RÉDUCTION A L HORIZON
en posant le coefficient conslani
'^~3R'Ld?'' 'og* = 9-4o545- Nous montrerons bientôt l'usage de cet excès sphérique , et nous enseignerons à en calculer la valeur. On prend ici R ^6367534 mètres. Nous donnerons (n"147) les moyens de calculer la valeur de R qui convient à différents lieux de la terre, et l'on en déduira facilement la valeur correspondante de la constante k. Au reste, la recherche de la grandeur de R sera l'un des principaux sujets que nous nous proposons de traiter.
140. Donc aussi îl existe toujours un triangle rectUigne ^ui a les mêmes côtés a, b, c qu'un triangle sphérique très-peu courbe, et les angles de ce dernier sont chacun plus grands que son correspondant dans l'autre, d'une petite quantité égale au tiers de l'excès sphérique s. Par
conséquent , si l'on r^ranche ^ s de chaque angle sphérique,
le triangle ABC sera changé en nn autre rectiligne A' B' C formé des mêmes côtés, et, dans le calcul de ces côtés, on pourra substituer celui-ci à l'autre. On y connaît toujours im côté et les angles, et les formules de la Trigonométrie rectiligne feront connaître les deux autres côtés qui sont aussi ceux du triangle sphérique.
Ce théorème est dû à Legendre.
m. D'après cela, les angles observés dans l'espace étant réduits au centre de station (n" 119), puis à l'horizon {n" 138), si l'on fait la somme des trois angles, on trouvera qu'elle excède i8o degrés; celte différence est due à deux causes : les erreurs d'observation et l'excès sphérique. Ce qu'on peut supposer de plus vraisemblable, c'est de regarder les erreurs comme égales sur chaque angle, et comme il faut aussi répartir l'excès sphérique par tiers, il est évident qi^'on devra réduire à 180 degrés la somme des trois angles, en retranchant de chacun le tiers de la quau*.
l5o CÉOMORPHIE.
tilé qui excède i8o degrés dans la somme des Irois angles sphériques. On pourra alors supposer que le triangle est rectilîgne, et en cKercher les deux côtés inconnus, parce que ceux-ci ont même longueur que ceux du triangle sphérique proposé. La résolution se fait par l'équation (34), page 41,
isinA = asinB,
1 côté qui est la base :s, aura ainsi ses deux
Le premier triangle, dont on a mesurée et réduite au niveau des 11 autres côtés connus. Les triangles voisins qui s'appuient sur ces côtés auront aussi tous les côtés connus par un calcul semblable , et ainsi des autres de proche en proche ; en sorte qu'on connaîtra les angles et les côtés de tous les triangles du réseau réduits au niveau des mers.
142. Voici un exemple tiré du Système métrique, tome I, page 477) et tome II, page 836, ii3* triangle.
.,'ri..
retUUgne.
Rodos, ,. Mataa....
M'Sscm.
ft=-o.4t.5o,63 l'=-..5,.3,,9.
53"8i 54,7e ig,33
La 1" colonne contient les noms des stations; la a' les angles qu'on y a observés dans l'espace , mais réduits à l'axe du signal [a° 117); la 3° donne des arcs de hauteurs des sommités, afin d'en déduire les corrections pour réduire à
IlÉDUfiTIOK A L'HORIZOM. l»t
l'horizon (n^lSS); la 4° <ionne ces corrections; la 5' )es angles réduits (leurs nombres de secondes seulement, les d^rés et minutes ■étant les mêmes que dans la a' colomie ) . Au reste, on-verra par l'exemple suivant que cette colonne ■ 5^ est inutile à former ; nous ne Uavonsécrite que pour donner tous les détails du calcul. On trouve que la somm.e des trois angles réduits surpassé 1 8o degrés de 6",gy, dont le tiers est 2", 3a. En retranchant ce nombre de chacun des angles réduits, on ramène le tliatigle à être rectiligne j tel qu'on eu voit les angles, 6^ colonne. Lay'contientlcs trois côtés, dont le premier a est donné j et dont les autres résultent du calcul suivant : ■
sinB'...-.. T.9Î18465 sinC, l.945i436
sinA' — T.9440944 —1.9440944
* 4.575oa56- c ■,.... 4.5983197
■ li3. Voici encore un exemple tiré des Ojiéra lions do M. Corabœuf, dans les Pyrénées, pour le Dépôt de la Guerre.
