CHAPITRE m

GÉOMORPtlIE TERBESTBË.

Principes généraux , stations, signaux,

109. Lorsqu'on veut déterminer les positions relatives des points les plus remarquables d'une contrée fort étendue, telle qu'une province , un royaume , on y distingue d'abord des lieux assez élevés pour permettre, lorsqu'on y est placé, de découvrir au loin les régions environnantes : ce sont les stations d'où l'on fait les observations. On y construit, quand cela est nécessaire, des abris, des signaux qu'on puisse apercevoir des stadons environnantes. On éloigne le plus qu'on peut ces stations (8 à lo ooo mètres et plus) , autant pour économiser le temps , la peine et les dépenses , que pour arriver à des résultats plus précis , ainsi qu'on le dira bientôt. Jointes , par la pensée , par des lignes droites qui traversent l'espace , ces sommités déterminent une sorte de réseau formé par un eucbainement de grands triangles , qui , par leur continuité , couvrent tout le pays qu'on vent lever. On calcule, ou l'on mesure tous les élémenu de ces triangles, comme on l'expliquera parla suite.

STATIOWS, SIGNAUX. II7

L'ingénieur mesure avec un soin extrême tous les angles de ces triangles, ainsi qu'une longueur qu'il appelle une base. Cette base est l'un des côtés de nos triangles , et le calcul lui apprend à connaître les longueurs de tous les autres côtés , parce que celte base fait partie de la triangulation générale. Il appelle ce réseau un canevas trigonoméiiique.

Ces divers triangles sont, il est vrai, situés dans l'espace, et forment un polyèdre à faces triangulaires qui enveloppe le sol. Mais en abaissant une verticale de chaque sommité , cette droite rencontre un point de la surface prolongée sous terre du niveau des mers. Cette surface est considérée en Géodésie comme étant celle du sphéroïde terrestre, parce qu'on y néglige les petites inégalités des montagnes, comme étant tout à fait insensibles comparativement aux immenses dimensions du globe. Ainsi l'on substitue, par la pensée, aux triangles i^ctilignes qui font, dans l'espace, le sujet des observations, d'autres triangles curvilignes tracés à la surface de ce sphéroïde , et c'est par le calcul , qu'on détermine la forme et les dimensions de ces triangles. Projeter ainsi sur le sphéroïde terrest!^ les triangles observés, c'est ce qu'on appelle les l'éduire à Vhorizon; et comme on trouve que la 6gure du sphéroïde diffère extrêmement peu d'une sphère , on est en droit de supposer que chacune de ces projections est faite sur une sphère d'un certain rayon, attendu la petitesse des dimensions de chacun de ces triangles : ce rayon est d'ailleurs variable avec les lieux.

On nomme triangle du premier ordre ceux qui ont ainsi les plus grandes dimensions dans le réseau. Ensuite on choisit d'autres stations dans leur intérieur, qu'on rattache aux premières par des observations, dont la précision est encore très-grande , quoique moindre que pour les triangles primitifs. On forme ainsi des triangles du deuxième ordre qui sont moins étendus que les premiers, ceux-ci servent à leur tour à en formerde troisième ordre. Dès quelesc6té&

vGooglc

Il8 aÉOMOlFBIB.

n'ont plus que 600 à 1 000 mètres de longueur , leur courbure est si peu prononcée, qu'on est en droit de les regarder comme rectilignes. Ces longueurs servent alors de bases pour déterminer la position des objets de détail, ce qui rentre dans les procédés de la Topographie. Ainsi la Géomorpbie embrasse la détermination exacte des triangles de premier , deuxième et iroisième ordre, et leurs projecdons sur la surface du sphéroïde terrestre.

110. On s'est aussi proposé de trouver la longueur d'un ^rc très-étendu 'qm traverse le réseau , par exemple l'arc du méridien. On i^\ qu'il seri(it tout à fait impossible de mesurer effectivement cette longueur; ce genre d'opération est extrêmement difficile pour des bases de loooo à laooo mètres situées borizontalement; maiss'ils'agitd'un grand arc terrestre, les inégalités du terrain et les obstacles qu'il présente ne permettent même pas cette mesure actuelle. On fait en sorte que cet arc traverse une série des triangles du réseau , ou s'en écarte peu , et , à l'aide du calcul, on obtient les longueurs des diverses parties, ainsi que nous l'expliquerons.

