PROJECTION DE LORGNA

3oi

Tille quelconque. Car en imaginant le diamètre de la sphère terrestre qui passe par cette ville, et une suite de plans perpendiculaires à cette droite, on recomposera un système semblable à celui que nous avons considère, où les cercles étaient des méridiens et des parallèles à l’équateur. Il est vrai que pour donner à chaque ville la position qui lui convient, dans la nouvelle disposition de la mappemonde, les diamètres et les cercles concentriques représentent , non plus des longitudes et des latitudes , mais des arcs verticaux et horizontaux , ce qu’on appelle en astronomie des azimuts et des almicantarats, et qu’on ne connaît pas ces nouvelles coordonnées pour les divers lieux. Il faut donc calculer celles-ci, connaissant les longitudes L et latitudes/.

Soit P le pôle (fig. 1 1 4) > APCD le Ier méridien , B un lieu de la terre, C le lieu sur l’horizon duquel on veut faire la projection , et qui doit occuper le centre de la mappemonde. En conduisant les arcs de grands cercles PB, CB, on forme le triangle sphérique PCB, qu’il s’agit de résoudre. On y connaît l’angle P=L, PC-go” — latit. A du pointcenlral, PB=go° — /.

11 s’agit de trouver CB =jr et l’azimut C = z. y est le complément de la hauteur du lieu B.

Les éq. 1 , 5 et g . page 77, deviennent ici

tangp =cosL cotA,

Ainsi pour chaque lieu dont on a la latitude et la longitude, on calculera les valeurs de y et z qui déterminent la place de la projection de B sur la carte. De la sorte, on rendra la projection de Lorgna propre à représenter l’hémisphère terrestre, à peu près comme nous l’avons obtenu en perspective (6g. 102).

338. Projections orthographiques. Les perspectives que nous avons exécutées peuvent être considérées comme des projections à l’aide de lignes divergentes d’un point fixe (l’œil 0 du spectateur) sur un plan central. Mais si ce point.

cos p

sinz

sîn L

OUI y

cos /

smy

3oa GÉ0M0RPH1E.

est situé à l’infini, les lignes deviennent perpendiculaires à ce plan, et la projection est appelée orthographique. Le procédé n’est qu’une application des règles de la géométrie descriptive. Les cercles de la sphère sont projetés chacun par une système de parallèles qui forment un cylindre, dont l’intersection par le plan central donne une ellipse. Comme ce mode de construction est compliqué et d'un usage difficile, nous ne nous y arrêterons pas.

Projections coniques.

33g. Les mappemondes ont été imaginées par Ptolomée. Ce mode de construction peut convenir à la représentation d’un hémisphère terrestre, mais il n’est pas propre à figurer un état limité, qui n’est qu’une petite partie de la terre, ni même une grande étendue, comme l’Europe , l’Asie ou l’Afrique, parce que vers les parties éloignées du centre de la carte, les configurations éprouvent des déformations intolérables. Ainsi, l’on ne pourrait pas, sans de graves inconvéniens , représenter les territoires dont on demande la carte particulière, en isolant et agrandissant la portion de mappemonde où ils se trouvent. Tous les modes de projections ont à cet égard des défauts plus ou moins marqués, qui tiennent à la nécessité de figurer sur un plan , une portion de sphère ; on altère les distances entre les points , les figures des limites , les étendues superficielles. On a beaucoup varié les procédés ; nous nous contenterons de décrire ici ceux qui sont en usage.

34o. Pour commencer par la projection conique, imaginons’ qu’on demande la carte d’un royaume, tel que la France, renfermé entre des cercles donnés en longitude et en latitude. On suppose le globe terrestre enveloppé d’un cône tangent au cercle du parallèle du milieu, entre les limites nord et sud, et l’on considère ce cône comme coïncidant sensiblement avec ce parallèle et ceux qui en sont voisins. Ensuite on développe ce cône sur le plan de la carte, en Un secteur circulaire ; les

PROJECTION CONIQUE. 3o3

méridiens sont des droites convergentes au sommet du cône , centre du secteur; les parallèles sont des arcs de cercle qui ont pour centre commun ce même sommet , et sont également distans pour des graduations égales en latitude.

Ainsi, dans la figure n8, SMN est le développement d’une portion de surface conique ; MN , mn sont les parallèles extrêmes de la carte, AB celui du milieu; MmS,NnS les méridiens extrêmes, ODS celui du milieu.

Calculons les éléiuens de cette figure, pour en faire le tracé exact.

Soit ab (fig. 1 15) le diamètre du parallèle moyen sur le globe FuPôG; les tangentes sa,sb, et l’axe sc déterminent, par leur révolution autour de «C, le cône dont il s’agit ; en sorte que SA (fig. 118) doit être pris égal à sa (fig. n5); de plus l’arc AB doit avoir pour longueur celle de l’arc décrit par ac entre les limites des longitudes extrêmes de la carte. Ces remarques suffiraient pour faire l’opération graphique de la figure 1 18 ; mais pour plus de précision , il convient d’y appliquer le calcul.

Soit FG l’équateur (fig. 1 15) , P le pôle ; aF = / la latitude du parallèle moyen, ac = cos l, en faisant le rayon aC= i. Si D est le nombre de degrés en longitude que doit contenir la carte, c.-à.-d. salargeur ; et si de plus S désigne l’angle au sommet (en degrés) ASB du secteur développé ; on a AB = développement de D degrés de la circonférence ac-, d’où

, », ie D COS l .

i8o° : tt x ac (ou w cost) d : - — 6 ■ ■ ■ = ab

= la longueur développée sur l’arc moyen du secteur.