La Madrés .
Pic d'Appi
B=94:56'.4i,-8îj^,^^^" C=34. 6.n,63u,!
Somme des angles rédnita.
Différence à 180 deerés.'
Tiers à ajoutet a. ihaqiie angle rédui
n.iNî-.i-.Goot^le"
iSa GÉOMOnPHIE.
La i" colonne contient lea noms des stations; la 2' les angles observés, mais réduits à l'axe du signal (n° 117) ; la 3* les hauteurs des signaux pour opérer Tes réductions à l'horizon ou corrections â qui sont dans la 4* colonne (n° 138), c'est-à-dire qu'il faut ajouter ces corrections è aux angles observés (2* colonne) pour avoir les angles réduits à l'horizon , ou les angles du triangle sphérique trèspeu courbe. La somme des angles réduits devrait surpasser 180 d^résj mais en ajoutant toutes les trois réductions , ou leur somme + 1 ,9} , à celle des trois angles observés , on a la somme des angles réduits : et comme cette somme est <^ 180°, on reconnaît une légère erreur dans les observations qui a absorbé l'excès sphérique et un peu plus, savoir o",i3 : le tiers 0,04 doit donc être ajouté à chaque réduction à l'horizon. Telles senties corrections qu'ilfaut taire subir aux angles observés, et l'ou obtient les angles du triangle rectiligne de la 5" colonne. Enfin , connaissant un côté , le calcul donne les deux autres côtés, comme ci-devant, et le triangle sphérique est connu en totalité.
144. Dans ces opérations, il n'est pas nécessaire, comme on voit , de calculer l'excès sphérique s, parce qu'il est compris dans le calcul même .avec les erreurs d'observation. Mais lorsqu'il s'agit d'obtenir les azimuts des côtés, les longitudes et latitudes des stations , et la longueur d'un arc de méridien terrestre, on ne peut plus se dispenser de connaître E , et de faire la part des erreurs séparément. Faisons donc voir comment on peut calculer e. D'ailleurs dans les méthodes qui seront exposées, cette opération est indispensable.
On commence par chercher approximativement les côtés du triangle, en considérant les angles A, B, C, réduits à l'horizon, comme ceux d'un triangle rectiligne, et la surface de celui-ci comme égale à celle du triangle sphérique
S:=~ah sinC. Tout sera donc connu dans l'équation (lî).
DÉDUCTION A l'hORIZON. i53
sauf le rayon terrestre R, dont nous assignerons bientôt la valeur. En adoptant celle du n'' 147 qui convient à la France, on a
, , . „ , , ( q.ioSiS en mètres.
« — -fflAsinC, lo^A =:IZ
{ 9.98509 en toises.
Comme le coefficient k est fort petit, il n'est pas nécessaire de faire lè calcul avec beaucoup de précision , parce que les erreurs sont rejetées sur des décimales plus éloignées que celles qu'on conserve au nombre s {trois au plus). Nous donnons ici le calcul pour le premier des deux exemples qui précèdent. Nous trouvons s = 3-",34-
fi ^.S-jSoa
sinC... T.94514
Ce devrait être l'excès sur 180 degrés de la somme des trois angles réduits; mais comme on trouve 6",97 pour cet excès , on reconnaît qu'il y a 3",63 d'erreur dans les observations, savoir i",2i sur cbaque angle, outre i",ii provenant de l'excès spbérique.
