STATIONS, SIGNAUX

-sé sont d'excellentes mires. Les clochers, les tours, ne doivent servir qu'autant qu'on peut s'y placer commod^ment pour observer, et surtout avec une grande stabilité. Les flèches , moulins en tour et autres signaux peuvent servir aussi, en ayant soin de faire les réductions à l'axe du signal et au centre de station (a"' H7 et 120) , afin de ne pas laisser d'incertitude sur le point du sol où le signal se projette. On ne peut guère employer un arbre sans branches, im moulin à cage, si ce n'est pour des triangles du troisième ordre , parce qu'il ne faut pas que les erreurs qui en résulteraient puissent se propager sur d'autres stations principales.

Le meilleur des signaux est un disque en tôle peint en noir, et percé au centre d'un trou par lequel on peut voir la lumièredu jour. Ce disque doit pouvoir pirouetter autour du diamètre vertical , en y adaptant une tige servant d'axe de rotation , sur laquelle on arrête le disque dans toutes les positions qu'il peut recevoir : la surface peut être ainsi présentée successivement en aspect aux stations environnantes.

On se sert aussi très-souvent pour signal d'une petite pyramide quadr angulaire renversée, qu'on enfile sur un poinçon surmontant l'édifice.

On espérait tirer un parti utile des feux du Bengale et des réverbères à réflecteurs paraboliques , pour les observations nocturnes : c'était un moyen d'employer le temps, lorsque le ciel e«t chargé de vapeurs. Mais on y a renoncé : l'horizon n'est jamais assez pur pendant la nuit, et les réfractions terrestres accroissent alors les causes d'în-i certitude.

H5. On aperçoit mieux un signal quand il se projette sur le ciel, que lorsqu'on le voit peint sur la terre ou les arbres. Or il est facile de juger si , étant placé en A (fig. 5y), le signal sera vu de B projeté sur le ciel, sans aller en B, En effet, prenez les distances zénithales de B, et de la ^lontagne C qui se trouve opposée , dans la même direction,.

vGooglc

134 GËOHOHFBIE.

savoir les angles BAZ, CAZ; le point C tombe an-dessas et au-dessous de la direction ABI, selon qne la somme de ces angles est > ou <|| 180". Ainsi l'on fera en sorte d'élcfer le signal A de manière que BAZ + CAZ> 180".

An reste, comme on ne peut pas toujours remplir cette condition , on fera bien de peindre en blanc les signaux cpiî se projettent sur la terre et les forêts, et en noir ceux qui se peignent sur le ciel.

116. Ou est souvent obligé de construire exprès des observatoires pour y abriter l'ingénieur, lorsque aucun édifice ne peut servir en même temps de signal et de logement. On donne à ces constructions la forme d'une pyiamide quadrangulaire tronquée près du sommet [fig- 64} '- le prolongement supérieur S de l'axe sert de signal , et l'observateur place son instrument au point C de projection de cet axe sur le sol. Les arêtes sont en boîs de cbarpente, solidement plantées en terre, et liées par des traverses qu'on assemble à tenons et mortaises avec un poinçon central. On recouvre les quatre faces d'une toiture en plancbes, qu'on fait descendre jusqu'à deux mètres de terre, afin de laisser voir les lieux ci rcon voisins. Des toiles tendues du côté du vent complètent l'abri. Quand l'opération est terminée, on détruit ce signal; mais on implante une borne carrée en C, sur laquelle on sculpte deux diagonales, dont la croisée est dans l'axe du signal.

Les vériScations qu'on peut être dans la nécessité de faire par la suite exigent qu'on puisse retrouver exactement le» points C de station , et les extrémités des bases. Des bornes ainsi fixées solidement en terre sont des témoins peu dispendieux et faciles à découvrir.

Lorqu'on jugera nécessaire de construire un signal, on devra l'élever assez haut pour qu'on puisse le distinguer des stations environnantes. Or l'expérience apprend qu'il faut que ce signal apparaisse de ces lieux sous un angle d'au moins 3i" : et comme tang3i"= 0,0001 5 , la hauteur AB

ji-vGooglc

ijig. 56) du signal éunlAB = AC tangC = ACxo,oooi5, on voit qu'il faul que celle hameur soit d'au moins quinze fois la cent millième partie de la distance d'où l'on doit l'observer. Si cette distance est, par exemple, de 5 lieues, ao ooo mètres, qui est une portée assez ordinaire, il faut que le signal soit élevé de plus de 3 mètres. Dans la triangulation française , on a donné aux signaux le sept millième de la distance d'où l'on devait les voir. La base du signal est a la moitié de sa bauteur.

il7, II arrive souvent que le signai A qu'on a visé des sections B et C (fig. 65) n'est pas de nature à permettre qu'on s'y place. Il faut alors établir l'instrument en un lieu voisin O , d'où l'on mesure l'angle BOC = O : mais il faut ensuite corriger cet angle O , pour le ramener à la valeur BAC = A , qu'on aurait trouvée si l'on avait stationné en A. C'est ce qu'on appelle réduire à Vaxe du signal. Appelons a , b , c , les trois côtés (qu'on suppose connus ou à fort peu près) du triangle ABC.

Supposons d'abord qu'il s'agisse du triangle B'AC, en sorte que le point O soit situédans la direction du côiéB'A. Menons OE parallèle à AC , et faisons AO = m , et l'angle ACO = e = COE. Nous connaissons l'angle B'OC = a , et il s'agit de trouver l'angle A = a 4- 6. Or le triangle CAO donne

sinC ain« m ~ ÂC"' d'où

sine = sine = ^.