C'est ainsi qu'on est parvenu à connaître la longueur de l'arc du méridien terrestre qui traverse la France, de Dun- Lerque à Barcelone, arc qu'on a depuis prolongé au delà de ces limites. On a trouvé aussi des arcs perpendiculaires à cette méridienne. De ces opérations, on a pu conclure la figure et les dimensions du sphéroïde terrestre, la longueur du mètre, etc.

Il faut aussi connaître la longitude et la latitude de chaque station, ainsi que V azimut de chaque côté de triangle, Les observations astronomiques font connaître ces éléments, du moins pour quelques stations ; le calcul les donne pour les autres.

Pour obtenir le relief du terrain, il est nécessaire d'en faire le nivellement, a&a de coanaitre l'élévation de chaque station au-dessus du sol environnant, et, par suite, au-des.-

STÀTIOBS, SIGNAUX. IIQ

SUS de la surface du sphéroïde terrestre : c'est ce qu'on appelle l'altitude.

Tels sont les sujets que nous nous proposons de traiter dans la Géomorplile.

lli. Voyons comment les stations doivent être coordonnées entre elles pour conduire à des opérations précises.

Soient a, b, c {fig. Sa) les côtés d'un triangle rectiligne quelconque-, A, B, C les angles qui leur sont respectivement opposés. On a (i) asinB = isiQA.

Cette équation donne le côté a lorsquel'on connaît A, Bet i. Or, si l'on a commis une petite erreur dans la mesure de ces angles, savoir, y sur \.,y' sur B, h étant d'ailleurs supposé exact, on fera usage de valeurs défectueuses, et, ce qu'on prend pour A et B, est réellement A + ^y, B + y', qu'on doit employer, au lieu de A et B ; l'équatjon (i) donnera pour a une valeur dont x sera l'erreur : ainsi l'on doit changer dans l'équation (i), a en fl -t- J^, B en {b-\-y')eth. en (A + y),

Développons ces sinus, et comme )- et jk' sont toujours trdspetits, mettons ces arcs pour leurs sinus et i pour leurs cosinus, il viendra

■ fa-t-:cJ(sinB + 7'cosB) = *{sinA-t-j-cosA). Réduisons, à l'aide de l'équation (i), et supprimons le produit sy' cos B, qui est du deuxième ordre, a!ainB + flyco8B= i/eosA;

t stnA

a: = fl(/COtA— /cotB).

Telle est l'erreur x qu'on commet sur le côté a, par l'effet de& erreurs d'observation y et y' sur les angles A et B.

nigtijetJNGoOgle

lao gëomouphie.

Maïs X est visiblement d'autant plus petit que  est plus près d'être ^al à B, en même temps que ^ à ^'; et l'erreur sur a est nulle, quand il arrive que celles de A et de B sont égales et dans te même sens, en même temps que j =y' '■ dans ce cas, quoique obtequ par des valeurs angulaires délÎBctueuses, le côté a sera exactement donné par le calcul ; et si les erreurs y et^' sur A et B SQUt égales et dç signes contraires, l'équation devient

« = (y ( cot A + cot B) , que la condition A = B rend un minimum. En effet, on a

* "^ \sin A sin B j "■'' sin A siû B '

Or, en retranchant l'une de l'autre les équations (a),

page 38 , on trouve

2sinAsinB = cos(A— B) — cos(A+B) = cos(A — B) + cosC;

doue

3 sin C

* ~ ''^' cos(A — B) + c9sC'

expression que Â^ B rend visiblement la plus petite possible.

On voit qu'il est avantageux, pour atténuer les erreurs sur les angles, soit que les erreurs soient dans le même sens ou en sens contraire, que le triangle soit équilaléràl, et qu'alors l'erreur qui en résulte pour a peut être tout à fait nuUe. On regarde comme certain que, lorsque les côtés cherchés sont presque égaux chacun à la longueur mesurée, [erreur des angles est insensible. Mais comme cette condition est souvent impossible à remplir, ou se contente de ne jamais admettre d'angle de triangle qui soit <| ^o", aân de se rapprocher autant qu'on peut de l'état ci-desBUs. On dit alors que le triangle est bien conformé. Autant que possible, les stations doivent être choisies conformément à cb principe.