L'ëqualion (3) donue

On pourra donc trouver par l'expérience du pendule la valeur de la pesanteur ou du nombre g en un Heu déterminé. On comptera le nombre N d'oscillations que fait un peAdule simple connu r, dans un temps donné'T, etle calcul fera connaître g.- S'il s'agit d'un pendule à secondes de temps moyen , lequel fait une seule oscillation en ime seconde , T et N seront i , et l'on aiira

C'est-ainsi qu'on a trouvé qu'à Paris on a

g- = 9",8o8672 =3oPSi9546, 'e = -p',

logg' = 6, 9916103 1.4799416, « = gi.

g est l'accroissement de -vitesse d'un corps quitombe dans le vide pendant une seconde, ou le double de la hauteur de sa chute dans la première seconde, e est l'espace décrit en t secondes , et c )a vitesse que le'corps a reçue au boutde ce temps.

280. La pesanteur g varie selon les lieux, parce que cette force est la résultante de deux autres dont une seule est constante , savoir la gravité G , ou l'attracdon «pli tend à précipiter les corps au centre de la Terre ; l'autre force est ceritrifuge et produite par la rotalioa dîiu'ne, et variable avec lés lieux.

Supposons d'abord la Terre spbérique [fig-Q^)'-, C en est le centre qui attire toute, molécule M de sa surface comme si la masse était réunie en C; l'axe de la rotation diurne est PC; P est le pôle; /est la latitude du point M qui est sollicité par deux forces, la gravité G agissant selon le rayon CM , et la force centrifuge F due à la rotatioii terrestre et agissant selon MF, prolongement du rayon OM du parallèle décrit par M. Décomposons cette force selon

n,;jN.«j-vG00glc

PEHDfJLE. 979

le ri^yoa CMZ et la tangente MT; ]a composante IVIZ est ^aleàFcoa/, puisque l'angle OMC ^ /.Ainsi la gravité G est diminuée de cette composante, et la pesanteur g en M est la différence des forces G et F cos l, (1) gt=G — Fcosl;

mais rien ne détruit la composante selon MT, ce qui prouve que la molécule M ne peut rester en équilibre , et que si la Terre a été originairement fluide, elle n'a pu conserver la tigore spbérique. Or l'équation (i) n'en subsiste pas moins à fort peu prés quand on considère la Terre ellipsoïdale ; car CM n'est plus normal, et la pesanteur s'exerce selon la ligne NMZ du fil à plomb tendant au zénith vrai Z : alors les forces G et F se décomposent selon la normale ]VMZ et la tangente /rMt , ces dernières composantes se détruisant. La composante de G selon MF4 est G cos i, qui se réduit à G au second ordre près, parce que l'angle (du rayon avec la normale est très-petit; on a donc encore l'équation (i).

28i . Il est vrai que l'attraction terrestre ne s'exerce plus comme sî la masse était réunie au centre C!, et que la résultante G, sous la latitude /, des attractions de toutes les molécules terrestres n'agit pas selon MG ; mais il est évident que la Terre étant presque sphérique, la direction de cette résultante altère très-peu l'angle i, ce qui ne cbangc rien à l'équation (i) et laisse concevoir que les composantes selon la tangente s'entre-détruisent.

La force centrifuge est, comme on sait, F= — j fêtant la vitesse de rotation de M et x le rayon OM du parallèle. La rotation terrestre conserve en tout temps une vitesse constante^ mais comme x et f varient avec la latitude, pour un autre point M on aurait

F'= — ) et j : j;' :: p : (^; d'où l'on déduit

aSo GÉOHOKPHIE.

Ainsi la force centrifuge vaiie conune les rayons des circonférences décrites; elle est maximum sous l'équateur, nulle au pôle, et décroissante avec la latitude l. Nommons y la force centrifuge à l'cquateur, force qu'on démontre être le 289' de la gravité /= -5-- ( f^oyez ma Mécanique, n° 309.) Nous avons

V'(i-c'sin'0 à cause de l'équatiou (4), n" 176. Développant le radical en série et substituant dans l'équation (i), il vient

v/{i — e'sin'/)

=/. ^îSS-i-sin'/ — -e^sin'A;

telle est la valeur de ta pesanteur sous la latitude i quand on connaît G valeur au pôle , ou la force centrifuge^ à l'équateur.

Eu n^ligeant les termes où e est facteur, on a ^=/(288 + »in'0; ainsi la pesanteur g varie très-sensiblement comme le carré du sinus de la latitude : il en est de même de la longueur r du pendule à secondes, puisque g = 7t' r. On suppose ici les quantités ^ et r réduites au niveau des mers, comme i) sera expliqué ci-après (n''294).

28â. La théorie de l'attraction {Mécanique céleste , lome II, page 103) démontre que l'aplatissement du sphéroïde terrestre est lié à la longueur du pendule à secondes.

ji-vGooglc

PENDU LF. a8l

Puisqu'on sait que cette longueur peut être exprimée par la formule /■ = Am- Bsin*/, on 'pourrait trouver les constantes A et B en mesurant les longueurs /-' et r" du pendule à secondes sous deux latitudes l' et /", et l'on aurait deux équations entre les inconnues  et B :

//= A-i-BsinV, r" = A + Bsin'r.

