Venons-en maintenant au calcul de la longueur de

aies am, bp des parallèles. Soient BD,R'D' (fig. 1*3) Jej,

rayons de deux de ces cercles sur le globe terrestre ; les cir» conférences sont comme les rayons ; et comme BD est le sinus de l’arc AB , étant A le pôle, ou le cosinusde la latitude l d»

lieu B, on a ^B'b; ^cosF Ainsï-<£&*' difcs de parallèles qui ont memes graduations , sont entre eux comme les cosinus de leurs latitudes. Prenons l’nn de ces arcs sur l’équateur ; à cause de cos T =S 1 , on a

1*5'. J /ji il .;i p i :! • , ' . • 1 1 . It,

arc de D degr. de parai.— cos IXarc dèq. de D degr. de mér.j

. !■. .4» Ji, !>..’> . ’ ' ' '

et comme sur notre carte on a pris , à volonté , la distance ab pour Représenter cet arc de D degrés de l’équateur , d,ont op a fait une échelle , par exemple , de 1 009 parties , on ytpit jpfil , faut multiplier par 1000 les cosinus des latitudes l des cercles qui doivent entrer dans la projection.

PHOiGCTION DE ’fLAMsTEED. 3o»J

<: 3^6. Nous donnons ici, pour une échelle de *000 parties, «emprises dans o4 (fig. 123), le nombre de parties qui foitaent am, bp, cr, etc,,„ Ainsi l’on reconnaît que si M N est le cèrclë de 6o° - de latitude, la distance am est moitié de ab parce que le degré de parallèle n= ôoo. Celle d e bp pour 61? est 484,81; celle de rs pour 62° est 4%>47 etc. > ce» longueurs étant prises sur l’échelle dont ab , bc, cd. , . contient iooo parties égales. Ce sont tous les cosinus pour le rayon 1000.

Table des degrés de latitude, le degré de l’équateur étant 1 000.

.{ ! ’J . 1 . >! u. i r.Tfi I I •;

LÀT1T.

cosinus.

LATIT

Cosiiios.

LATIT

Cosinus .

LATIT

cosmtrs.

Sfta-

G^a^oo 669, i3

5iS,o4

iT>(),43

• 5oO,O0:

iai ,87

' 'Icr'.

347. Sans plus de difficulté, on peut, dans cette projection, tenir compte dé l’aplatissement de la terre. On ne divise plus le méridien du miliepr AB (fig. 1 23 ) en parties égales, w, ais On prend ces parties de mêmes longueurs croissantes vers, le pôle que les arcs de 1° du méridien. Ainsi en Françé ^ arc ab sera de 57012 toises , ou i; 1120 mètres à 45° de latitude : près de Dunkerque , on fera de de 1 11266 mètres, etc.

CÉ0M0BPHIE.

En outre , on prendra les nombres qui expriment les arcs de is de parallèle dans la table II à la fin du livre, qui donne les longueurs de ces arcs à différentes latitudes.

Il reste ensuite à placer, sur ce reseau , chaque ville au point qu’indique sa longitude et sa latitude , à figurer les côtes , les rivières , les montagnes , etc.

Cette carte , dont Flamsteed a fait usage pour dessiner ses planisphères, a l’inconvénient de déformer beaucoup les régions éloignées du méridien du milieu AB : c’est ce qui a fait donner la préférence à la modification suivante , oùles parallèles sont représentés par des arcs de cercle concentriques, comme dans la projection conique , p. 3oa.

w P-rojttction française , ou du dépôt de la guerre.

3<|8. Après avoir tiré la droite verticale SO ( fig. x 1 8) au milieu de la carte , pour représenter le méridien moyen , comprendra sur cette ligne des longueurs ab , bc, . . . d’autant de parties d’une échelle arbitraire , que chaque degré du méridien contient d’unités métriques (par ex. environ 5701 21*1 ou nii20m à 45° de latitude). On prend ensuite aS, comme n* 34 1 1 égal à la cotangente de la latitude du lieu central a. ou- plutôt , pour avoir égard à l’aplatissement de la terre , on fera nS.cgal à la tangente du méridien elliptique au point qui a cette latitude centrale , tangente terminée à l’axe 'des pôles. (Cette longueur est KM, fig. 78. ) Du centre S, *>n décrira les arcs mn, AB, MN , etc. , par tous les points de "division du méridien moyen SO; ce seront les représentations des parallèles. Sur chacun de ces arcs, on portera des parties égalés aux longueurs respectives de l’arc de t° sous les latitudes correspondantes. Par ex., si MN est le parallèle de 60 degrés, on preiidra les parties égales, des deux côtés du point O, chacune de 28616 toises, où 5 $77 4 mètres, qui est la longueur de 'l'arc de t° de parallèle à cette la'titude. (Fojr. table II.)

