TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE

Notions fondamen taies .

63. Trois plans, MON, NOP, MOP (/g.5i) qui se coupent dans l'espace en un point O forment un trièdre; une sphère quelconque qui a son centre en ce point O, est coupée par ces plans selon trois arcs de grands cercles CA, CB, AB, qui composent un triangle sphériqueACB. Les angles plans du trièdre O sont respectivement mesurés par les côtés ou arcs de ce triangle , savoir, l'angle NOM par AB, MOP par AC, et NOP par BC. Un angle C du triangle est mesuré par celui que forment deux taogentes en C aux arcs coutigus AC , BC ; ces tangentes situées dans

nigtijeUi-vGoOgle

yO CÉOMOBFHIE.

les plans de ces arcs , mesurent l'angle dièdre de ces mêmes plans , c'est-à-dire l'angle NOPM , parce que ces tangentes étant perpendiculaires à OC , déterminent im plan perpendiculaire à ce rayon , qui est l'intersection des deux plans NOP, POM : ainsi , l'angle C, celui que font ces tangentes, mesure l'inclinaison de ces plans l'un sur l'autre.

Donc les angles plans du trièdre O sont mesurés respectivement par les côtés du triangle sphéritjue ABC, et les inclinaisons des faces le sont par les angles respectifs de ce triangle.

Étant données quelques parties d'un trièdre, si l'on se propose de trouver les autres , le problème revient à déterminer certains éléments d'un triangle spliérique , lorsqu'on connaît les autres. Jly « sixparties, trois angles A,B, C, et les trois côtés respectivement opposés a, h, c, ou, sil'on veut, trois angles dièdres A, B, C etles trois anglesplans Opposés a , b, c. Nous verrons bientôt que quand on connaît trois de ces six éléments, on peut ^>ujours trouver les trois autres.

D'après cela que, d'un point O, on dirige des rayons visuels â trois points M, N, F de l'espace, tels que des étoiles, des signaux, etc. ; ces lignes sont les arêtes d'un trièdre O, dont les éléments constituanis sont ceux d'un triangle sphérique ABC. Ce triangle est formé par les sections des faces de ce trièdre avec la surface d'une sphère de rayon arbitraire, dont le centre est placé à l'œil du spectateur.

6t. Ces principes servent à démontrer les théorèmes suivants :

1°. Tout angle plan d'un trièdre étant nécessairement m.oindre que deux droits , chaque côté de tout triangle sphérique est <; 180"; chaque angle du triangle est aussi plus petit que deux droits (c'est ce qui résulte anssi du triangle polaire ; voyez n° 6S ci-après).

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TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQVE. ^I

> 180" pour valeur de l'un des éléments de triangle sphérique , cette solution devra Être rejetée comme impossible , ou du moins remplacée par le supplément de cet arc : et les cosinus, sinus, tangentes, etc., ne peuvent appartenir «ju'à un arc moindre que la demi-circonférence.

3°. Puisque la somme des angles plans de tout angle polyèdre est toujours moindre que quatre droits, îa somme des trois côtés de tout triangle sphérique est <^ 36o". L'angle trièdre d'un cube étant formé de trois angles plans qui sont droits, on voit que cbacun des côtés d'un triangle sphérique peut être de 90 degrés , et évidemment il peut aussi surpasser 90 degrés.

3". Deitjc triangles sphériques sont égaux lorsque leurs trois angles, ou leurs trois côtés, ou deux côtés et Fangle compris, ou deux^ angles et le côté adjacent , sont respectivement égaux chacun à chacun. On suppose les rayons des sphères égaux, et ces théorèmes se démontrent, ainsi que les deux suivants , par les mêmes procédés que pour les triangles rectîlignes-

4". Dans un triangle sphérique isocèle, l'arc abaissé du sommet perpendiculairement sur la base, divise par moitiés cette base et l'angle du sommet : les angles égaux sont opposés aux côtés égaux , et réciproquement.

5°. Dans tout triangle sphérique , le plus grand angle est toujours opposé au plus grand côté, le moyen l'est au moyen, le moindre au plus petit.

6°. Un côté est toujours moindre que la somme des deux autres, et plus grand que leur différence. En effet, la somme des deux angles plans d'un trièdre surpasse le troisième , d'où a<^b -i- c,b<:^a~^- c; donc a^ b — c. Donc aussi la demi-somme des trois côtés d'un triangle sphérique surpasse toujours un quelconque de ses côtés j car en remplaçant h-i-c par a-\- i, a-t- b-\-c devient = iia>-+- i; ainsi le demi-périmètre est ^ a H — i'^a.