Comme m est toujours très-petit par rapport à b , sin6 est très- petit, et peut être remplacé par d,' ou plu tôt par 6 sîn i", pour que 0 désigne le nombre de secondes de cet arc (page 4o). Ainsi,

Maintenant, si le triangle est ABC , et que la station O ne

nigtijeUi-vGoOgle

ta6 fiÉOMORP^iE.

soit située dans la direction d'aucun cèté de ce triangle,

on a encore

B'AG = aH-e = <.+^,

B' AB = a: + B'=a,'+ '"?°''„ ; donc

Pour appliquer cette formule, il faut observer que si la station O est située de manière que l'un des angles d ou 6' soit disposé de l'autre côté de la ligue ÂC ou AB, cet angle devient soustractif. Ainsi les deux termes csina, isina' ne sont ensemble positifs qu'autant que la station O est comprise dans l'angle pAg que forment les côtés prolongés du triangle; ils sont tous deux négatifs quand O est situé dans l'angle BAC; enfin leurs signes sont contraires quand O est situé daus l'angle CAç ou BAp, comme fîg. 63.

S'il arrive que l'une des longueurs t et c soit très-grande par rapport à m, le terme qui s'y rapporte est nul, et la correction de l'angle O se réduit à un seul terme; quand m est très-petit par rapport à i et c, cette correction est nulle , et A = o. C'est ce qui a lieu pour les étoiles ; la distance angulaire de ces astres est la même pour tous les points de la terre,

118, C'est même ce dernier cas qu'on préfère quand on le peut, aûn d'affaiblir la correction de l'angle observé O, et de se placer en un lieu d'où Ton puisse plus facilement apercevoir à la fois les trois points A , B et C. Et même il peut arriver que les deux termes s'entre-détruisent et que la correction soit nulle. Cela a lieu quand on a

or [fig- 63 ) le triangle ACO donne

et l'on tire de BAO,

Ainsi

b sinS sinix' = csih6'siDa,

et, par suite,

MU e = sin S',

en vertu de l'équatioti précédente ; donc

S = S', ou — 180— 9':

ce qui indique que la circonférence passant par C, B et A passe aussi par O, puisque les angles OCA, OBA s'appuient sur le même arc AO. Le quadrilatère ABCO est donc inscriptible au cercle, et les angles BCA, BAO inscrits sur le même arc sont égaux; ce qui donne la direction de la ligne AO sar laquelle on doit prendre la station O pour que la correction de l'angle BOC soit nulle ou A = O.

119. Mais dans tout autre cas, et c'est ce qui arrive le plus souvent, l'angle O doit subir une correction que détermine l'équation (i). Voyons à préparer cette expression pour le calcul des logarithmes. Le triangle ABC donne

b sin(A-4-C) sin (0 .+ C)

puisque O^a + a' (Jîg- 65) est sensiblement := A, surtout dans la petite fraction de correction : ainsi

en substituant, l'équation (i) devient

^,o^-ir?-.r.i„(o-.o-H''°"'-^^""-'1-

esmi" L ""G J

Réduisant au même dénominateur, développant, etc.,

' ' ^smCsini"

Ce dernier terme exprime, en secondes, la correction que

vGooglc

120 GÉOMOKPRIE.

doit recevoit l'angle observé O ^ BOC, pour devenir A ^ BAC. Dans tout ceci , a et a' sont les distances angulaires des points B et C au signal A , au centre duquel on devrait stationner.

120. Quand le signal A (fig. 70) est l'axe d'une tour cylindrique où l'on ne peut stationner, le centre A n'est pas visible du point voisia O où l'on se place. Alors les distances angtilaires a et a' des lieux B et C {fig- 65) au point A ne peuvent être mesurées. Voici ce qu'on doit faire dans ce cas. On mène deux tangentes Ol\ 01 à la tour {fig. 70), et la ligne OA, qui coupe l'angle /'O/ par moitiés, détermine le point k sur la direction OA. Ainsi l'on mesure les angles SOI', BOl, dont la moyenne on demi-somme est l'angle BOA = a. Voilà donc la direction OA connue.

Quant à la distance OA = m , si l'on ne peut obtenir directement le rayon A S = r, on mesurera Ok = i= m — r, et l'une des tangentes 0/ = ï =: O /' ; on aura

Ôl' = Ôl'—Yl\ ou P = m'—r' = (m + r]i. Cette équation donne

et comme m — #■ = i", en ajoutant ces équations, on a

On peut donc appliquer la théorie précédente. Observez que a et m n'entrant que dans des termes fort petits , il n'est pas nécessaire d'eu avoir les valeurs bien exactement. Les équations contiennent b et c, que les angles B et C ont fait connaître :d'ailleursonest en droit de supposer A = O partout où l'on n'exige pas un grande précision, et la théorie qui nous occupe est dans ce cas.

ji-vGooglc

uses. 129

De la mesure des bases (*).

121, De toutes les opérations géodésiques , celle qui parait la plus facile, et qui cependant présente le plus àe. difficultés , est la mesiye d'une longueur, lorsqu'on veut l'obteoir avec une grande précision, à cause des soins infinis qu'il faut prendre. Il ne suffît plus alors, comme en Topographie (**), d'évaluer la dislance soit au pas, soit en portant une chaîne métrique; car nous savons que les plus légères erreurs s'agrandissent sur les côl^s du réseau qu'on obtient par le calcul (n'alla). Après avoir exploré les localités, on choisit un terrain uni et découvert, à peu près horizontal et rectiligne , de la longueur d'environ 10000 mètres. On y trace une ligne droite avec des piquets ou jalons, verticaux et bien dressés. Ces jalons sont ferrés au bout qui entre en terre; l'autre bout est peint en bl^nc, pour qu'on l'aperçoive de loin. Comme l'ingénieur est pourvu , pour son opération , d'nn cercle répétiteur ou d'iin théodolite, il s'en sert à la manière d'une lunette des passages : la colonne ainsi que le limbe de l'instrument étant disposés verticalement, le tube de la lunette peut basculer, de manière que son axe optique décrive un plan vertical. Les fîls du réticule sont susceptibles de mouvements qui leur ôtent toute parallaxe, ainsi qu'il a été expliqué page 1 09. Les ingénieurs sont très-exercés à régler cet instrument. On s'en sert pour aligner tous les jalons de soo mètres en 300 mètres , dans une ligne exactement droite.