On joint enfin les points de division de même rang sur ces àrfs'pàrallèlcs , par «les lignes, et l’ori obtient lés méridiens, tant à droite qu'à gauclre. Ces lignes forment une courbe qui

PROJECTION FRANÇAISE

3og

se présente ici avec la forme polygonale; mais comme on peut espacer les parallèles et les méridiens seulement de 4°’ ou 3o' ou moins encore , ces petites lignes mises bout à bout se réunissent en forme de courbe. Dans les cartes qui représentent les lieux sur une grande échelle, on espace même les cercles de minute en minute , sauf à effacer ensuite ceux des arcs qu’on ne croit pas nécessaire de conserver.

34g. A proprement parler , l’espace ab du méridien , qui sépare deux parallèles est arbitraire ; il n’est déterminé que lorsque le rayon sa l’est lui-même : mais comme ce rayon est donné par la cot / , on a coutume de prendre à volonté l’arc ab , qui représente une longueur métrique connue ; on prend cette distance sur une échelle de parties égales, appropriée à l’objet. Mais ensuite le rayon sa est déterminé, et = cot / , qu’on trouve sur la même échelle, d’après la valeur numérique de ce rayon.

Pour tracer une carte selon la projection de Flamsteed modifiée , il est bon de calculer l'amplitude de l’arc moyeu AB, parla formule angle S = Dsin/, p. 3o3, D étant le nombre de degrés de longitude que la projection doit embrasser, et l la latitude du parallèle moyen dont il s’agit ; et l’on divise ensuite cet arc en parties égales, pour obtenir les points de section des méridiens. On évite ensuite les petites erreurs dues à ce qu’on regarderait l’arc de i° comme égal à sa corde. Au reste, ce qu’on va dire de l’application du calcul à cette projection lève toutes les difficultés.

35o. On est arrêté dans ces constructions par l’imposs4bilité de décrire des cercles d’un très grand rayon ; car les régions qu’on veut figurer sont si étendues, le plus ordinairement, que le centre S se trouve trop éloigné pour que les plus grands compas puissent y suffire ; cet inconvénient se rencontre surtout dans les basses latitudes. Il est donc préférable de déterminer les arcs de cercle par points , à l’aide du calcul : c’est ce que nous allons exposer.

On tracera , au milieu de la feuille , les perpendiculaires

3 io

GÉ0M0RPHIE.

indéfinies CA, N'N (fig. 1 19) -, N'AN représente le parallèle moyen de la carte ; ou connaît le rayon CA = Il cot /, R étant le rayon terrestre, et l’on suppose que la distance CA = r est trop grande pour que le parallèle puisse être décrit d’un mouvement continu. La carte doit embrasser D degrés de longitude ; ainsi l’angle N'CN = C est connu et = D sin l , l étant la latitude du parallèle N'AN. Faisons la corde N'N = 2ct, et la partie CI =£ ; ces lignes sont connues , car le triangle rectangle NCI donne

NI =»=nsiujC, CI = rcosîC = £, Al = r(i — cosjC),

AI = 2rsin* j C ( éq. 6, p. 35).

Ou a donc les limites N, N' de l’arc eu longitude, et son point A de rencontre avec le méridien principal. L’éq. du cercle dont l’origine est en C est x2 = r* ; pour la porter en I , il faut cbanger x eu x -f- Z , et l’on trouve (x -J- C)2 = r 2 -rj2 r

x = ÿ'(r+jr)(r — r)-— C. , . .

Pour un point M de l’arc, IP = jr , PM = x. Ou divisera IN en parties égales , et pour chaque point de division, on trouvera l’x correspondant; en sorte qu’on obtiendra autant de points qu’on voudra de l’arc AN, et par conséquent de AN', qui lui. est symétrique.

