Si l'on suppose l'arc MM' {fig. 79) pcrpendicu

' nigti^edi-vGoOgle

PEnPENDICULAillES A Lï MÉH1DIEN^E. H^'J

îaire à la méridienne PM du point M , on a

dans les équations (Â"), (B') et (C), pages 33o et aaS; et pour que a soit exprimé par le nombre 91 d'unités métriques de l'arc terrestre, au lieu de l'être par sa longueur, le rayon étant i, ou par son nombre de secondes, on changera, comme n° 181, l'arc a en r— -î — =■ Ainsi, à cause de ° ' ' Nsini '

D = / — L, on trouve, i" pour la latitude L de l'extrémilé M' de l'arc MM', perpendiculaire en M; 2° pour la différence P des longitudes de M et M' ; 3° enfin pour l'azimut s' du lieu M vu de M', ou l'angle m'M'M compté du sud, les trois relations suivantes ;

Ces équations sont exactes au quatrième ordre prés : l'azimut z' est compté du sud vers l'est ou l'ouest j P est expiimé en secondes , ainsi que tous les termes qui ont sîn 1 " au dénominateur ; f et N sont des longueurs rapportées à la même unité métrique (n" 181). ^

â42. Multipliez la deuxième de ces équations par sin/, et retranchez la troisième , la première puissance de cp disparaîtra, et vous aurez

Cette équation , où 1« premier membre et i 'avant-demi citerme sont exprimés en secondes, fait connaître la longitude P de M' par rapport au mérïdien de M, lorsqu'on a l'azimut z' du sommet M, vu de M', compté du sud. Pour un autre point du môme arc perpendiculaire, mais

^io GÉOUORPHIE.

siiuéde l'autre càiëdu méridien de M,onaui'aiiuneé<]nation semblable eu F', z" et ff' : ajoutant ces deux éqna- Itous et désignant par ^ la différence des longitudes de ces deux stadons opposées , ou X ^ P + P', on a

1 — s' + g'— »8o" (T'+y")tang / SITT ^ 6N=sin/sini"'

Telle est la différence A des longitudes des deux bouts M' et M" d'un arc perpendiculaire à la méridienne, laquelle le traverse en l'un de ses points. M. Puissant a prouvé [Connaissance des Tempspour 1828) que si cet arc a4oo mille mètres de longueur (100 lieues) , sous la latitude de 4^ degrés , on a s

valeur exacte à une demi-seconde près. Poiu'vu donc que lare n'excède pas cette étendue, c'est-à-dire que sou amplitude ne défasse pas 10 degrés de longitude, l'équation est exacte. Les azimuts z' et z" mesurés aux extrémités de cette perpendiculaire , et les longueurs ç et y' de ses deUx parties, font connaître la différence en longitude de ces . deux bouts de l'arc.

Mesure tles arcs de méridien , de parallèle, etc.

243. Les arcs terrestres sont mesurés en dirigeant un réseau de triangles dans le sens de ces arcs, calculant les longuetu^ et azimuts de ces côtés, les longitude^ et latitudes des stations, enfin projetant ces lignes sur l'arc qu'on veut mesurer, à l'aide de parallèles à l'équateur, ou d'arcs de grand cercle perpendiculaires à la ligne géodésique ; le tout par le secours des formules précédemment démontrées, La somme des projections .convenablement choisies donne la longueur totale de l'arc.

Ainsi, pour trouver la longueur de l'arc de méridien qui traverse une cbaine de triangles dont tous les éléments et la disposition mutuelle sont connus, on rapportera chaque sommet au méridien principal d'une station prise jwiur ori-

lues DE MÉRIDIEN. ^40

giue, et l'on évaluera les <lens coordonnées x et y de chaque sommet , dans le sens de la méridienne et de sa perpendiculaire. Ce procédé est bien plus commode et plus analytique que celui du n" 162, qui a l'inconvénient d'exiger le secours d'une figure. D'ailleurs , on est obligé de trouver la latitude de-l'ost rémité de l'arc, qui diffère sensiblement de celle du dernier sommet, ce qui exige une correction qu'on peut trouver, il est vrai, par nos formules précédentes : mais la méthode des projections a l'avantage de faire connaître directement les latitudes de tous les pieds des arcs perpendiculaires , ainsi qu'on va l'expliquer.

On projette donc tous les côtés orientaux, sur la méridienne principale ; on en fait autant pour les côtés occidentaux: les deux sommes doivent s'accorder à donner la même longueur pour l'arc total, ce qui fournit un moyen de vérification des calculs ; et s'il existe entre les deux résultats une petite différence, on prend une moyenne entre eux pour la valeur cherciiée.

Et d'abord il faut préparer nos équations pour en faciliter l'application au cas que nous traitons.

244. L'équation (A), page «*6, donne la différences^ entre fj J .^ lesIatitndesdesdeuxstationsMetM'(jÇ^. 79), dont l'arc de dislance est a , et z l'azimut de cet arc vu de M. Or rf et a sont de petits arcs qu'il convient d'exprimer plus commodément. La distance itinéraire MM' en unités métriques étant ^, on cbangera a eu —, N étant la normale an poiut

M, onN=- * c'est ici comme au n" 238. De

VI — c*sin'/

même, on changera W en ~, et 9 désignera la distance, en mètres, des deux parallèles de M et M'; ainsi l'on aura

(E)e=:çcosz-H-^ tang/sîn's — —r^sin'i.coszfn-StangV).

On peut doue projeter ainsi tous les côtés des triangles du réseau sur la méridienne principale, par une suite d'arcs

aSo GÉOMOBFHIE.

de parallèles à l'étjuaieur, et obtenir la longueur de l'arc total, limité en deux pointsextrémes dont on a les latitudes. Ce procédé conduit aa résultat demandé, puisque la somme de toutes les valeurs de 9, pour les côtés soit orientaux, soit occidentaux, donnera l'arc de méridien, non-seulement en entier, mais même en parties séparées qu'on pourra comparer entre elles, comme on l'a fait n" 188, et il n'est point nécessaire de faire, pour la dernière station, la petite correction dont nous avons parlé, et qu'exige la métliode deLegendre (n" 162).

On a soin de donner aux azimuts z le signe qui convient selon le sens que ces angles affectent par rapport à la méridienne : ces angles sont comptés du sud ; mais les uns sont ouverts à l'ouest, et les autres à l'est. Les ingénieurs préfèrent ordinairement les compter tous dans l'un de ces deux sens , de o à 36o°, en faisant le tour eiitier.

Observez que pour arriver à l'équation (E), nous n'avons pas employé la correction d'aplatissement donnée par l'équation (A") , page 23o, parce que nous nous servons de la normale N qui contient e* , et que l'angle des deux normajes IG, IH (Jîg. 8o) est celui qu'on a introduit dans l'équation.

245. Appliquons cette formule à l'exemple du n" 224, et projetons sur la méridienne l'arc terrestre du Panthéon à Dammartin [fig. 83),

cosï ... T-8397iy.- o,5 1.69897 BÎn'ï.,.,.