Ce triangle, l'un des plus grands qu'on ait formés, a ses côtés d'environ 4o mille mètres; c'est à peu près tout ce que permet la portée des lunettes; et cependant l'excès sphérique y est bien faible. On prendra donc confiance aux calculs qu'on fera sur des triangles moindres. Au reste, il y a uQ triangle, Desierto,Mongo et Cam/Ji'ey, qui joint les îles Baléares à la côte d'Espagne et qui est plus grand encore; son excès spbérique est de 89 secondes.
145. II convient de réduire la formule (B) en Table, pour abréger les calculs de l'excès spbériquequi se répètent souvent. Voici comment on s'y prend : soit ABC (Jig- 32) le triaugle rectiiigne dont on demande la sm'face S. La perjiendiculairc AD sur la base BC décompose cette aire en
GÉOMOnPUIE.
ABDh-
ACD : or on a
DC = 6 c
09C, AD=b
ACD = ~l>
smCcosC = 7
De même on trouve
ABD = ^c-sinïB
et, par
conséquent,
i{b'sio2C +
Or imaginons qu'on ait construit une Table à double entrée, donnant toutes les valeurs de-A^i'sinaÇ, pour tous
les angles C de degré en degré , et toutes celles de 6 de iooo en 1 000 mètres ; on en tirera tout de suite les deux termes de E, en entrant tour à tour dans cette Table avec les nombres b et c, et les angles respectifs C et B (toujours un côté et l'angle adjacent). La sonune des deux résultats est e. C'est ainsi qu'est construite la Table IV de la Géodésie de M. Puissant. On a soin de prendre pour B et C les deux plus petits angles du triangle , afin d'éviter le cas où là perpendiculaire AD tombe hors du triangle.
On peut encore faire une Table des valeurs de s ^ aAS, en prenant pour arguments la base B et la bauteur H du
triangle , savoir S = - BH , e = ft BH. On mesure avec im
compas sur la carte la base et la bauleur du triangle , et ces données ont une exactitude suffisante pour ce genre de calcul , parce que e varie très-lentement pour de grands cbangements de B et de H , attendu que h est extrêmement petit.' C'estlaTableV de M. Puissant. Dans \k Système métrique, ce sont les Tables V et VI du tome ï". Nous avons jugé inutile de les reproduire ici .
146. On a souvent besoin de réduire en secondes un arc de la surface terrestre, horizontal*, donné, soit en toises
■,Gt)0^lê
AÉDUCTIOH A l'horizon. 1^5
soit en mètres, ou réciproquement, voici comment on opère.
Nous verrons bientàt comment on est parvenu à déterminer par expérience la longueur de l'arc de i degré terrestre. En prenant l'arc de méridien qui traverse la France, par exemple, on trouve degré du méridien en France = 57020 tîntes =: 111 134 mètres.
Or si 3 600 secondes ont cette longueur, qiielle est celle de I seconde? d'où
longueur de rare de 1"= . =15^,83889= So-jS^oS^,
i 1.1907247 ^^ toises, compl. ^ i. 8002^53 t. 489544? en mètres, compl. ^ 2.5io4553 (C) longueur de l'art de n secondes, S ^in,
équation qui fait connaître l'un des nombres S ou n , l'autre étant donné.
Mais comme la longueur de l'arc de i degré du méridien varie avec les lieux, parce que la Terre n'est pas sphérique, on ne peut appliquer celte valeur de i qu'à la France. En d'autres contrées, le degré terrestre sera représenté par 57020'^ -H ^, et quand on connaîtra X, on aura, pour la longueur de l'arc de i seconde,
36oo' l'arc de n secondes sera donc
Si l'on veut opérer par logarithmes, on a
et développant, M éunt le module (page 39), , , , Nx , . Mj7
. ■ n,<jN.«j-vG00glc
l56 CÉOMOHVHIE.
doDC
logi' = logi"-t-Qa:,
logS' = IogSH-Qj:,
en toises, Q ^ i: = o,ooooo 762, log^6,88i75 no,
en mèires, Q^ 0,00000 891 , log = GiSgaîz 83.
