roi6î
75. Le signe — qui suit plusieurs de ces logarithmes est destiné à indiquer que le facteur qui s'y rapporte est négatif; ce qu'il ne faut pas confondre avec les — qu'on place à gauche des logarithmes , quand on veut écrire qu'il faut les soustraire, ce qui arrive dans le cas d'une division. Selon que le nombre des facteurs n^atifs d'une formuJe est pair ou impair, le produit a le signe + ou — , cîrconsUnce qu'il faut noter avec soin ; car, par exemple , tang a donne pour a un arc a <C po°, quand cette tangente est positive, et le supplément de cette valeur quand la tangente est négative.
Quant au i qui est l'entier de plusieurs logarithmes, cette notation indique que, le rayon étant pris = i, dans nos équations, comme il faut retrancher 10 de toutes les caractéristiques des Tables, la caractéristique du logarithme dont il s'agit est réduite à — i, valeur négative qui accom> pagne une fraction décimale positive. Nous jugeons plus commode de nous servir, par la suite, de ces caractéristiques négatives, que des logarithmes totalement négatifs,
.vGoogIc
TBlGOaOHÉTHIB SFHÉRIQIJE. 8l
lesquels appartienneut à des facteurs <^ i j et nous laissons R = I , au lieu de corriger les formules générales pour les approprier au cas où le rayon est R= lo'". Du reste, cesparties endëres négatives se comportent dans les caloils comme toutes les quantités soustracUves. (y^cryez mon Cours de MaiJiématiques pures , tome I, page lao.)
Triangles sphériques obliquangles,
76. Passons en revue tom les cas qui peuvent se présenter (fig. 53).
1*' CAS. — Étant donnés les trois cotés a, b, c, trouver V angle A?
L'équation (3), page 74* en substituant i — 2sin'-A pour cos A [équation (6) , page 38) , devient (i5) cosa = cos ( fi — c) — 2 sin fi sin c sin" - A.
Cette équation est d'un fréquent usage. On en tire 2sinfisincsio'-A^cos(fi — c) — cos a;
et A cause de l'équation (la), page 38 (*),
■ , 1 . sîn-jfii + fi — cl.sîn^ {n-(-c— fi)
sm' - A = i-^ ;— î — :— î-^ ■•
2 sm fi . sin c
Cette équation, propre au calcul des logarithmes, fait connaître l'angle A. Elle devient plus symétrique, en posant
d'où
^ ' 2 sinfi.sm<7
De même, en metunt dans l'éqtution (3), 3 cos* -A — i
( *) Comme le preinlet membre est essentiellement positif, ainsi que sin h et rinc ( attendu qne i et c sont < iSo"), on voit qu'il fant qn'on ait k la tob «<b-t-a et c>i— a, puisque les relations contraires sont visiblement abinrdes ; on retrouve donc ici le théorème 6°, p^e 7 1 .
vGooglc
Sa GÉOMOEPHIE.
pour cos A, on a
(17) cos'-A=^-^;-^M^^^-
' " 2 sin & . sin c
Enfin , en diTÎsant la première de ces équations par la seconde,
L'une quelconque de ces trois équations résout la question.
77. a* CAS. — Étant donnés /es trots angles A , B, C , trouver le côté a.
La propriété du triangle supplémentaire (n'' 69), ap- . pliquée aux équations précédentes, par la substitution des Valeurs, et posant
2P= A -!-B-l-C, donne
. ,1 cosP.cos(P — A)
sin'- a = ■ ^ \ „ — '-,
2 sinB. smC
rn«' ' „ — c"s(P — B).cos ( P j-C ) rn«-« sinB.sinC" '
coaP.cosÇP — A)
Ï8(P — B).cos{P— C)'
78. 3* CAS. — Étant donnés deux côtés a et h, et l'angle compris Ç.^ trouver le troisième côté.
, L'équation (4), page 74) P^ut être employée sous cetle forme
co3c = tosfi cos £ (14- tanga tang^ cosC).
Cette formule se prête mal au calcul logarithmique ^ ainsi que la suivante', mais nous reviendrons sur ce sujet.