{*) Voïet à la fio de l'ouvrage une Note de M. T. Hossnrd sur la Mesure des baies.

('*) Pour mesurer l'erreur dont la chaîne d'arpenleur est susceptible, M. Mojoet a fait diverses expériences II l'Ile d'Elbe, et il n'a trouvé que S6 centimèlres d'erreur sur une base de 5iGS''>,Si (du Tanal à Castello).

Les levés au pas , qu'on fait surtout en présence de l'enneDiJ , se font en comptaut 3 pieds par pas, ou i toise pour chaque double pas. Au reste, chaque personne peut, par des épreuves , s'assurer delà longueur de ses pascar le plus souvent la double pas n'a que 5 pieds, ou i toise moins-;. Le temps que le bruit du canon met à se faire entendre est d'une scconile par iSo toises, par un letnps calme; mais ces évaluations sont trcs-défer tueuses. '■ 9

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t3o GÉOHOBPHIE.

On porte ensuite le long de ceite ligne des règles dont la longoenr est exactement connue. On a deux de ces règles égales entre elles , on dont la différence est fort petite , et l'on prend pour longueur de chacune leur moyenne. On dispose ces règles bont à bout et successivement selon la direction jalonnée, transportant en avant celle «pu se trouvait en arrière, alignant avec nn grand soin, snr les jalons, et mettant les bouts en contact immédiat.

lâ2. Les r^es de bois sont préférables , parce que la dilatation paraît agir dans le sens transversal, et que la cbaleur ne les allonge pas. On les garantit des efiels de l'humidité ea les trempant dans l'huile de lin bouillante, et les enduisant d'un vernis. On les constmit en assemblage, comme le montre la fig. 68 , afin qu'elles ne se déjettenl pas. La longueur en est connue avec précision , par un étalonnage dont nous traiterons plus loin. Aux deux bouts sont des lames de fer, pour que le frottement ne les use pas^ et l'on taille ces bouts en biseau , à tranchant mousse, afin de rendre le contact facile à opérer. Quelquefois on préfère conserver à ce bout la forme parallélipîpède , et l'on implante un clou de métal à tête convexe : c'est sur cette espèce de segment spbérîque qu'on établit le contact. La longueur de la règle est alors la distance entre les deux points les plus éloignés des convexités de ces surfaces. ( Foyez les profils ^g, 68.)

i23. On a deux trépieds très-solides, sur lesquels on pose un madrier un peu plus court que la règle ; on place ensuite la règle sur ce support. La plate-forme du trépied est percée d'im trou prismatique dans lequel entre une tige de bois moulée sur ce trou, et l'on peut arrêter la tige par une vis de pression à difTérentes hauteurs. Le madrier étant porté sur une tablette fixée à cette tige , on conçoit qu'on peut le disposer horizontalement. Ainsi la règle sera amenée à être alignée, horizontale , et affleurant le bout de la

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BÂSBS. l3l

règle déjà établie précédemment. On fixe U règJe sur le madrier, dans sa position définitive, avec des courroies.

Lorsque le sol fait des plis, comme on ne pourrait faire aiSeurer les bonis coiitigus , on dispose l'une des règles plus bas que l'autre, et l'on s'assnre que les deux bouts sont exactement dans la même verticale , en les mettant en contact avec un Gl à plomb fort délié. Le poids plonge dans un verre d'eau pour que le vent ne le balance pas. Ce procédé est même plus s&r que le contact même, parce qu'on doit éviter le recul, produit par quelque petit choc involontaire. Il faut, dans ce cas, ajouter à la longueur de la règle, l'épaisseur du Gt à plomb, quantité qui, bien que minime , n'est pourtant pas négligeable , attendu qu'elle se répèle auunt de fois que la longueur même de la règle.

124. On adapte souvent à la règle un appareil qui rend le contact très-facile à opérer. C'est une réglette logée dans l'épaisseur du bois, retenue entre deux ramures : elle est mobile à l'aide d'un pignon et d'une crémaillère, en sorte qu'on peut en faire saillir une partie au bout de la règle , par un mouvement très-lent. Celte réglette porte une ligne de foi et un vernier, qui glisse le long d'une échelle divisée en parties égales et tracée sur la règle même, ce qui permet de lire la longueur dont on a fait saillir la réglette. La longueur totale de la règle se compose de sa longueur primitive d'étalonnage, plus de la longueur saillante de la réglette. Telles étaient les règles qui ont servi à mesurer les bases de Melun ei de Perpignan. A l'aide d'une loupe, on lisait la longueur de la réglette jusqu'au! looooo" de toise. On donne le nom de languette à cette pièce mobile. { f^cfyez la description de cet appareil dans la Base du système métrique et la Géodésie de M, Puissant.)

lâS. On donne aux règles la position horixontale en se

servant d'un nivean à perpendtcule perfectionné (^voy^ez

n" 48) : il est plus facile à employer que le niveau à bulle

d'air. Les r^les égales AC,6C {fig. 67) forment un trian-

nigtijeUi-vGoOgle

lil CËOMOItPBIE.

gle isocèle ÂCB, et sont maintenues à dislance par un arc de métal a'Eb. Au centre C de cet arc est suspendue une alidade CD qui tourne autour de C , et porte en D une ligne de foi etun vemîer. L'arc est divisé' en degrés, et l'on peut lire la minute à l'aide du vemîer ^n" 9).

Dans une direction perpendiculaire à l'alidade, est Gxé un petit niveau à bulle d'air cf, sur lequel on voit tracées des divisions égales, afin de pouvoir juger quand les deux extrémités de la bulle répondent à des points de même numéro , les divisions étant numérotées à partir de zéro au milieu du tube, et dans les deux sens. Les graduations de l'arc ab ont aussi le zéro au milieu E de cet arc.