Ainsi l'on calculera l'arc * comme s'il était en France, et l'on ajoutera à logS la correction Qx, produit du facteur constant Q, par l'excès x (positif ou négatif) du degré dans le pays dont il s'agit, sur le degré de France.
liT. Il est facile de déduire de ces calculs la longueur du rayon terrestre R, qui convient à unespbère sensiblement coïncidente avec la surface de niveau de la contrée dont il s'agit. Car la circonférence R est
2irR = 5702oTX 36o", ou bien =iiii34"X 36o°, quand c'est celle d'un méridien de France. On en tire
S 3267005 toises, log^6.5i4t4 9^i 636^509 mâtres, log^G. 80396 96, Mais, en d'autres pays, le degré étant différent, le rayou n'est pas le même. On trouve
2jrR' = (55020 + 3;)36o°, R' = R-f-fta:, en conservant à fi degré la valeur donnée (page ^a) , ou
Et si l'on veut logR', on prendra les logarithmes des deux membres logR' = logR -f- log N+ ^ \ - logR + ^£^,
logR'=: logR H J*--- = logR + g-^ = logR -\- Qx.
La correction Qx que doit éprouver logR pour devenir logR' eit la même que pour l'arc du méridieu.
. DES CÔTÉS DES THUNGtES. iS^
Nous reviendrons plus lard sur la déterminalîon des valeurs de S, S', K et B.', quand uous aurons trouvé la forme et les dimensions du globe terrestre , et nous exprimerons l'arc de méridien et son rayon en fonction de l'aplatissement et de la latitude du lieu.
Autres procédés pour calculer les côtés des triangles.
148. Nous avons dit qu'on ramenait tous les triangles oteervés à leur projection sur la surface du niveau des mers ; on a ainsi une chaîne de triangles assez petits pour qu'on puisse regarder chacun comme sphérîque, où l'on connaît un câlë et les trois angles. Au lieu de lëduire ces triangles à d'autres rectiligncs, comme on vient de le faire, on peut les résoudre en les supposant tracés à la surface d'une sphère de rayon connu R. C'est le deuxième procédé que nous exposerons.
Après avoir calculé l'excès sphérique, pour évaluer les erreurs d'observation , on corrigera celles-ci en les apportant par tiers aux trois angles du triangle, qui ne seront alors affectés que de l'excès sphérique ; puis on résoudra le triangle par la règle des quatre sinus [équation ( S ) , page 75].
Mais le calcul est plus simple et plus exact en développant en séries les sinus des petits arcs â,£,c. On a, au quatrième ordre près,
(D) logainfl=lo6û
en faisant
k =: coDst. =
On trouve, en prenant la valeur de R du n" 147, qu'en France on a
en toises, log A ^ i5.83i33i6,
en mètres, logA ^ iS.aSiGgiô.
nigtijeUi-vGoOgle
l58 GËOMOBFHIE.
L'équation (D) doone sina lorsque le c6té a est connu par aa longueur métrique; on a ensuite
(E) sin i = -:— - sinu ,
équation qui donne sinJ; enfin le côté h se trouve en mètres ou en toises, par l'équation suivante, qu'on tire de (D),
(F) log* = logsini -h A sin'b.
Par exemple, pour le premier triangle résolu ci-devant page i5o, où l'on a reconnu 3" ,63 d'erreur d'observation, et a = 3956i",39, ou retranchera i'',3i <le chaque angle réduit à l'horizon :
Rodos A=a6i'"33'5i',6o a' 9.I9454
Mata» 8 = 56.38.53,57 * TS.iSiôg-
Hoat-Seml. . 0 = 61.48.17,17 — a8 G.^Gii—
correction deloga =: — o.ooOQOiS
sinC T.945i44g BinB T.s^ig^So
sinA — T.94409S6 BinA —T. 9440966
sine 4.59S3i6g aiab 4.5750100
11 reste & exprimer en mètres les arcs b et c.
