Pour éliminer éderéquatîon(3), mettons pour cosi

sa valeur {4)> et — : — - — pour sine; il vient

ùodsincsinBcosA cosa^cosacos'c + sinosinccosccosB-) : — ■-— ;

donc en divisant tout par sin a , sin c ,

(6} siaccota =::cosccosB + siaBcotA.

En appliquant à l'équation (3) la propriété du triangle supplémentaire [équations (i) et {2}], c'est-à-dire, changeant a en 180° — A, A ea 180" — o, etc. , nous avons , (•)) — co3A = cosBcosG — sinB sinCcoso.

Ces théorèmes suffisent à la résolution de tous les triangles sphériqnes, ainsi qu'on le verra par les développements que nous allons donner ; mais il y a encore une équation générale qu'on emploie quelquefois.

Eliminons cos c entre les équations ( 4 ) j à cause de cos*a = I — sin* a, et en divisant toutpar sina,ontrouve (8) sin a cos A = sinô cos acosC-h siaccosB.

70. Nous devons encore ajouter que dans les équations générales entre certains éléments d'un triangle sphérique quelconque ABC , on peut changer a et A en i et B, ou bien

76 GÉOHORFBIE.

ea c et C, et réciproquement : en sorte que nos équations (6), (7) et (8) en représentent chacune trois , comme l'équation (3) en a donné deux antres (4)- On aj par exemple :

(g) ûoccotb =co8ccosA + siaiicotB.

(10) — cosB = c(»Aco3C — sînAùnCcos6.

sinccosA = un&GOSccosA +smacosB, etc.

Triangles sphéri<fues rectangles.

71 . Désignons l'angle droit par A , et l'hypoténuse par a [fig- 52) ; faisons donc A = 90" dans les équations (3) , (5).(6),(7),l9)"(.o):

{m) caia = coibvo&c,

(n) siii£ = sinii9inB,

{p) tangc = tangicosB,

{q) cosa = cotBcotC,

(r) cotB=:cot6sinc,

(s) cosB = sinCcos&.

Ces six équations sont propres au calcul logarithmique , et suffisent à la résolution de tout triangle rectangle : Des cinq éléments a , b, c , B et C , deux étant donnés, on peut toujours trou\ier les trois autres , Ainsi la question est posée entre trois éléments dont un seul est inconnu. On dénommera les angles du triangle par A, B, C, l'angle droit étant A , et l'on cherchera celle de ces six équations qui comprend les trois éléments dont il s'agît : mais pour trouver cette équation , il pourra arriver qu'on soit obligé de changer de place les lettres B et C dans la figure. Suirant les divers cas qui se présentent , on choisitles équations qui contiennent les trois éléments compris dans le problème.

Iet deoi angles B, C prenei l'équation (f)

un anele B ( oppose * (n)

et le cAté \ «djacent e (/>)

lei.troiscûlés-,6,. (m)

Un cftlé 6 de l'anglo droit et les angles B , C ( j )

Demcfilés*,cderanGle droit et un angle B (r)

jnGooj^Ic

TRIGONOMÉTRIE SPRÉRIQUE. 77

72. Le fréquent usage qu'on fait de ces équations exige qu'on les ait sans cesse présentes à la mémoire, cliose que le défaut de symétrie rend assez difficile. Mauduit a indiqué un moyen empirique de les retrouver, qui consiste à lire, sur la Sgure, les cinq éléments du triangle rectangle dans l'ordre où ils sont, en faisant te tour, et à observer que les trois éléments entre lesquels on cherche une relation, sont contigus ou alternatifs ^ et il est de fait qu'on a toujours

,,. . , ( des Sin d'arcs Ki.tKtJ!ii.s ,

cos arc intermédiaire = produit { , „

( des eot d'ares conticus.

Seulement, en appliquant ce théorème, il faut remplacer les deux côtés de l'angle droit par leur complément, c'est-à-dire leurs sin, par cos. , leurs tang. par cot. , etc- On peut , en effet , vérifier que ces deux propositions reproduisent exactement nos six équations.

i". Del'équation (m), on conclut que /ecojmiwdfe/'A;^poténuse est égal au produit des cosinus des deux autrei côtés; ainsi l'un des trois côtés est <; ou ^90°, selon que les deux autres côtés sont d'espèces semblables ou différentes , car les cosinus d'arcs ^ 90° sont négatifs.

a". L'équatîoQ (g) montre que, si l'on compare l'hypoténuse aux deux angles adjacentsB etC, l'un des ces trois, arcs est > ou <| 90", selon que les deux autres arcs sont d'espèces semblables ou difTérentes.

