CHAPITRE IV

58. La détermination de l'étendue superficielle d'un champ est facile à faire lorsqu'il est levé par le secours de l'équerre , parce qu'on connaît les bases et les hauteurs des parties élémeutaires de celte surface. Quand on a fait usage du graphomètre, il faut calculer ces éléments par des résolutions de triangles. En général , ces aires sout toujours le produit de deux longueurs qu'on exprime en mètres, et le produit est des mètres carrés; pour l'énoncer en ares, il faut diviser par loo , parce que l'are vaut loo mètres ; pour avoir des hectares, il faut diviser de nouveau par loo. Ainsi , en reculant la virgule vers la gauche de 2 ou de 4 rangs, l'aire est exprimée en ares ou en hectares.

Par exemple, que l'aire soit le produit de 453 mètres par 339 mètres, elle sera ou 149037 mètres carrés, ou 1490,37 ares , ou 14,9037 hectares, c'est-à-dire i4 hectares 90 ares 3^ centiares.

59. Toutes les fois que la figure du champ sera géométrique , ou réductible à cette forme {cercle, parallélogramme, triangle, polygone), les théorèmes connus reçoivent leur application. Mais s'il y a des limites courbes, il faut décomposer ces lignes en parties qu'on considère comme de petites droites, ce qui ramène l'aire à des formes géométriques que l'on calcule , par portions distinctes , par les procédés ordinaires. Au reste, le théorème de Simpson donne l'aire avec une plus grande approximation; voici en quoi il consiste.

Cherchons d'abord l'aire d'un petit segment CEM (fig.[iii) d'une courbe quelconque rapportée aux axes rectangulaires Ax, Ay, et nommons ac l'angle MCH formé par la corde CM avec Ax. Menons l'ordonnée KE par le

milieu K entre les ordonnées terminales CB, MP. On peut sensiblement regarder l'arc CM comme appartenant à une parabole dont le sommet L répond au milieu I de la corde. L'aire du segment est donc

CEMI= |CM.LI.

Or les triangles LEI , MCH , donnent

CEMI = - El X CH.

Cela posé , faisons BK = KP = fi, CB = y', KE = y% PM = jr"'; l'aire CBPM se compose

du trapèze CBPM = Afj-' + r"). «de CEMI= | ^.EI.

Or

EI = EKL-Kl=.i{2y-/-j'"}; donc le segment

et la petite aire

Supposons l'aire plane BACD {Jig- 45) qu'on veut arpenter, limitée par la courbe AC, la droite BD et les perpendiculaires ÂB, CD^ on coupera la base BD en un nombre pair de parties égales, dont h sera la longueur, et par les points de divisions on mènera des ordonnées y, y", y'" y ..., y", qui couperont l'aire en éléments dont les surfaces respectives seront exprimées deux à deux par la formule ci-dessus : la 2', la 3*, ... seront

vGooglc

62 TOPÛGBAPHie.

la somme

CD = I A [^ (/'+/') + (/"H-j^+'-r^') 4- {y"+x"-\-r'-r—)j •

Tel est le théorème de Simpson : l'aire formée d'un nombre pair de trapèzes rectangles et curvilignes se trouve en prenant la moitié de la somme des ordonnées extrêmes , plus la somme de toutes les coordonnées, celles-ci exceptées, plus enfin celles de toutes les ordonnées de rangs

pairs; le tout multiplié par ^ h.

La même règle s'applique évidemment au cas où l'aire est, comme ACFE, terminée par deux courbes opposées, en appelant/'. j'",j'", etc., la longueur totale de chaque parailèle.

Plus h est petit, plus le résultat est approché de l'aire demandée. Ce théorème s'applique à toute surface irrégulîère, parce qu'on peut la décomposer en d'autres qu'on évalue séparément, et qu'on ajoute ou retranche ensuite, scion les cas. Lorsqu'il arrive que la hase se trouve coupée par la courbe, la même règle reçoit son application , eu faisant égale à zéro l'ordonnée du point de section.

60. Lorsqu'on veut arpenter un terrain, il est utile d'en faire lever le plan, parce qu'il est facile de faire au crayon, sur le papier, les tracés de subdivisions qui sont propres à former des aires partielles commodes à évaluer : on obtient avec le compas des longueurs approchées qu'on peut ensuite vérifier et corriger sur le terrain.