L'instrument est construit de manière que l'alidade marque zéro quand la base AB est horizontale , et que la bulle est entre ses repères; et il faut qu'en retournant l'instrument jambe pour jambe , les mêmes conditions subsistent. Car si, la ligne AB n'étant pas borizontale, onyapplique l'instrument et que, la bulle éunt amenée entre ses r^res, on lise 3° par exemple , en retournant l'instrument on devrait encore lire 3°, sous les niêmes conditions , si le niveau est bien réglé. Mais admettons qu'on lise i°; on en conclura que la somme 3" + i" est le double de l'inclinaison de AB, parce que, dans les deux situations, l'alidade a pris la mêioe direction par rapport à la verticale. Ainsi cette inclinaison est ici 2°, du côté où la première graduation a été lue sur l'arc.

Il faudrait aussi parler de la vis de rappel qui donne les petits mouvements à l'alidade, et de quelques autres détails de construction. Mais on devine aisément ces modifications, qu'on trouve décrites toine II, page 9, du Système métrique.

126. Comme on perdrait beaucoup de temps à donner aux règles des positions horizontales, on préfère leur laisser prendre une petite inclinaison (de 2 à 3 degrés au plus), qu'on mesure ainsi qu'on vient de le dire. On lii la

' SASES. l33

graduation indiquée par l'alidade, tant avant c|u 'après le retournement ; ajoutant les deux indications, on a le double de l'inclinaison 9. It reste ensuite à réduire la règle à l'horizon par le calcul, c'est-à-dire à en calculer la projection horizontale.

127, Réduction des règles à Vhorizon. — Soit CB [fig- 56) la règle, CA sa projection horizontale, AB!a verticale, 6 l'angle C d'inclinaison : ou cherche CA et AB, connaissant CB et l'angle C. Le triangle ABC donne

CA = CBcosfl.

Or 9 est un très-petit aogle , et cette valeur de CA ne serait pas calculée avec assez de précision. Il est donc plus convenable de chercher l'excès x de la longueur CB sur CA , x=CB — CA;ona

cose=i— ifl'

au troisième ordre près, d'où

CA = CB(i— -6') el * = ~Le',

en faisant CB = L , longueur de la règle, ou plutôt en exprimant 9 par son nombre de minutes [voyez page 4o} i

* = — gL(2fl}'sinM' = — PL(2e)'.

On trouve de même pour la différence AB de niveau ,

j- = L9inS = -L(2e)siD i'.

L'instrument fait connaître l'arc ( aS) par le retournement, et les calculs sont très-faciles. La consianle P^ s sîn'i', et l'on trouve

logP = 8.0243622; log I - sîni' 1 = 4 1^26961.

On exprime l'ai-c {tB) par son nombre de minutes.

Ou abrège les calculs en coiis.truisant une Table d'où l'on

n„jN.«j.-vGoogle

peut tirer les valeurs de x et dey pour toutes les inctinaïsoBs (2 9).

128. Correction de température. — Les variations de température du matiu au soir font éprouver aux règles des changements de longueur, tpiand elles sont en métal : cet ellèt ne doit pas être négligé. On note tes températures aux époques où elles ont le plus varié , par exemple de 2 à 3 degrés , et l'on suppose que , dans chaque intervalle de temps, il a régné une température constante égale à la moyenne entre les deux extrêmes. IJa thermomètre logé dans la règle ntême sert à connaître les changements qu'elle éprouve, ainsi qu'on va le dire.

Dans les règles employées pour la grande triangulation française, le thermomètre était métallique. C'était une réglette de laiton, logée dans une espèce de canal pratiqué le long et dans l'épaisseur de la règle, où cette réglette était maintenue entre deux rainures. L'un desbouts delà réglette était iavariablemeat fixé à la règle par des vis ou une soudure , l'autre était lihre. Comme les métaux de la règle et de la réglette étaieut différents (en platine et en cuivre) , leur dilatation n'était pas la même pour la même variaUon de température. Deux traits qui se trouvaient en coïncidence sur l'une et l'autre à un certain degré thermométrique cessaient d'y être à un autre degré. tOn conçoit qu'à l'aide d'une loupe et d'un vemier, on pouvait aisément lire sur les divisions de la règle la quantité dont d'égales longueurs de cuivre et de fer se sont plus allongées l'une que l'autre, sous l'influence de la chaleur, et par conséquent les variations de température. Tel est le système qu'on a adopté pour mesurer les changements de longueur des règles , à l'aide d'un thermomètre métallique que porte la règle dans son épaisseur : les d^rés y sont gravés, et l'on n'a que la peine de lire. Il reste enstiite à calculer les longueurs correspondantes â ces températures, ainsi qu'où va l'expliquer. Il importe d'ahriter les règles des rayons solaires ; on les

reconvre 4'uiie espèce de toit en planches posé sur le madrier : les deux boots de ce toit sont armes de pointes verticales qui servent à aligner les r^les dans la direction voulue.

Pour éviter les erreurs , chaque lecture est faite deuic fois pour la languette, le thermomètre métallique et rincUnaî- GOn de la règle. Les mesures sont inscrites sur deux registres qu'on a soin de collatiouner avant de passer outre à une nouvelle mesure.

129. Etalonnage. — Donnons connaissance des procédés qui servent à déterminer la longueur exacte des règles. H faut pour cela les 'comparer à quelque autre longueur connue. Ou se sert d'un instrument appelé comparateur, qui mesure, en les agrandissant, les plus petites différences de longueur entre deux règles surperposécs l'une à l'autre, et ayant un de leurs bouts appuyé sur un arrêt fixe. Nous ne décrirons pas cet instrument (voyez le Système métri- <)ue, tome m, page 4^4) î nous dirons seulement qu'un levier portant sur les extrémités libres, amplifie considérablement les plus petites différences de longueur, et en donne la mesure. Ainsi l'on saura quelle est la longueur de la règle comparée à celle de l'étalon. Mais il faut avoir égard à la nature de leurs substances et à la température.