■79. 4' CAS, — Étant donnés deux angles C et B, et le côté adjacent a, trouver le troisième angle A. L'équation (7), page ^5, donne
. cosA= cosB cosC(tangB langCcosd— ^ 1).
n,<,N.»ri-vGo6^le
TRIGOHOMÉTUIE SPHÉUIQtE. 83
80. 5= CAS, — De deux côtés et les angles opposés, connaissant trois éléments, trouver le quatrième.
Il faut recourir à la règle des quatre sinus [équation ( 5 ) , pge 75 j.
81. Excepté lorsqueFonconnaltlestroiscôtés ouïes trois angles d'un triangle, tout problème de trigonométrie sphérique comprend , au rang des données, nn angle et un côté adjacent, outre un troisième élément. Dans ce qui suit, nons désignerons toujours cet angle par A et ce côté par b. Abaissons de l'un des angles C [fig. 53) un arc CD perpendiculaire sur le côté c; ce côté c sera coupé en deux segments 9> et ç', et l'angle C en deus angles 6 et 6', savoir i
Bien entendu que l'une de ces parties sera négative dans chaque équation, si l'arc perpendiculaire tombe hors du triangle, cas qui se présente lorsq/ie l'un des angles Ae(B de la base est aigu et l'autre obtus ^ cet arc tombe, au contraire, au dedans du triangle qnandces deux angles sont da même espèce. En effet, des deux triangles rectangles ACD, BCD, tirons les valeurs de Tai c perpendiculaire CD, par l'équation (r), page 76,
tang CD = tang A sin y = tang B sin y'. Si les angles A et B sont de même espèce, leurs tangentes ont même signe-, sin f et sin f' sont donc dans le même cas; mais quand A et B sont d'espèces difTércntes , leurs tangentes et, par suite, sin^ et sin^' doivent avoir des signes contraires; alors l'arc perpendiculaire CD tombe hors du triangle, et l'un des segments y et y' a seul le signe — .
82. Daas la Jîg. 53 , on voit que le triangle ABC est déconiposé en deux, ACD, BCD, qu'on peut traiter séparément, et dont la résolution fait connaître les éléments non donnés à l'aide de ceux qui le sont. Ce procédé conduit à des équations simples, auxquelles le calcul des logaritlmics s'applique facilement. C'est ce que nous allons montrer,
n„jN.«j.-vG00glc
84 géomouphie.
On résout d'abord les triangles ACD, BCD, pour en tirer l'une des parties <f ou 6, du côté c ou de l'angle C, en supposant connus l'angle  et le côté adjacent b. Les équations (p) et (ç), page j6, conduisent aux équations (i) et (a). Puis tirant de chacun de ces triangles les valeurs de l'arc perpendiculaire CD, et égalant ces valeurs, on obtient les équations (5), (6), (7) et (8), lesquelles viennent respectivement des équations (m), {s), (r) et {p) :
(i] taagf ^tang& C09A, (2) cotS =:C03i tang A,
côsï~
COSç*
cosA cosB
langA tangB
tango tt»eS
sinA siDn ~
sinB
sinC
83. Voici les divers cas q)ti peuvent se présenter, et la manière de les traiter par ces équations, en ayant soin d'ailleurs d'avoir égard aux signes des cosinus et des tangentes, signes qui sontposîtifs ou négatifs, selon que ces lignes appartiennent à des arcs <| ou > 90°.
Outi-e les données  et h, on a encore un troisième élément :
1°. Si l'on connaît c {deux côtés h et c, et tangle compris A), l'équation (1) donne y, (3) donne (f'), et ces arcs peuvent recevoir le signe — ; (5) donne a; {7), B; enfin (9), C, dont l'espèce est d'ailleurs connue (n" 81).
2°. Si l'on a C [deux angles A et C, et le côté adjacenth), l'équation (a) donne 6; (4)» 6, qui peut être négatif; {6),Bi (8), a; (9), c, qui est d'espèce connue.