Quand le sol est en pente, on réduit tes longueurs à l'horizon , comme dans le levé du plan ; parce que c'est la projection horizontale qu'il faut arpenter. En eâet, il est reconnu que l'étendue productive d'un sol n'est pas le développement des accidents de la surface : la projection a , il est vrai, une aire moindre que celle qui est inclinée; mais

l'espace de terre qu'il faut pour la croissance des racines, et la masse d'air nécessaire à la végétation des plantes , réduisent l'aire inclinée à sa projection horizontale, lorsqu'on mesure les produits. D'ailleurs, si l'on accorde un faible avantage à l'aire inclinée sur sa projection, elle est plus que compensée par les difficultés de la culture , à moins que l'inclinaison du sol ne soit une des conditions de succès, comme dans le cas des terres à vignes. La mé' thode de cuhellation est celle qui consiste à réduire ainsi les aires inclinées à leur projection. L'exposition failc n"' 46 et S3 contient tout ce qui est nécessaire pour ce genre de calculs.

Le plus ordinairement , les champs , les bois , les pai-cs , sont limités par des lignes droites, et quelquefois même leur forme est celle de rectangles , de parallélogrammes , de triangles, etc. Nous récapitulerons les théorèmes de Géométrie qui s'appliquent à l'arpentage de ces figures.

ï". La surface d'un rectangle ou d'un parallélogramme est le produit de sa hase par sa hauteur : on prend pour base l'un quelconque des côtés ; la hauteur est la distance de ce côté à celui qui lui est opposé , mesurée sur une perpendiculaire aux deux.

2°. La même théorie s'applique au triangle, mais on ne prend que la moitié du produit, parce qu'un triangle est la moitié d'un parallélogramme de même hase et de même hauteur.

3°. L'aire d'un trapèze est le produit de la somme des deux côtés parallèles par la moitié de leur distance, ou, si l'on veut , le produit de cette distance par la parallèle menée À distances égales de ces deux côtés.

4". L'aire d'un polygone s'obtient en le décomposant en triangles par des droites menées d'un point intérieur [coaraie fig. a6), ou par des diagonales menées d'un même sommet. On cherche les aires de ces triangles et on les ajoute.

nigtijeUi-vGoOgle

Si le pofygone est régulier, sa surface I /i8o"\

R étant le nombre des côtés, et a la longaeor d'un de ces côi^.

5". Nous avons donné (o° 36) l'aire d'un triangle dont on a les trois côtés : si l'on connaît deux c6tés b, c et l'angle compris A , la surface

Enfin, lorsqu'on a un côté c et les deux angles adjacents A. et B , l'aire

2 siii(A-hB) 2 sînC

6°. L'aire d'un quadrilatère se trouve en le divisant par une diagonale en deux triangles qu'on évalue séparément : cette aire est aussi égale à la moitié du produit des deux diagonales multiplié par le sinus de l'angle qu'elles forment entre elles.

j". L'aire d'un cercle de rayon R est

= 7tR',

TT éum 3,i4i59. {Fcr^-ez n" 33.)

8°. L'aira d'un secteur de cercle dont l'arc a n degrés est

ff «R* ~ 36o ■ Celle d'un segment

On trouve que

9°. L'aire d'une ellipse dont les demi-axes sont « et A,

Toutes ces propositions sont démontrées dans mon Cours de Mathématiques pures.

Lorsqu'on doit arpenter un terrain formé de diverses parcelles dont on veut avoir les aires séparées , comme cela arrive pour les opérations cadastrales , on évalue d'abord l'aire totale des pièces réunies , puis les aires des parcelles ; et l'on examine si la somme de celles-ci reproduit l'aire totale. On estime qu'une diSérence en plus ou en moins de jyj n'est pas une erreur assez grave pour nécessiter que l'opération soit recommencée. Ces évaluations se font sur le plan, à l'aide de subdivisions qu'nn fait avec le crayon.

6) . L'arpenUge comprend aussi le mode de division des héritages dans le rapport des droits des partageants. Ce problème n'est pas sans difficultés, surtout lorsqu'il comprend des conditions particulières d'intérêt ou de localités : comme lorsqu'il s'agit de faire aboutir les sentiers de séparation à un point déterminé , tel qu'un puits commun , une porte, une voie publique, etc.; et aussi quand le terrain a des parties irrégulières ou coursons, et qu'on veut que chaque partageant ait une portion de ces désavantages.