130. On a reconnu que pour un changement de i degré centigrade l'unité de longueur varie de la quantité a. , donnée par la table suivante :

Platioe a =3 o,ooooo 85655

Laiton a = o,ooooi 87785

Fer doux forgé a ^ 0,00001 22o45

Acier non trempé. . . a ^ 0,00001 07915. C'est ce qu'on appelle la dilatation linéaire. Ainsi le mètre de cuivre, qui passe de ï à 100 degrés, s'allonge de o",ooi 87785, ou près de 2 millimètres. Un effet aussi considérable ne peut être négligé dans la mesure des bases , c'est , au reste , ce dont on jugera bientôt.

nigtijeUi-vGoOgle

i36 cÉOMonpfiiE.

Soit /la longueur d'uue règle de métal à une température donnée, /désignant un nombre quelconque de mètres, toises, pieds, etc. Si le thermomètre monte de t d^rés centigrades, on a l'allongement de l'unité par la proportion i" l a II t l at, a étant le nombre qui répond dans la Table au métal de la règle. Ainsi la longueur/ s'allonge de ail, et devient, pour ( degrés, (!) L = /(. + «0-

131 . i" CAS. — Si la règle est en bois et l'étalon en métal, on commence par calculer la longueur L de cet étalon, SOUS la température actuelle, connaissant celle / qu'il avait à zéro : ce nombre / est ordinairement gravé à la sur&ce. Ainsi L est la longueur de la règle de bois, si on l'a amenée à être la même que celle de l'étalon , en usant l'extrémité; ou bien , à l'aide du comparateur, on en connaît la difiërence avec l'étalon , et par suite la longueur de la règle de bois qui est invariable, ainsi qu'on l'a déjà fait remarquer. C'est ce nombre qu'on inscrit à la surface de la règle.

2' CAS. — Si la règle est de même métal que l'étalon , il n'y a aucun calcul à faire. Car, lorsque l'un est égal à l'autre, on grave sur la règle le nombre / qui est la longueur de l'étalon à zéro : et quand les longueurs sont très-peu différentes, on évalue cette différence â avec le comparateur, et l-\- â est la longueur de la règle à zéro. La températtire actuelle est inutile à considérer ici.

3* CAS. — Enfin, lorsque les métaux sont de différente nature, et qu'on a coupé la règle de même longueur que l'étalon , sous la température (, voici ce qu'on observera. Quand la température redeviendra zéro, l'étalon sera réduit à /, et la règle à la longueur inconnue ;r, qu'il s'agit de trouver. L'équation (i) apprend que de zéro à t degrés centigrades , ces règles longues de / et x doivent devenir

L'étalon H' + <*'}>

La de usiême règle x[i + a't);

7. et a' désignant les dilalatious linéaires de l'unité de» mé-

BASES. li-J

taux respectifs : et comme ^lors les rè^es sont égales , od a

d'où

'^' '■='(rS) = '[■-('■'-">']■

en développant la puissance — i de (i + a'f), et négligeant les termes du deuxième ordre en a et a'. Telle est la longueur X que la règle se trouvera avoir à zéro. Sa longueuv à la température centigrade Q sera donc (3) i = ^(l+a'e);

et si elle n'a pas été taillée exactement sur la longueur de l'étalon , â étant la petite diâérence des deux, la longueur de la règle sera x±id.

C'est ce nombre xibi} qu'on gravera snrla règle, et qui sera pris pour valeur de x dans l'équation (3). Lorsqu'on aura mesuré une ligne avec cette régie , sous une température centigrade $ , il faudra en calculer la longueur X par te secours de l'équation (3), «'étant alors la constante propre au métal employé.

132. Observez que cette méthode a l'inconvénient de donner pour la longueur ^ de la règle, un nombre embarrassé de fractions, parce que celle l de l'étalon à zéro est .un nombre entier (de 4 mètres ordinairement). Si l'on tenait à réduire X à n'avoir pas de fractions, il faudrait diminuer la règle de la quantité {a — a') tl, et alors elle aurait, comme l'éulon, la longueur 2 à séro : mais comme cette diminution serait trop difficile k faire, qu'elle peut d'ailleurs devenir une augmentation qu'il serait impossible de produire , voici comment on peut opérer.

Admettons que notre règle ait même longueur que l'étalon à la température t, savoir h=l(t-+-at). Quand la température s'abaissant deviendra T, c'est-à-dire décroîtra de t — T, cette règle diminuera de La' (i — T); ainsi sa longueur sera

ji-vGooglc

l38 GéOMORÏHIE.

Or cherchons quelle doit être cette température T, pour que la règle ait prëcisément la même longueur / que l'étalon aTaït k zéro : en égalant à l, et négligeant les termes du second ordre , on a

On inscrit alors sur la r^ie la longueur l de l'étalon , mais avec la température T sous laquelle cette longueur existe. On a dans ce cas, pour l, un nombre entier.

Pour calculer ensuite la longueur X de la règle à toute autre température, on emploie la formule (3), B étant l'excès de la température actuelle sur T.

i33. Supposons , par exemple, que l'étalon ait 5 mètres à zéro et soit en platine, et que la règle à étalonner soit en laiton et ait été taillée de même longueur, le thermomètre marquant lo degrés, on a

/=5, a' — a = o,ooooi oaid; ainsi la longueur de la r^le à zéro serait

Et si l'on troiive incommode de se servir de ce nombre liractioHaaire , on verra que la températnre sous laquelle la règle de laiton a aussi 5 mètres est T^ 5°,44i alors on graverait sur la règle ces deux nombres 5 mètres et S°,44- Les calculs seraient les mêmes en partant de l'nne ou l'autre de ces deux déterminations.