3". Quand on connaît a {deux côtés a et b, et l'angle opposé A), l'équation (i) donne ç; (5), ç'; (3), c; (7) et
(9). B et G-
Oubien(2}donneei(8), e';{4), c; (6) et (9), B et c. Dans ce cas, le problème a, en général, deux solutions;
TBIGOKOMÉTKIB SPHÉIIIQUE. 85
car ç' ou 9' étant calculé par un cosinus, l'arc a le double signe ±^cetCont donc deux valeurs, à moins qu'on ne soit conduit à en rejeter une comme négative, ou ^80". Les équations (6) et {7) donnent <f' et $' parleurs sinus, et il en résulte deux valeurs de B; de même pour C etc.
4°- Quand on connaît B {deux angles A et B, et le côté opposé b), l'équation (1) donne 0; (6), S'; (4),C; (8) et {9), a etc.
Ou bien (1) donne y; {7),9'i (3), c; (5) et (9), a etC.
Il existe encore ici deux solutions; car <f' ou 0' étant donné par un sinus, l'arc a deux valeurs supplémentaires ; ainsi c dans l'équation (3), et a dans l'équation (8), reçoivent deux valeurs; de même pour a et c dans (5) et (4), etc.
Observez que, dans chacun des quatre cas que nous venons d'analyser, on ne se sert que des équations marquées de numéros, soit pairs, soit impairs ; et lorsqu'on a le choix des deux systèmes, on préfère celui qui conduit à des calculs plus simples ou plus précis.
84. Voici plusieurs conséquences importantes (fig. 53) : i". L'équation (5) donne
cos b ■+■ cos a cos ip + cos y' ' et en vertu des équations (11) et (12), page 38, comme
c = œ +• <f , on a
(10) tang^(f' — if)= tangi(a + 6).tang~(fl — *).cot^c. '
Connaissant les trois côtés a, b, c d'nn triangle, cette équation fait connaître la demi -différence des segments 9
etf'et, par suite, ces segments mêmes, puisque -c est leur
demi-somme. En résolvant les triangles rectangles ÂCD, BCD, on obtient les angles A et B, savoir :
(11) cosA^ iang<pcot 6, cosB=: taDgy' coin.
n,3t,.etJNG00glc
86 OÉOMORl'HlE.
2". L'équation (3) donne de aième (-uo/ez équations (17) et (i5), pages 38 et 39,
taogA — taogB sinif' — sjnç tang4{T' — ?) tangA-t- tatigS ~ sin y' -i- sin y ~~ tang|(i)i'+y)
- »'°(A — B) ■ sin(A-i-B)'
Quand on connaît deux angles A , Bel h côté adjacent c, celte équation donne ç et ^' [fig- 53); les équations (1 e) déterminent ensuite a et b.
3", L'équation (6) donne, en opérant de la même manière,
(i"3) tang-(e'— e)~tang-(A+B).lang-{A — B).tang'c.
Lorsque les trois angles Â, B, C sont donnés, celte équation fait connaître 9 et 6'; on a ensuite les côtés a et £, en résolvant les triangles ACD, BCD : (14 ) cos A = cot ecotA, cosfl = cot 0' col B.
4"- Enfin , l'équation (8) donne de même,
(i5) „„gl(C«) = ïi^lZLiî.cotjC.
Connaissant deux côtés a , b , et l'angle compris C , on obtiendra 9 et6',puis AelBpar tes équations {i4)-
83. Les équations que nous venons d'établir servent à démontrer les théorèmes connus sous le nom d'analogies de '
Néper. Egalons les valeurs (10) et (12) de tang- 1 (ip' — ç)
nous aurons , à cause de sin a ce = 2 sin <x cos a. ,
, .. I, ,, I, ,, sini(A— B).cosi(A — B} 1
Or l'équadon (9) donne
siaa — sin6 sin A — sinB
sin (I + sin i ~ sin A H- sin B
TtiicoNouÉTniE SPHÉniQUE. 87.
d'où (i5), page 38,
tangj- {a — b) iang4(A — B) taDgi(<H-i) laDg|-(A + B)'
Multipliant l'équation (16) membre à membre par cette dernière, tous les facteurs qui ne sont pas détruits sont au carré ; prenant la racine, il vient
I I, ,, cos^fA — B) 1 ,,,
( "°8î'° + '' = o,.|lA-HBi-"°8;'"' ■
en divisant l'équation (16) par la précédente.