-Mais dans le triangle saC, comme su = SA, on a.,.. sa x= tang oCs (fig. 118), ou SA=eot/, puis

i8o° : a- x sa (ou wcot t) :: s : ab =

En égalant ces deux valeurs de AB, on trouve Dcos J=Scotf, ou ’ angle S = D sin l.

3o4 GÉomORPHIE.

34>- Ainsi, l’on tracera un angle MSN d’autant de degrés que le veut cette expression , et l’on aura l’angle S du segment développé. On prendra SA = cot /, ce sera le rayon de l’arc qui représente. le parallèle moyen : puis on portera, de A en Metrn, les longueurs développées en ligne droite du méridien F a P entre les limites de latitudes extrêmes. Si la carte

doit comprendre d degrés en latitude , Mm sera = — , et

l'on prendra les longueurs AM — km — ~-0 ( voj. la valeur

de/*° page 37) ; puis partageant AM et km en autant de parties égales qu’on voudra, on décrira du centre S des arcs qui figureront les parallèles de la carte. Quant aux méridiens, ce seront des droites partant du sommet S, et passant par des points également distans pris sur MN. Pour les régions éloignées du pôle, le centre S est trop loin pour se prêter à cette construction ( voy . ce qui sera dit n° 35o).

Il ne restera plus qu’à placer dans ce réseau chaque ville en son lieu , d’après la longitude et la latitude connues , à figurer les rivages, les montagnes, les sinuosités des rivières, etc. Cette construction est si simple qu’on la préfère souvent à toute autre , et la plupart des cartes particulières des états sont tracées d’après ce système.

342- Pour plus de précision, au lieu de faire le cône tangent à la sphère, on a imaginé de l’y inscrire, en le faisant passer par les deux cercles parallèles extrêmes, ce qui ne présente pas plus de difficulté. En effet , soit FG l’équateur (fig. 1 16) , P le pôle , ad l’arc de méridien du milieu de la carte , ac,a'c , les rayons des deux parallèles extrêmes dont les latitudes l et V sont Ga,Gfl' : la corde ad prolongée est sur la génératrice «L du cône. Ainsi en faisant tourner Lr autour de O, axe des pôles, ad engendrera la surface conique qu’on doit développer, et qui formera la carte.

l’angle s a pour mesure { (0 a — Fa') ; On = 90° -f- 1,

PROJECTION DE FLAMSTEED. « 3o5

ainsi / s = j (/ -f /'); ■ . tf.

et comme le triangle rectangle sca donne ac — as sin s ,

on a cos/ = as . sin - (/• -f- /') ;

d’où

cos / , cos V

as = skTIâ+Tj’ aj = ^-TTï-— . ’ilid

cos V sin i (/+/')*

Nous connaissons donc les éléinens du secteur développé;' le reste est comme ci-devant.

343. On peut encore faire en sorte que le cône soit dirigé par deux parallèles situés à mi-distance du parallèle moyen et des extrêmes; ce cône se trouve alors, partie interne, partie externe à la sphère. On place les points a et a de la fig. 116, non plus aux limites de la carte en latitude, mais au quart et aux trois quarts de l’arc de méridien du milieu. C’est ainsi que Delisle a construit 6a grande carte de Rqssie qui embrasse 33 degrés de latitude, et quia son parallèle moyen à 55 degrés de l’équateur.

Maintenant on préfère à la projection conique celle de Flainsteed modifiée, dont on va traiter; cette construction est plus exacte et ne présente pas plus de difficulté.

Projection de Flamsteed.

344- Dans cette projection (fig. 123) la verticale AB du milieu de la carte représente un méridien , que traversent, à égales distances, une série de droites perpendiculaires figurant les cercles parallèles à l’équateur. Ainsi après avoir tiré la vértiéale AB, méridien moyen, on y portera des parties égalés ab , bc , cd . . . destinées « représenter chacune un degré de latitude; et parles points de division, b,c,d, .. . on tirera des perpendiculaires MN,P(V,RS,'. . . qui seront les parallèles

Ëvf

3o6 GÜOMOUPHIE.

à l’équateur. Cela fait , on cherchera la longueur du degré de ces parallèles sous les latitudes successives MN , PQ . * . (voy. ci-après), et l’on prendra am,bp,cr , . . . respectivement égales à ces longueurs. Pour cela , on remarque que ab est la longueur de l’arc de i° du méridien , ou de l’équateur, grand cercle de la sphère ; construisant une échelle de parties égale» sur cette longueur de ab, on saura combien de parties de cette échelle doivent être comprises dans am , dans bp,.,, d’après les latitudes respectives de ces parallèles; et l’on prendra ces longueurs avec le compas, pour les porter de a en m, de b en/?. . . . Joignant ensuite les points m,p,r. . . par une courbe» ce sera un nouveau méridien de la carte. . . , . n»» «tas t

Prenant ensuite mo = am,pq = bp , lr = rc la

courbe oql. . . sera encore un méridien ; et ainsi des autres.

Bien entendu que , selon l’étendue de la carte , les parallèles pourront être tracés , si l’on veut , de 2° en 2° , ou de 5“ en S* ; ou de 3o' en 3o', etc. , en observant la même règle de

construction. -u-5,1’'- ' 1

.t oii.;.. ...... . • • . '/ . i 4