CA'=CA = *, CB' = CB

Or, si le côté a eat<^b,a tombe dans l'angle A'CA, comme CB , CB', et l'on a deux triangles BC A , B'CA , composés des trois éléments donnés A, bel a, c'est-à-dire deux solutions du problème. Alors l'un des angles B à la base est obtus, l'autre B' est aigu. Au contraire, ai a^ 6, l'arca tombe comme Cf, et le triangle ACy est le seul qui réunisse les trois éléments donnés , attendu que l'arc Cf, symétrique à Cy^', se trouve exclus , comme étant situé audessus du plan CA. Il n'y a donc qu'une fo/ufibn, et l'angle B du triangle AC/' est aigu en /', ainsi que b. Enûn, quand le côté a ^ Ca ^ 180" — b, l'arc a tombe comme CB'", en dessus du plan AC« , et jV n'y a aucune solution possible.

Dans tout ceci, l'arc i-C^go", puisqu'on a pris CA = i : mais si l'on avait b ^ Cx ^ go°, et que le côté a tombât comme CB ou CB', on aurait encore deux solutions BCa , B^Ca, ayante la base, l'un l'angle B aigu, l'autre l'angle B^ obtus : tandis qu'on n'en aurait qu'une seule aCf' si ce côté a tombait en Cf dans l'espace A'Ca, avec un angUy oI>tiis aussi bien que b : enfin , il n'y aurait aucune solution, si ce côté a tombait en CB'" au-dessus du plan ACa. Ainsi , quand l'angle A est aigu , b étant ^ ou <^ 90 , îl n'y a qu'une solution, lorsque le côté b tombe dans l'espace a. CA', c'est-à-dire quand la valeur de l'arc a est entre A et 180"— b, et alors l'angle îi la base est aigu ou obtus

vGooglc

9» GËOMOKPHIB.

avec b : hors de ces limites , il y a deux solutions ou il n'y en a aucune ; deux quand a tombe sur l'arc ÂMA', circonstance où.a<C 90°, aucune quand a tombe sur l'arc amcc', où o >■ 90",

Venons-en maintenant au cas où \ angle A est obtus, cas où le côté a qui ferme le triangle , en partant de C , doit être au-dessus du plan aCA, tels que C/", CB", etc. Le même raisonnement montre que si a = Ca > 90°, et si le c6té terminal a tombe dans l'espace aCa.', il y a deux solutions, telles que «CB", aCB'", ayant à leur base, l'une un angle B'" aigu, l'autre un angle B" obtus : qu'iV ny en a qu'une seule KCk, quand ce côté a tombe, comme cidevant, dans l'angle se'CA, l'angle K à la base étant aigu ou obtus en même temps que b ; et enfin qu'il n^y en a pas de possible, lorsque a tombe sur l'arc A'MA.

Ou opérera de même pour le cas de a ^ CK.<Cqo°- Que l'angle A soit aigu ou oLtus, on voit donc que Is solution est unique, quand le coté terminal a, opposé à l'angle donné A, a sa valeur entre b et 180° — b : bors de ces limites, la question admet deux solutions ou aucune ; deux , quand A et a sont de même espèce (ensemble >ou-<9o°), et aucune, lorsque ces arcs sont d'espèces différentes. Et s'il n'y a qu'une solution, B et & sont de même espèce. Or on sait (n° 81) que la perpendiculaire abaissée du sommet C sur la base c , tombe au dedans ou au dehors du triangle (ce que d'ailleurs on reconnaît bien sur la Jîg. 55), selon que les angles A et B à la base sont d'espèces semblables ou différentes ; donc dans les équations

e = frfcf, c = a±e',

on prendra le signe + quand les arcs A et £ seront de même espèce, et — dans le cas contraire, condition qui détermine la solution. L'analyse du troisième cas du n° 83 est ainsi complétée, puisqu'on sait quelle est celle des deux solutions qu'on doit admettre.