Égalons les valeurs{i3)et{i5)detang-(S' — fl), et opérons de la DiènLe manière sur l'équation résultante , ce qui revient à changer A et B ci-devant en a et 6 , et réciproquement, puis c en C ; nous avons
|tangi(A + B) = ^ii|^=^j-cot^C.
Telles sont les analogies de Néper : on s'en sert prihci- ■ paiement pour trouver deux côtés a et t d'un triangle, lorsqu'on connaît le troisième côté c et les deux angles adjacents A et B [équation {17)], ou bien, pour trouver deux angles A et B , connaissant les deux côtés opposés a,b, et l'angle comprise [équation (18)].
(') Comme Uog-C'Cos - [A — B) ^tuoe quanlilé posiUio , il faut q-jo laiig-(ii + i] et coB -(A-i-B) aiâot mCme signe, d'où l'on conclut qae 'a demi-somme de deitr angles qaelconques eii toujours de la même espèce que la demi-somme des deux coiàs opposés , el léciproquemem.
■JrtGoOgle
88 GÉOMonrHiB.
Triangles isocèles.
86. Soient C et B les deux angles égaux d'un triangle isocèle(y?^. 54)1^ etc les deux côtes égaux, Al' angledu sommet, a la base ; l'arc perpeudiculaire qui va du sommet au milieu de la base, forme deux triangles rectangles symétriques, dans lesquels on trouve les relations suivantes, formées des combinaisons 3 à 3 des quatre éléments A, B, a, £; ces équations font connaître l'un quelconque de ces arcs , quand on a les deux autres. Ainsi, de ces quatre parties d'un triangle spkérique isocèle, l'angle A du sommet, la base a, l'un b des côtés égaux, et Vun B des angles égaux, deux étant données, on peut trouver les deux autres.
{it) sip -a = sin - Ain ^ 1
{q) cos 6 = col B cot - A,
Des problèmes qui ont deux solutions.
87, Tout triangle spliérique résulte de la section d'une sphère par trois plans qui passent au centre, hajig. 55 a pour base le cercle KMK', et représente un hémisphère produit par Tun de ces plans : les deux autres plans donnent les demi-circonférences AGcf , BCB'" qu'on voit ici en perspective; leurs plans se coupent selon le rayon CO, et déterminent le triangle sphérique ABC. Les arcs CA, Cx, sont supplémentaires j l'angle A est l'inclinaison du plan ACoc sur la base K.K'. En menant le plaii MCm, par le rayon CO , perpendiculairement à cette base KK', puis prenant MA' = MA, de part et d'autre de ce plan MCm, on obtient undeuxièmeplan A'Co' symétrique à ACa, et l'on a
ma = m«', AC = A'C, Ca = Ca', A = A'=a=«'.
TKiGonouÉt&iE sPBÉttrQUE. 89
Si l'on fait tourner le plan ACa autour du rayon CO, pour prendre toutes les positions CK., CB, C/", etc., ce plan sera perpendiculaire à la base quaud il coïncidera avec MCm ; puis , dans l'une quelconque de ces positions , il formera avec la base deux angles supplémentaires , l'un en dessous , l'autre en dessus de ce plan . Les arcs CB , C A , C/, etc. , croissent en a'écariant de l'arc perpendiculaire CM = ip , qui est le plus petit de tous, jusqu'à l'arc perpeudiculaire opposé Cm, qui est le plus grand. En effet, le triangle rectangle ACM, où CA = b, donne
cos ACM =: cot fi tang 'J' , et le facteur taug ifi est constant.