3?. Les équations (r) ou (s) prouvent que chacun des angles B et C est toujours de même espèce que le côté opposé.

4°. De même l'équation (p) montre que l'hypoténuse et un côt^ sont de même espèce, quand l'angle compris est < 90", et d'espèces différentes quand cet angle est ^ 90".

Nous entendons par arcs de même espèce ceux qui sont ensemblesoit <|, soit^go"; et d'espèces différentes quand l'un de ces arcs est <; et l'antre > 90".

5°. Eufiii, si le côté b de l'angle droit = 90", on aura

^8 SÉOMOKPHCE.

et, d'après les équations (m) et (s),

les côtés CA y CB sont donc chacun de 90 degrés, et perpendiculaires sar AB \ le triangle est isocèle bireclangle ; C est le pôle de l'arc AB (Jig. Sa), c'est-à-dire que C est distant de 90 degrés de tous les points de cet arc,

73. Quoique nos équations résolvent tous les triangles spliériques rectangles , il convient de remarquer qu'elles ne donneraient pas les valeurs des inconnues avec précision, si ces arcs étaient très-petits et exprimés par des cosinus, ou voisins de 90 degrés, et donnés par des sinus. Voîcï comment on doit opérer dans ces cas.

1°. On a [équation (8), page 3S]

. I I — cos*

si l'on demande l'hypoténuse a , connaissant B et C , l'équation {9) devient

I a #.ri|- T* t-rtl C cin Tt cîn C ^r^a n t^i\e r*

tang'-

-J- col B cot C s

(M) '^"6';"--cos(B-C)'

on voit par cette équation que la somme des deux angles B et C est ^90°, puisque le second membre est négatif, et doit devenir positif.

3°. De même, pour obtenir un côté b de l'angle droit , connaissant les angles B et C, l'équation (s) donne

on pose

ï = 9o-B, d'où

TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE. "JQ

ainsi l'on a [équation (iD),page 33]

1 1 A — sjdC — siga laiig J- ( C — a)

""^ 2 ~ sinC-t-sini ~ langî{C + 3)'

^^\^= y/»^ng \j {B - C) H- 45"] ■ tang |^1 (B + C) - 45'"] .

a''. Connaissant l'hypoténuse a et un côté p, pour trouver l'angle adjacent B , l'équation [p ) donne ,

i„ I — tangccota coscsino — sinccosd

fane' - B = 2 = : -. ,

° 2 I -F- tang c cet d coscsina + sinccoso

I Ain fa — cl

{.2) tang-B = y/-j-i— pJ.

On remarquera que les sinus de a — c et a+c doivent avoir le même signe, pour éviter tes imaginaires^ donc, si a -t- c ^ 1 8o", l'hypoténuse a doit être <^ c. On voit donc que, quand le triangle a des angles obtus, l'hypoténuse a n'est pas le plus grand côté. C'est au reste ce que l&fig- 55 mettra en évidence (n° 87).

4°. L'équation (m) donne

cos c = ; ,

cos6 d'où (i3) teng'^c = tang^{a + fi).iaDg^(B-6}.

5". Enfin, si l'on cherche un côté b, connaissant l'angle opposé B et l'hypoténuse a , au lieu d'employer l'équalion (n) quand b est voisin de 90", posez

ô =-90° — aï, taDg^ = siDasisB, l'équation (n) revient à

cos2E=: tangx, d'où

ainsi

(.4) tang(45'---i}=v'iang(45'-..}.

nigtijeUi-vGoOgle

8o GÉOMORPHIE.

L'arc X étant calculé par l'équadon

taogT =: sinosinB, celte dernière donnera b.

74. Nous donnerons ici les cinq éléments constitutifs d'un triangle sphérlque rectangle, afin qu'on puisse s'exercer à l'application numérique des formules, en prenant, à volonté, deux de ces éléments, et calculant les trois autres.

Triangle rectangle d'épreuve.

ËLÊmiTS.

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