* Ï5. î5i69 '. ÏS, 35169
sin'J 9.i5oo4 «in'e 9 iflMS
CoirectiODi.. o.oooooiS o.oooooiS
ûnt 4-5750100 sin 4.S9g3i6S
ïogh 4<575o9i5 loge 4-59S3196
Ce loiil prétisément les logarithmes obtenus page i5o, 1 49. On peut encore modifier l'équation {F ) ; car on a
cos 6 ^ i r- :
aR'' d'où
(casbY=,-—, -logcost^:-— - = -ii';
.vGoogIc
CALCBL DES CÔTÉS bES TIIIANG1.E5. 1S9
partant réfjTiaiion (D) devient ■. ■
(G) logA ^ log'sint — ^logcosè.
Au reste, on peut remarquer que tous les calculs'qu'on fait pour appliquer la théorie de l'excès sphérique, duc à Legendre, se retrouvent ici , et qu,'oii en fait quelques-uns de plus. Le procédé qui vient d'être exposé est donc moins simple que le premier : il a plus de précision; mais on n'y doit recourir que pour les triangles très-étendus, et encore il est douteux que les résultats soient différents de ceux de la première méthode.
150. Il convient d'examiner maintenant le procédé do Delambre , parce qite ce procédé a été suivi dans la hase du yfstèrne métrique. II consiste à ramener par le calcul les triangles, déjà rendus sphériques par leur réduction à l'horizoD , à des triangles rectilîgnes formés par les cordes des arcs, ou côtés de ces triangles très-peu courbes. On a de la sorte un polyèdre à faces triangulaires inscrit au globe terrestre, et dont les sommets sont situés à la surface du niveau des mers. Comme il y a très-peu de différence entre chaque arc terrestre et sa corde, de petites corrections, faciles à faire, donnent les arcs par les cordes , et réciproquement.
151. Cherchons d'ahord (fig. 80) la corde GKH = A d'un arc GyH^çdont la longueur est connue, et réciproquement cette longueur <f , quand celle ^ de la corde est donnée, le rayon du cercle étant IG = R. Prenons le rayon IL^i, la cordé L0= ce de l'arc a, est (page ^i, n°35)
vGooglc
l60 GÉOMORFHIE.
Mais on a aussi
il:lo::ig:gh,
savoir,
ainsi il faut changer a en ^ , et a eu ^î donc
et lorsque le rayon est très-grand ,
excès d'an arc sur sa corde, ç — / =;— j— ^y.ç'. £n mètres log^ ^i5,oii8474i ^" toises \ogq = i5, 59148^4 1 en adoptant la valeur de R qui convient à la France (n" 147).
On a aussi
et substituant pour f sa valeur approchée k,
Ainsi quand on connaîtra l'une de ces deux quantités, un arc terrestre ç on sa corde A, on pourra calculer l'autre.
Soil, par exemple p^SgSfii^iî^ ?'--■ 13.79181
— û,o64 >}.... Tb.oim
Corde de l'are a A =3 SgSeï , 53 o"n,o64 3 8o366
152. Dans le triangle sphérique très-peu courbe ABC {Jîg 72), on connaît le c6té a en mètres, ainsi que les trois angles : on demande quels sont les angles A', B', C et les côtés a', b', c' du triangle recdligne formé par les trois cordes,
CZ est une verticale à angle droit (sur les arcsCA, CB, ou plutôt sur leurs tangentes en C , ZCI est de 90 degrés).