Donc lorsqu'on aura un triangle à résoudre, connais-

TRIGOMOMÉTREE SPBlÉItlQDE. 9^

sant deux côtés a, b et un angle opposé A , on comparera Oi àh et à i8o" — b; «a est Vune de ces limites ou comrpris entre elles, il n'y a qu'une seule solution ; B e( b sont fie même espèce j Cet c seront la somme ou la différence de leurs segments, selon que les arcs A et b seront d'espèces semblables ou différentes. Hors de ces limites, on a deux solutions, quand A et & sont de même espèce, et aucun triangle n'est possible dans le cas contraire.

Observez que la moindre et la plus grande valeur que le côté tcrmÎDal a puisse recevoir sont CM et Cm, l'une <p , l'autre i8o" — i^i; si a n'était pas compris ealre ces limites, c'est-à-dire entre les deux valeurs supplémentaires de ip que donne l'équation (16} , pageSfi, le problème proposé serait absurde, parce qu'on ne pourrait former aucun triangle avec les trois éléments donnés A, b eta. Au reste, ce cas n'exigepasdecalcul spécial pour être reconnu, attendu qu'il se manifeste de lui-même par une opération impraticable.

89. 2* CAS. — On donne deux angles A et B, avec un côté opposé b.

En raisonnant comme ci -dessus , on arriverait à une conséquence qu'on obtient plus facilement par la considération du triangle supplémentaire A'B'C {fig. 48 , n" 65). On y connaît les côtés (i'= 180" — A, 6*^ 180"* — B, et l'angle B'= 180" — ê ; et il suit de ce qu'on vient de dire que ces éléments appartiennent à deux triangles dont un seul convient à la question , quand b', côté opposé k l'angle B', est compris entre a' et 180" — o'; ou, ce qui équivaut, quand B est entre A et 180° — A (en retranchant chaque arc de 180°). Alors A et a doivent être de même espèce^ C et c seront la somme ou la diâ'érence de leurs segments, selon qne les arcs A et & seront d'espèces semblables ou différentes.

Ainsi lorsqu'on -voudra résoudre un triangle oà A, B et h seront donnés , on comparera B à A et 180° — A; si B est l'un de ces arcs ou intermédiaire entre eux, il n'y aura

nigtijetJNGoOgle

g4 GÉOMOnPHIE.

qtûune seule solution; Aet n seront de même espèce; dans les équations

c =; e db fl', c = ç ± f ',

on prendra h signe -h quand les arcs A et h seront de même espèce, et — dans l'autre cas, ce qui apprendra quelle est celle qu'on doit adopter ou rejeter des deux solutions que donne le calcul n° 83 , 4"- ïfors de ces limites, il y a deux solutions , quand B et b sont de même espèce, et aucune lorsque ces arcs sont d'espèce d^èrente.

En outre, l'angle B doit être compris entre les deux valeurs-supplémentaires de ifi données par l'équation (i6); car sans cela, on ne pourrait former aucun triangle avec les données, et le problème serait absurde.

. 90. Quand le triangle est rectangle, CM on Cm [fîg. 55) est l'un des côtés , et si l'on donne un angle et un côté opposé, il y a deux solutions qui se réduisent à une seule dans certains cas.

i". Étant donnés l'hypoténuse u et un côté h , trouver l'angle opposé B. L'équation (h), page 76, fait connaître B par un sinus , qui répond à deux arcs supplémentaires. De même , étant donnés l'hypoténuse a et l'angle B , trouver le côté opposé h. La même équation donne deux arcs supplémentaires pour le côté opposée. Mais dans ces deux cas, on n'admet qu'une seule solution, parce qiie les deux arcs CA ou CA' qui ferment le triangle CMA, CMA', sont symétri- , ques : ainsi B et Zi sont de même espèce, et il n'y a f^us' d'indécision.

a". Etant donnés un côté £ deTangle droit et l'angle opposé B, la troisième partie cherchée admet deux valeurs : car si l'on demande l'hypoténuse a, l'équation (ra) donne sina; si Ton cherche le troisième côté c, l'équation (r) dontae sine; enfin, pour trouver l'angle C adjacent au côté connue, l'éqnatïoti (s) donne sinÇ. Ainsi l'inconnue reçoit deux valeurs supplémentaires pour l'arc correspondant à chacun de. ces sinus.

TKIGOK OMET RIE SPRÉniQUE. q5