Pour résoudre cette question , on évalue l'aire totale en nombres, et l'on divise le résulut dans les rapports assignés , afln de connaître le nombre d'ares que doit i chacun. Puis, opérant sur le plan, et par quelques e approchés , on trace des lignes de séparation présiunées : on mesure ces aires partielles , et l'on reconnait la quantité que chacun se trouverait avoir de trop ou de moins; on corrige ensuite ces résultats ainsi que uous allons l'exposer.

62. Supposons qu'on ait présumé que la droite El ( fig. 46) coupe le quadrilatère ABCD par moitié , et qu'en arpentant chaque partie M et N, l'aire M surpasse N de a mètres carrés : voyons comment on devra déplacer la droite El pour que les deux parts deviennent égales. II faut r. 5

66 TOPOGltAPHlË.

rendre -a à N aux dépens de M. Od abaissera la perpendiculaire EH ^ h sur AB , et On la mesurer^ : divisant l'aire - a par - A , on portera de I en F le quotient ç =^ - := IF ; la droite EF coupera la figure par moitiés, puisque le triangle EIF :=~qk = -a.

On peut encore transporter la ligne de séparation vers AD (fig- 5o) , de El en FG, parallèlement à El, en faisant

en sorte que l'aîre EFGI= -a = EIX mn: donc la distance mn = —7^' Et si l'on veut que le sentier de séparation passe en un point donné f, on prendra F/"^ Gg, et l'on mènera FJ'g, qui sera la droite demandée.

Cette solution suppose que les côtés AB, CD sont parallèles; mais il n'en peut résiUter d'erreur sensible qu'autant que ces lignes seraient très-inclinées l'ime sur l'autre ; et encore, dans ce cas, on accepterait cette solution comme approchée, et on la corrigerait ensuite par le même procédé. Cette méthode n'est qu'une suite d'essais ; mais elle est très-courte dans la pratique, surtout pour avoir égard aux conditions pariiculières du partage.

On veut partager un champ de i''"',025o en trois portions qui soient comme a , 3 et 5, Par des proportions, on trouve que les parts sont 2o'"',5 , 3o""',75 , et 5 i*"°,a3. Il s'agit donc de mener à travers le champ deux droites qui le coupent en aires respectivement égales à ces nombres. B sera facile de tirer une droite qui sépare à peu près 20 ares d'un côté, et l'on corrigera ce résultat d'après ce qu'on vient de dire, en y ajoutant 5o mètres carrés. Ensuite il faudra séparer, dans ce qui reste, 5i'"',a5 par- le même moyen. La troisièmepartdevra se trouver juste deSo'^'jjS. En opérant ensuite sur le terrain, on vérifiera si, en effet, les aires sont ce qu'elles doivent être, et l'on coriigera de nouveau s'il est nécessaire. Toutes ces opérations , faites

nigtijeUi-vGoOgle

d'abord au crayon sur le plan , et transportées sur le terrain , conduisent enfin à un arpentage iinal exact.

Supposons iju'on veuille partager le polygone {fig- 29) en deux parties égales; on commencera par eu évaluer la surface totale, qui, d'après les nombres qui y sont inscrits, eside 264344°"')67 : la moitié iSsiaa, 33 est l'aire de cbacune des deux parts. On tire la droite AD qui sépare le triangle ADE; on en cherche la surface, et l'on trouve

[n° 60, 5°) qu'elle est -•^■^o.^iG.&xmi'j'', c'est-à-dire

5oo38""i,93. Retranchant du nombre ci-dessus, on voit que pour compléter l'une des parts, il faut à l'aire ADE ajouter 82083"^, 4»' L^ perpendicidaire abaissée du sommet D sur la base AB est de 4S9'°>3 ; divisant le dernier nombre par 229,6, moitié de celui-ci, le quotient est 355™,34, longueur qu'on prendra de A en I. La droite DI sera !a ligne demandée, qui coupe en deux moitiés la surface du polygone. En eiTet, l'aire du triangle ADl est de 229,6 X 355,34 = 82083, 4; celle du triangle ADE ^ 5oo38,93, et ces deux aires réunies valent 132122"° '',33, moitié de la surface totale du polygone.

Observez que ; 1° si le contour AED, au lieu d'être composé de deux droites, l'eût été par des parties courbes et i r régulier es , on aurait pu employer le même procédé, seulement il eût été plus difficile de trouver l'aire ADE, et il aurait fallu recourir à la méthode de Simpson (n" 59).

2". Si l'on exige que la ligne droite de séparation des deux parts , au lieu d'être DI , vienne aboutir en un point donné L , il restera encore à trouver, par le procédé indiqué ci-devant, la direction de la ligne KL qui satisfait à cette condition .