vGooglc
CALCUL DES CÔTÉS DRS TBIAHGLES. l6l
L'angle ZCn est donc
ZC»=9o»-i»,
puisque l'angle ICn, formé par une tangente et par une cordc) a pour mesure - CaB , ou - a. De même
Imaginons une sphère dont le centre Soit en C ; sa surface coupera les arêtes du trièdre ZCAB en m , p et n , ce qui détermine un triangle sphérigue mpn. On connaît dans ce triangle, outre l'angle m = C que forment les plans ZCâ , ZCB, les côiés qui comprennent cet angle, savoir :
Pour en tirer le côté pn ^ C, qui est l'angle des cordes CA, CB, il faut résoudre ce triangle, et comme les arcs a et b ne sont au plus que de quelques minutes , nous imite' rons ici ce qui a été fait page i43 pour réduire un angle à l'horizon.
Cherchons l'excès £ de C sur C ,
le triangle sphérique mnp donne
cosC'^sin - afàn -b -(-cos-ocos -icosC.
Or on a
cosC ^ cos C — « sinC ;
substituant et développant les sinus et cosinus de-aet-i,
il vient
co»C — esinC = 7 06 —3(0'+ ô'} cosC + cosC,
ji-vGooglc
lôa GÉOMORPHIE.
le reste du calcul est le même page 1 44 > et l'on a enfin
(^- j smi"tang-C + (^-^-j smi-cot-C
153. Cette valeur de E est aussi appelée excès sphérique, quoiqu'elle soit tout autre que la quantité à laquelle Legcudre a donné ce nom. La formule ci~dessus exprime en secondes la correction que doit subir, avec son signe, l'angle C des arcs , pour devenir celui des cordes.
On applique cette formule à chacun des angles A , K , C du triangle sphérique, et l'on obtient les angles A', B', C du triangle rectilîgne formé par les cordes des arcs. On connaît d'ailleurs l'une k de ces cordes par le calcul de l'équalion (H), n" 151, qui rtiseigne à la déduire de l'arc ip, ou côté de triangle sphérique ; ainsi l'on pourra calculer les deux autres côtés du triangle rectiligne. Ensuite on ramènera ces cordes le aux arcs ç par le même procédé, équation (1), n"151, et les côtés du triangle sphérique seront connus.
Tel est le procédé que Delambre a suivi dans la base du système métrique. Nous allons bientôt en montrer l'application à un exemple.
Mais avant, enseignons à réduire cette formule L eu Table, car on est obligé d'en faire le calcul pour tous les triangles du réseau. Or, en comparant cette équation à celle A de la page i44 i ^^ voit qu'elle est la même en signe contraire, en remplaçant A et A' par- a et- b. Ainsi l'on entrera dans la Table I , qui donne leï valeurs des quantités comprises sous la forme 7 m* sÎd i", avec la somme et avec
la différence des arcs -a el - b exprimés en secondes , ou avec a elb, sauf à prendre ensuite le quart des résultats. On aura ainsi les logarithmes des coefficients de tang -C et
CALCUL DES càTÉS DES TltUKGLES. l63
cot - C , la première négative et la deuxième positive. Ainsi on obtiendra les deux termes de la formule {L).
184. 11 faut réduire en secondes les côtés a et & de l'angle B qui fait le sujet du calcul ; c'est ce qu'on fera ainsi qu'il suit.
On considérera, par approximation, )e triangle sphérique proposé ABC, comme rectilîgne, et l'on trouvera par le calcul les côtés a, b, c, qui seront à peu près exacts ; mais l'usage auquel on destine ces nombres n'exigepas qu'on les connaisse avec plus de précision, car l'erreur extrêmement petite qui affecte les longueurs de ses côtés , ne peut influer sur la valeur qu'on en tirera pour e , qui est très-petit. Au reste', on pourrait convertir enTable la formule {C), a" 146, pour en tirer à vue les valeurs des côtés â et & en secondes.
153, L'exemple suivant est destiné à monti'er comment on doit gouverner les calculs.
* l'hnnion.
cort«