35r. Si l’on veut tracer les droites NC, N'C tendantes au point éloigné C , on se servira du théorème suivant.

Lorsque deux lignes ba , de (fig. 120) concourent en C, on peut , sans connaître ce point C , tirer d’un poiht f donné, une droite fg qui concoure en ce même point C. En effet , menez ac, bd, parallèles quelconques, pais la droite fd , et parle point c, sa parallèle indéfinie ch ; vous aurez les proportions

Cd : Ce y. bd : ca, Cd l Ce df : cg ;

oji a donc bd ; ca :: df\ cg. Portez donc sur ch la longueur

• > iJMü •

projection française. 3 i t

quatrième proportionnelle à bd , ca et df, la ligne fg ira concourir au point C. ^

352. Il ne reste plus qu’à diviser en parties égales l’arc N AN' (fig. 1 19) pour avoir les points de section des méridiens avec ce parallèle ; et même s’il s’agissait ici de la projection conique, on tracerait ces méridiens, puisqu’ils sont , dans ce cas, des ’ droites concourantes en C. Il «y» est autrement dans la projection de Flamsteed modifiée.

A partir de A , milieu de la carte, on portera sur AC, tant • en haut qu’en bas , des longueurs égales à l’arc de i° de méridien , et il restera à tracer, par points , chacun des parallèles passant par ces divisions et dont les rayons r , /■"... sont visiblement connus. Ou pourra donc , pour chacun de ces arcs, se servir des mêmes formules, en y prenant /, r", ... au lieu de r.

Mais comme nous faisons abstraction, dans ce qui précède, de l’aplatissement de la Terre , il convient de généraliser cette théorie.

353. Étant données la longitude A et la latitude X d'un lieu, trouver les coordonnées rectangles x et y du point de la carte où ce lieu est situé (fig. 121).

Soit C le centre de la projection , AK le parallèle du milieu, dont la latitude est l ; BM un autre parallèle dont la latitude est x ; M le point dont il s’agit , dont les coordonnées sont AP = x , PM —y, AX étant tangent en A et perpendi- ' culaireau méridien principal CA, ona AB = s= distance en latitude des deux parallèles ; cette longueur » est connue par l’éq. (19) , p. 186 , et représente un arc de méridien de (a — l) degrés. Le rayon CÂ=r du parallèle moyen est aussi connu: c’est la longueur KM (fig. 78) qui, dans le triangle rectaugle KMN, où MN — N est la normale , a pour valeur r=Ncot/.

Soit encore 0 l’angle ACM que font les deux rayons CB, CM, le triangle CQM donne, en faisant CM=ç, s ,

QM é= x= {sinû, CQ = {cos6,

JT — PM = BQ -4- s — s -f- BC — CQ ~~ r -j- ç — ç co sO •

. -mr

3l2 géomorphie.

donc x = ç sin 0, y =.s + g(i — cosû) = s -{- 2 g siu'^O.

On peut même éliminer g de cette dernière e'q. à l’aide de la t"

. , . i — cos 6 5

x^esinô, r = t+i. — ; = # -j- .z tang £ 0.

* sinô

g est connu, puisque gs=r — s; ainsi il ne reste plus qu’à trouver 0, et l’on aura pour cliaque point M de l’arc BM les deux coordonue'es x et y. Bien entendu qu’il faut prendre# en signe contraire pour les parallèles situés au-dessous de AK, c’est-à-dire quand la latitude a du point M est

La longitude donnée est A, c’est un arc d’équateur. Si l’on prend un arc de la graduation A sur le parallèle, la longueur de cet arc sera 0 , puisqu’on détermine Je point M sur la carte, en prenant BM d’autant d’unités métriques que cet arc de parallèle en contient sur la terre. Ainsi A et 0 sont des arcs de même longueur, mais pris dans des cercles différens , dont les rayons sont g pourO, et x' pour A, x' ayant la valeur donnée p. 193 pour le rayon du parallèle, sous la latitude a. (C’est OM, fig. 78.) Ou a donc x' — N'cosA, N' étant la normale en M, ou en B. Les nombres de degrés des arcs égaux A et 0 étant entre eux en raison inverse de leurs rayons x' et g , on a A ‘ 8 X g ; x’ ; d’où