D'après cela, supposons qu'on ait reconnu qu'une longueur est composée de 3000 fois la règle ci-dessus, la température étant de 18 degrés; o» pourra trouver cette distance totale de deux manières : soit en faisant dans l'équation {1), /^4'")99948935, a = 0,00001 87785, et î = i8j soit en prenant dans l'équation (3) x=5, ce même nombre a avec 0^ la", 56, excès de 18 degrés surT= 5",44- Ces calculs donnent également L=: 5*°, 001179 * ^îi^î '^

BUBS. i39

base formée de 2000 fois cette longueur est = 10003'", 358. Si l'oD eût négligé d'avoir égard à la dilatation des métaux, on aurait réputé la règle de 5 mètres et la base de 10000 mètres; on aurait donc commis une erreur par défaut de a^jSSS, ce qui eût été une faute considérable.

134. Réduction d'une base brisée à la ligne droite. — Il est à désirer que la base soit une ligne droite; mais les localités ne permettent pas toujours de trouver un sol rectiligne à peu près horizontal de dis mille mètres environ. On est alors obligé défaire mesurer des longueurs formant nue ligne brisée. C'est ce qui est arrivé pour les bases de Melun et de Perpignan.

Soit donc la ligne brisée ACB {Jig. 77 ) , dont on connaît les longueurs AC, CB, ainsi que l'angle G, que nom supposerons voisin de 180 degrés, savoir : C^iSo" — 9, en faisant â^BCI, très-petit angle ; on fera AC=^, BC = â; il s'agira de trouver AB=C, qu'on regardera ensuite comme étant la base mesurée. On a (*)

c' = n' + i' + 2 a ft cos S et cos 9 = i B',

en négligeant les quatrièmes puissances de 3. Donc

enfin

,., , B&O'sin»!'

en développant la puissance - jusqu'au second ordre , et désignant par â le nombrede minutes de cet arc (page 4o).

Et quand ou n'a pu voir le signal B de la station A , mais le signal G, pour ra^orter les points circonvoisins à la

(*) Le trian|;lB ABC eat sphérique: mais on le rsmène à être recUligna en retnachant d« l'aDgle obecrv^C le tiers del'Bieè>iphârique(i«rmi''140), et preuuil le reste pour valeur de C. Dans la réalité, nue base est udb ligne à dDoble coarbure , que nous considérons conime étant un arc de cercle dans

iihlc. (Vùfet la Bast du ^uime mitrifae, tome II, page 663.}

l4o GÉOMORPHIE.

base B , comme les angles ont été mesurés par rapport à AC , il faut les rapporter à AB , et par conséquent connaître l'angle A. Or on a

-r-r = - » avec sin fl = 8 — p 6' ; sin & c o

d'où

et substituant pour c la première valeur ci-dessus ,

Or on a trouvé que

A =siDA + TTsin'A

f équation (18), page 39]; substituant pour sin A sa valeur, puis changeant les petits arcs A et d, en A siu l' et 6 sin i' pour les exprimer en minutes, on a

135. Réduction au niveau de la mer. — Nous connaissons , par le calcul , la différence de niveau des deux extrémités de la base (n° 127) : abaissons par la pens^ le bout élevé d'autant que nous élèverons le bout inférieur, en faisant toiuner la ligne autour de son milieu j nous pourrons r^arder cette base comme un arc de cercle très-peu courbe , dont le centre coïncide avec celui de la Terre. Soit AA' {fis- 7^) •'^ï arc=B, dontla longueur estconnue; eut' l'arc concentrique décrit au niveau de la mer; Ca^R le rayou terrestre (ou plutôt la normale du lieu, voyez n" 177)} Âa=:AlaÏLauteur des extrémités au-dessus de ce niveau.

Il s'agit de trouver l'arc aa' = b^ et la base B sera réduite au niveau des mers. Il suit des procédés dont nous ferons usage par la suite, que le réseau de triangles géodésiques qu'onobscrvedoît être projeté sur la surface de niveau dout

BASES. l4 1

il s'agit, et c'est pour cela qu'on doit y projeter aussi la base B. La longueur 6 de cette base a été mesurée sur l'arc de cercle, puisque nous avons sans cesse conservé, par le fait ou par le calcul , la direction horizontale , perpendiculaire au rayon terrestre. (Nous verrons bientôt, n" 177, que ce rayon doit en efifet être remplacé par la normale.) Quant à la bauteur Âa=/i, nous indiquerons plus tard le moyen de l'obtenir; c'est l'élévation do point milieu de la base au-dessus de la mer.

On a la proportion

CA:Ca:: AA':aa' = l>,

e R surpassé six millions de mètres , et que h est toujours très-petit,'cette série est convergente; on peut même, daos presque touâ les cas , se contenter des deux premiers termesB' — — - Ainsi, pour réduire la base B au niveau des

136. Voici donc la série d'opérations et de calculs qu'on doit faire pour obtenir une base géodésique. Après s'être procuré deux règles exactement étalonnées et leurs supports, on jalonne la ligne droite ou brisée, et l'on y porte bout à bout les règles successivement. On enregistre cbaque observation sur une feuille divisée en colonnes : chaque fois qu'on opère, on reuLarque la température et l'on en tient note, on écrit chaque double inclinaison de la fègle, la longueur de la languette saillante, la difierence de hauteur des deux bouts. Le calcul donne ensuite la dïûerence de niveau des extrémités de la base, sa longueur B réduite, s'il y a lieu, à la ligne droite, le tout en ayant égard à la températtire. On projette enfin B sur le niveau des mers , et l'on a la longueur demandée B , par le calcul du n° 135.

