Coupons notre trièdre O par trois plans respcctive
nigtijeUi-vGoOgle
7» GÉOMOBPHIE.
ment perpendiculaires aux arêtes; ces plans détermineront un second trièdre O' {fig. 4S) opposé au premier : il s'agit de prouver que les angles plans de l'un de ces trièdres sont suppléments des angles dièdres de l'autre, et réciproquement.
En eOèt, l'une des faces du trièdre proposé O, étant MON, menons, en des points quelconques N, M, sur les arêtes OM , ON , deux plans perpendiculaires à ces droites , et par suite aux faces MON , MOP d'une part , MON , NOP de l'autre; les angles M et N du quadrUalère OMP'N sont droits ; " l'angle P' est donc supplément de MON. Mais ces deux plans coupants sont des faces du nouveau trièdre O', etse coupent suivant la droite O'P', arête de ce corps. L'angle dièdre formé par ces plans est visiblemetit mesuré par l'angle MP'N, puisque le plan de cet aqgle est perpendiculaire à ses deux faces. Donc l'angle plan MON du premier est supplément de l'angle dièdre P' du second. Il en faut dire autant des deux autres faces MOP, NOP, qui sont supplément des angles MN'P, NM'P. Les angles plans du trièdre O sont donc respectivement les suppléments des angles dièdres du trièdre opposé G'.
Réciproquement, les angles plans du trièdre O' sont les suppléments des angles dièdres du trièdre O, par la même raison.
On conclut de là qu'en imaginant deux sphères de même rayon, dont les centres sont aux sommets Cet O', formant deux triangles sphériques ÂBC, A'B'C. les c6tés de l'un de ces triangles sont les suppléments des angles de l'autre, et réciproquement. L'un des trièdres ou des triangles est appelé polaire ou supplémentaire de l'autre.
66. Étant donné 'un triangle sphérique dont A, B, C, (fig, 48) sont les angles , et a, i,c, les côtés respectivement opposés, on peut toujours en construire im autre dont A', B', C sont les angles, a', &', c' les côtés, tels que A, B, C soient les suppléments respectifs de a', b', c', et a, h, c
TRIGONOMÉIBIE SPUÉRIQUE. ^3
suppléments de A', B', C, savoir :
Oa voit en outre que la somme des trois angles de tout triangle sphérique est toujours comprise entre deux et six droits. En effet , d'une pan chaque angle étant moindre que deux droits , A 4- B + C <^ 6 droits ; et d'une autre part , en ajoutant les trois équations (3) on a
A + B + C = 6 droits — ( a'-t- fr' + c*] ; et comme on a vu que <i'+5'+c'<^4droits (n° 64, 2"}, on Toit que A -+- B + C |> 2 droits.
Les équations (1] et (a) sont fort utiles, car elles réduisent à trois les six problèmes de la trigonométrie sphérique, qui consistent à trouver trois des six éléments d'un triangle, lorsqu'on connaît les autres. Supposons, par exemple, qu'on saclie trouver les trois angles A,B,C, quand on vonnaît les trois c6tés a, b, c : réciproquement, si l'on donne les trois angles A , B, C , pour trouver un côté a , on substituera au triangle son supplémentaire Â'B'C, dont on connaît les trois côtés a', b', c', par les équations (3) ; et lorsqu'on aura trouvé l'un A' des angles, l'équation (i) donnera le côté opposé
En sorte qu'il suffit de savoir résoudre un triangle dont on connaît les trois côtés , pour savoir aussi résoudre celui dont on connaît les trois angles; et ainsi des autres cas. C'est ce qui s'éclaircîra mieux par la suite.
t>7, Si l'on coupe le trièdreO(^g. 49] pai'unplanpmn perpendiculaire à une arête OA , en un point m tel que
NG,oogle
^4 CÉOMOHPHIE.
Oni ^ I , on a
ma = tangf, On = sécc, m/> = taDgi', 0/j=:séci,
Or les triangles reciilignes tnnp , npO donnent [équation (a5], page 41]
ap'=.ma^-\- fim' — iinn.pm .cm A, n;j' = nO'+/iO' — 2nO /jO.cosû;
retranchant la première de la deuxième , il vient, à cause
(les triangles nmO, pmO, rectangles en m, etdeOm^ i,
0 = 1 + 1 — 2sécc.séc£.coS(i + ztangc.tangè.cosA;
I , sin
et mettant — pour sec, et — pour tans,
cos "^ ' cos "^ °
cos c . cos 0 cos c . cos b
ce qui conduit à V équation Jbntf amentale (3) cosa ^cosi.cosc + siQ J.sin cens A.
On aurait de tnême
f COS& ^cosa.cosc + sinn.sinc.cosB I cosc = cosa. cos Ô + an «.sine, cos C 68. On tire de l'équation (3)
d'où
I — cos'A =! sin'A = 1
/ cos a — cos é . Cl
réduisant le deuxième membre au même dénominateur, et remplaçant sin* par i — cos*,
I — cos' 6 — cos'c — cos'a + 2ensii,cosi.cosc sin'A — :—^ — :— ; ■
Prenons la racine carrée, et divisons les deux membres par sin <i,nous voyons que le deuxième membre est une
n,gt,.etJNG00glc
THiGOnOMÉTRie spBËHiQVE. y 5
ibnctîon symétrique de a, b, c, que nous nommerocs M,
Changeant, dans cette équation  et a, eaB et i, en C elc, comme M reste constant, on en tire cette équation ,„, sinA sinB sinC
Dans tout triangle sphérique , les sinus des angles sont proportionnels aux sinus des côtés opposés.