Quand l'angle ACM est devenu de 90 degrés, comme pour l'arc CK', dont le plan est perpendiculaire k MCm, on a cot A = o , et l'arc CK = 90". Le plan continuant ensuite de tourner vers Cr', cos ACM devient n^atif et croit ainsi que cot b \ en sorte que l'arc Ca continue d'augmenter. Tout est d'ailleurs symétrique des deux c^tés du plan MCm ; ainsi les arcs et les inclinaisons seront deux à deux égaux, pour des arcs égaux MA = MA', savoir CA ^ CA', angle A = A',
En tournant ainsi , le plan coupant s'incline d'abord de plus en plus sur la base KMK', en devenant CB , CA , CK , car le triangle rectangle ACM donne encore (16} sin^ = siD fisiuA,
équation dont le premier membre est constant , et où sin b Ta d'abord en augmentant, comme on vient de le dire: ainsi sin A décroît en même temps. Mais dès que le c6té£ atteint 90 degrés {alors CB devient CK = 90° = MK) , sin b diminue^ donc sin A augmente, et l'angle A, aigu à la base, a pris sa moindre valeur au point K, et commence â croître. Ce point K est le pâle de la demi-circonférence MCm; l'angle K est mesuré par l'arc CM = tf = ^ 1 °" <^^ l'autre côté du plan coupant, par Cm= 180" — 1^.
On voit donc que tous les arcs partant de C (fig. 55) pour
nigtijeUi-vGoOgle
go GÉOMOnPHIE.
aboutir en quelque point de la base demi-circulaire KMK', sont O»"; tandis que les autres qui vont en KmK' sont ^90", et que CK = CK' = 9o°, De plus, CM= ^, etCm= 180° — ij'[valeursdei|i que donne l'équation {16)], sont les limites entre lesquelles ces arcs CA sont renfermés. Plus un arc approcTie de CM, plus il est petit; plus il approche de Cin, plus, au contraire, il est grand.
L'inclinaison des plans sur la base , de 90 degrés qu'elle est en MC m , diminue en prenant les positions CB , CA , etc. , jusqu'en CK où elle devient K ^<^\ puis elle croît de K vers m, jusqu'à redevenir de 90 degrés en Cm. L'angle est aigu du côté de CM, mais il est obtus du côté de Cm, ces derniers angles étant suppléments respectifs des premiers : tous ces angles obtus sont <^i8o'' — ifi.
Enfin , tout est symétrique de part et d'autre de MC m , en sorte que pour deux arcs égaux MA et MA' , les inclinaisons de CA , CA' sont égales , et ces arcs sont égaux.
D'après cela , il est aisé de reconnaître si , pour un triangle quelconque BCA,ou B'CA, l'arc AM perpendiculaire sur la base AB, tombe au dedans ou au dehors de ce triangle , et l'on vérifie les corollaires donnés n" 72, relatifs aux grandeurs des côtés et des angles des triangles rectangles.
Les problèmes qui ont des solutions doubles, et qu'on a coutume d'appeler cas douteux, sont ceux où , parmi les données , il y a un côté et l'angle qui lui est opposé , ce qui arrive dans deux problèmes 3" et 4") pages 84 et 85.
88. i" cis. — On donne deux côtés a et h, et l'angle opposé B.
Coupez rbémisphère KMK.' (fig. 55) par un planACa, passant par le centre O, et qui soit incliné de l'angle A sur la base ; puis prenez AC = b;C sera le sommet du triangle , lequel doit être fermé par un arc CB ^ a , de grandeur connue. Analysons ces conditions.
Supposons d'abord que l'angle A soit aigu, CA ^ h est l'un des côtés du triangle que ferme le coté a qui doit tomber
nigtijetJNGoOgle
trigonométhie spBÉRiQUE. 91
dans la région aA'MÂ, puisque si le côté a touOiaît comme GfyCa/, etc., le triangle CA/, CAa', etc. , au lieu de l'angle aigu A , aurait celui qui , de l'autre côté du plan C A , en est le supplément. Ce côté terminal a, partant du sommet C , doit donc se rendre en quelque point de l'arc AM'«. Les arcs, tels que CB, CB' sont deux à deux égaus et autant inclinés sur la base, lorsqu'ils vont en des points B, B', à égale distance de M. Prenons MA'=MA, MB'=MB, les arcs seront ,