La mesure des hases est uncdes opérations les plus déli-

l43 GÉOMOBrHIE.

cates de la Géodésie, puisque de là dépend la précision de toutes les autres déterminations. Aussi les ingénieurs apportoit-iU un soin extrême dans tons les détails des observations. Pour donner un exemple du degré d'exactitude qu'on est parvenu à obtenir dans l'appréciation des bases , nous citerons les bases de Melun et de Perpignan, mesurées par Delambre et Méchain, la première, près de la grande route de Paris à Melun, la seconde, de Vemet à Salces.

La base de Melun , toutes corrections faites , et réduite au niveau de la mer, a été trouvée de 6075,90 toises.

Celle de Perpignan était de 6006,249. (Système métrique, page 56, tome II.)

La distance de ces bases était considérable, et pour passer de l'une à l'autre , elles ont été liées par une clfaine de 63 triangles de premier ordre. A l'aide des formules dont noos donnerons bientôt la démonstration , on a pu calculer l'une de ces bases par le secours de l'autre ; et voici le résultat de ce calcul :

Base de Perpignan, mesurée, . . 6006,249 — — calculée. . . 6006,080

Ainsi l'erreur n'est €jue de 0,16 de toise ou Ti,5a ponces, quandté à peine digne d'être prise en considération. Mais il est hors de doute que cette coïncidence très-approcbée n'est due qu'à des compensations fortuites d'erreurs, car on a reconnu que la cbalne de triangle d'Orléans à Boutées était défectueuse, ce qui a été vérifié par la mesure de la cbalne dite méridienne de Fontainebleau, et confirmé par une autre ligne latérale à l'ouest de la première (*).

Nous ne citons donc point ces résultats pour en montrer

(■) l'erreur de le base de Perpiunao a été reeonuuB de 1",83; Cette basa at égale ti i i^dT',^ : il ea eit résulté que l'arc du méridien dn Panthè«ii k Montjeu; > été trouvé par DeUmbre trop court de 33',3. Bouguar n'a trouvé qneéS cenlinièlreB d'erreur sur U base du Pérou, calculée par une série de l8lrUnglM,couTrant unaTcqui eicède 35o 000 mètres.

ji-vGooglc

nÉDi!CTio« A l'hobizok. 143

l'exacte pr&isiou, mais plutôt comme un exemple du soin qu'on doit apporter dans ta mesure des bases, et de l'attention (ju'on doit avoir pour se mettre en garde contre des cottsAjucnces prématurée» sur le bon ou mauvais succèsdes opérations.

Sept bases ont été mesurées eu France, et nous donnerons plus tard les résultats des comparaisons ipi' elles ont conduit à faire, en calculant chacune par les autres, à l'aide de la chaîne de triangles qui les lie entre elles. On y reconnaîtra des erreurs si petites , qu'on est plutôt induit à les attribuer à des causes dont nous parlerons, qu'à des vices de l'opération même. Ces beaux travaux font le plus grand honneur aux habiles ingénieurs qui en ont été chargés. ( Voyez la Nouvelle description géométrique de la France, page 45s ) où la base mesurée dans les Landes de Bordeaux est comparée à celle qu'Oriani a mesurée près du Tésin.)

137. Réduction à Vhorizon, excès sphérùjOe. — Les triangles géodésiques sont situés dans l'espace; l'observation a fait connaître leurs angles : il s'agit de les projeter sur la surface de niveau de mers , où notre base a déjà été évaluée. Soit O (fig. 6g) une staUon d'où l'on découvre les siguaux M et N, et l'on a mesuré l'angle MON^O, qu'on veut projeter sur l'horizon selon mOn. Abaissons de M et N les verticales Mm , N n sur la surface de niveau Omn; il s'agit de calculer l'angle mOn = 0', projection de l'angle O.

Les plans verticaux MOm, IVOn, se coupent suivant la ligue OZ qui va au zénith Z , et déterminent avec le plan MON un trièdre, et par conséquent un triangle sphérïque ABC, dont les trois côtés sont connus. Eu effet, l'arc AB = O = l'angle MON ; et l'on a pu, du point O, mesurer les distances zénithales MOZ = jb', ■NOZ = a;. Ces plans verticaux fout ensemble l'angle dièdre MOZN, mesuré par l'angle mOn qui est la projection O' qu'on cherche, La résolution de ce triangle sphérique (n" 76)

nigtijetJNGoOgle

OÉOMORPHIE.

donne

^.sin(/,-»).rin(/,-2')

Ainsi l'on saura projeter cliaque angle des triangles, et ramener ceux-ci à des triangles sphériques très-peu courbe», tracés sur le sphéroïde terrestre.

138. Mais il arrive presque toujours que les stations sont si éloignées et si peu élevées, que les différences de niveau sont très-petites, et les valeurs angulaires z et z' très-voisines de 90 degrés. Le dénominateur de notre formule est donc très-près de 1, et le calcul manque de précision. Faisons

s = go° — A , 5' = 90° — h',

h et k' seront les hauteurs des stations M et N {fig. 69) vues de O , savoir,

NÔ« = A, MO»n = A'.

L'équation fondamentale (3} , page ^4) devient ici co$0 = sinAsiDA'+ cosA cosA' cosO.

Mais h et h' étant très-petits , on en peut négliger les quatrièmes puissances, et poser

sin A = A — j; A' , cosA = 1 A',

d'où

sinA'wnA^ AA', cosAcosA'^i (A'+ A"),

et

1— i (A'+ A") eo30'= cosO — AA'.

Pour dégager cosO' de son coeHicient, il faut multiplier le second membre par la puissance — 1 de 1 (ft' + A") ,

ou par 1 -I- - (A*-t- ''''),

cosO' =: cos 0 — AA' + ![/.'+ A")cosO.

RÉDUCTION A l'hoRIZO.N. i45

Au lieu de chercher O', il est plus commode de chercher le petit arc â dont O' surpasse O, savoir :

0'=0 + 5, cosO'= cosO — JsinO;

nous négligeons ici les puissances de â, parce, qu'on va voir que d est du second orâre. En comparant ces valeurs de cosO', il vient

S sinO = H' — -ï- (A' + A")cosO.

