205 a, 73748 2,3o35i a, '415i 1 ,70205 1,42815 1, 19175 1 , 00000 0,83911

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