Or faisons

sinO=asiD-Ocos-0, cosO =cos'-!-0 — sin'-O;

puis multiplions le terme kh' par cos' - O-f- sin' - O, qui

est ^ 1 ; il viendra, toutes réductions faites, en exprimant en secondes les petits arcs â, k et A' (c'est-à-dire en les multipliant par sin i", page 4o})

(A) 3= (——■ \ sini"taDg^O — [ ~.') sini''cot-0,

avec

0'=:0 4-ff.

Le calcul donnera le nombre de secondes de l'arc S et son signe : ce sera la correction que doit subir l'angle observé O dans l'espace, pour être réduit à sa projection sur, l'horizon.

Lorsque l'angle O est mesuré avec un théodolite, aucun calcul n'est nécessaire , et l'instrument donne cet angle tout réduit, ou O'.

Prenons pour exemple les signaux Auhassin et La Bastide, vus de

i>((r- FfolnR, à lo lienea d« Rodei {Srstème métrique, tome I , 'pa^ a68). On a obserré l'angle

et lea Htca de lunt«ur

Aiibatim h =— ii^i'^b' ' (A + h') =— i" I9'57*,S = ^-jgj'.b

LaBaillde 6'=— i. 7.10 -(* — A') = — 0. n.ji7 , 5 = 707,5

l46- GÉÔMOBPHIE.

■ iloB/i;93,'i.;... ;.36jo3i>o' ilog 767°,,'i. 3.770iM8 -

aini'... .. 6.6855-;4o G. 68557^9

ung-O ■- T.S8oo38o compl. 0.3199610

■O = 5i* 9'îçi,744 angle observé, 0'= a1.10.17 ,190 angle réduit a l'horiian'.

Comme ces calculs doivent être répétés sur tous les angles ■du réseau , on les abrège en construisant une Table des lo-

garltbmés de - a' sin 1" ( coefficient de tang et cot - O j j>OQr toutes les valeurs de a , arc exprimé par son nombre de secondes. {Foyez Table I.)

On y entrera deux fols, Tune avec -le nombre ac=h + A', l'autre avec a^h — h'. L'interpolation sera souvent nécessaire pour donner les valeurs de ce facteur j il ne restera

qu'à y ajouter leslog tang et cot ^ O , et l'on aura ainsi les

nombres de secondes représentant les deux termes de notre formule; on prendra le dernier en — . Dans l'exemple cidessus , on à

A + &'=9595°... 3.047603 A— ,A'=i535'... ■0.455719 " tang-0 T,68oo38 ' ■ compl.. .,. 0.319961 —

-1- 53',4ii ~ 5",966

Delambre et M. Puissant àe servent de deux Tables ■ço^a calculer la formule ( A) , et n'eftiploîent pas les logarithmes . tabulaires. Nous croyons notre procédé plus simple.

139. Démontrons une propriété remarquable des triangles très-peu courbes tracés à la surface du sphéroïde terrestre. Concevons que des angles A, B> C {fig' G6) d'on tel triangle, on ait mené des rayons au centre O de la sphère, rayons que nous représenterons par R; les côtés seront a, J, c. Ces rayons OA, OB, OC déterininent un Irièdrc, et

KÉDUCTION A LUOmiON. 14?

UD autre triangle sphérigue A, 6, Ct sur la sphère concentrique dont le rayon est i = OA, ; les c6téa sont a', b', c', et les angles A, , B, , Ci respectivement égaux à A , B , C. Orona [équation (3), page 74];

sînfl'sini'cosC = œsc' — cosu'cosfi',

°°°'=s('-Êr)' ""'"'-■k'*^'-

En eÉFet, on doit substituer dans les développemenu , page 39 , des sinus et cosinus , pour a', b', c' leurs râleurs

n ' n' K ' *^* P^"* ' ^^ **'' ^° •l'""*^ <î^ négliger les cinquièmes puissances de ces fractions , puisque les arcs sont fort petits par rapport à K. En substituant, développant les produits, on trouve , au cinquième ordre près ,

ab' ■ ' — '^ —

Divisant tout par le coefficient de cos C, ou multipliant par sa puissance — i , qui est

on 3 , en négligeant le cinquième ordre^

eosC = '•+'>'-'• + (■.■+t--c'r-4«-f

Cela posé, concevons un triangle reciiligne A'B'C formé de côtés a, b,c ayant mêmes longueurs que ceux de notre triangle courbe ABC, Pour déterminer l'un des angles C de ce nouveau triangle, nous avons [équation (aS), page4i]

puis

— 4 »■ ê" .in^ C = («• + S'— c')> -ia'i'.

r„: .,,1 Gl)C5glc

l4S GÉOMOUPHIE.

Or ce deuxième membre est précisément le numérateur de la deuxième fraction ci-dessus ; donc, S désignant la surface

du triangle rectiligne, savoir S = - ab&mC, on a

Comme le triangle proposé ABC et le triangle rectiligne A'B'C ont à fort peu près même surface, on peut indifféremment prendre S pour l'aire de l'un ou de l'autre de ces triangles.

Désignons par â la petite différence entre les angles correspondants C et C, ou

C = C'+ J; d'où

cosC = cosC' — JsinC.

On en tire, en comparant cette équation à la précédente,

Ce dernier terme étant ime fonction symétrique des côtés i, b, Cfil est évident qu'on a pareillement

et, faisant la somme de ces trois équations, à cause de A' + B' H- C = i8o°, on a

Donc la somme des trois angles de tout triangle sphérique très-peu courbe surpasse 180 degrés d'une petite quanthé tfui est

cette quantité s est ce qu'on appelle l'excès sphêngue. En l'exprimant en secondes (page 4o) , on a

S aèsinC , •. „

^ ' Tl'sini" aU'isini" *

ji-vGooglc