L'élimination donnerait ensuite  et B, et, par conséquent, la longueur de ce pendule à toute autre latitude /, r=A+Bsin^/, et la pesanteur g en ce lieu, puisque §■=: 7t'r = 7i'(A+ Bsin'/),

283. Maïs comme les erreurs d'observations influeraient sur les valeurs des constantes A et 6, il faudra répéter les expériences en un grand nombre de lieux , et en déduire autant d'équations entre A et B, qu'on emploiera concurremment à leur détermination, par la méthode des moindres carrés. C'est ce qui est exposé dans notre Astronomie pratique, u" agS , uu Mémoire de M. Mathieu {Connaistance des Temps de 1816), la Géodésie de Puissant, tome II, page 338 , et V Astronomie physique de M. Biot , tome ni, page 166. Tfous donnerons plus loin les valeurs des constantes des équations

(7) f= A -HBsin'/, g' = C-+-Dsin'/, dans lesquelles on a

Comme / ^ o donne

r=A, g = C, on voit que A est la longueur du pendule à secondes sous l'équateur, et C la pesanteur en ces lieux ; quand l = 90°, on a

ainsi B est l'excès du pendule polaire sur le pendule équatorial; Dest l'excès de pesanteur quand on passe de l'équateur au pôle.

nigtijeUi-vGoOgle

aS2 GÉOMOnPHIE.

284. Il suit de la tliéorie de l'attraction (a.° 34 ; tome U,

rapport de la force centrifuge sous l'éçuafew à la pesanteur, moins l'excès h de la longueur du pendule polaire sur celle A du pendule équatorial, divisé par cette même quantité A. Et comme la force centrifuge est démontrée . être sous l'équatear le 389* de la pesanteur en ce lieu, on a l'équation

d'où l'on conclut qiie l'aplatissement terrestre sera connu', dès qne, par des observations du pendule, on aura les valeurs des constantes A et B. C'est ce qui sera calculé plus tard.

28S. Réciproquement, si l'aplatissement est connu, l'équation (9) sert à éliminer B de la valeur générale de f, où il. ne s'agit plus que de déterminer la constante A, savoir :

r= A Ti

,oo865o5 sin'/ .

Une seule expérience, qui fera connaître r et /, suffira donc pour trouver A, et par suite B, C et D,

Prenons pour exemple le pendule de Borda (page 277),

et l'aplatissement - ^ ^-= = OjOoSajSy. D'abord l'équation cî-dessus devient

r=A(H-o,oo537i89in'0- Or l'expérience a été faite à l'Observatoire de Paris , où la latitude est 48° 5o'i4'', et à 63 mètres au-dessus de la mer, on trouve que le rayon terrestre, pour cet aplatissement (page 209), est R = 6366698°. Et comme il faut réduire la valeur de r (n° 282) à ce qu'elle serait au niveau des mers, par une ihéorîe que nous exposerons bientôt, on trouve que r se réduit à o"", 9940234- On en tire donc ces

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valeurs : . . '

A^o^vggiooôa, , G=9", 780837, logB= 3.7261962, logD= 2.7204959.

Ces résultats dïâerent peu de ceux que nous trouverons plus tard.

Au reste, on trouverait la valeur de A avec pltia de sûreté, en faisant intervenir, dans le calcul, un grand nombre d'ol>serva tiens du pendule, par la mélhode des moindres carrés.

Venons-en maintenant aux procédés suivis pour observer la longueur du pendule et lui faire subir les réductions exigées par les conditions mêmes des expériences.

286. Le pendule simple ne peut avoir qu'une existence diéorique, puisqu'il est physiquement impossible de faire osciller un point matériel pesaiit, à l' extrémité d'un iil inextensible et sans poids , dans un arc inCaiment petit et dans le vide. Le pendule est toujours un corps figuré, qui se meutdans l'air à une densité et une température variables, et daas un arc fini. Voyons donc à dégager l'expérience des circonstances qui en altèrent les résultats.

On démontre (i/oye^ ma Mécanique, n° 261) que» lorsqu'un corps de forme et de nature quelconques oscille autour d'un axe borizontal, parmi les diflérents points maté-^ riels qui le composent, les uns se meuvent plus vite et les autres plus lentement que s'ils éuîent isolés et indépendants de la niasse : mais il existe un p<»nt dont le mouvement n'est nullement altéré par sa liaison aiix autres, c'est-ib-dîre qui se meut précisément comme s'il était seul. Ce point, appelé centre d'oscillation, est donc un véritable pendule simple, et l'on peut, parla pensée, supposer que toute la masse du corps y est concentrée. Ce point est situé sur la ligne qui va du centre de gravité perpendiculairement à l'axe de roution ; et il y est au delà du centre de gravité . ou plus bas que ce centre. Quand Je corps a une figure régulière et géométrique, on peut même, par le calcul, dé-

384 r.ÉOMOKPHIE.

lerminer la place du centre d'oscillaiion ; aiosi , (juaiid le peodule est une sphère ou une lentille , suspendue à un ûl ou à une ou plusieurs tiges parallèles, on trouve, par la mécanique, la longueur rdu pendule simple équivalant au pendule composé qu'on a mis eu expérience; et cela quels que soient les métaux qui forment ce corps, pourvu que chacim soit homogène et de densité connue. On donnera bientôt le moyen de se rendre indépendant de cette dernière condition.

287, On risquerait beaucoup de se tromper si l'on voulait compter les oscillations une à une, sans parler de l'ennui d'une semblable pratique. Voici comment on opère : on fait d'abord en sorte que le pendule d'épreuve ait une telle longueur, qu'il accomplisse les oscillations dans un temps peu différent d'une seconde. On dispose en arrière une horloge parfaitement réglée et à compensation, qui marque le temps mojen avec tme précision presque rigoureuse, ou du moins dont la marche régulière soit assez connue, pour qu'on sache combien sou pendule fait d'oscillations en a4 heures moyennes. La lentille est vernie en noir, et poi^ au centre une mouche blanche en papier.

Les deux appareils sont disposés l'un en avant de l'autre, de manière que , quand les deus pendules se trouveront ensemble dans la verticale, la mouche soit cachée par un index que porte le pendule d'épreuve. On dispose à quelques mètres en avant une lunette qui permet à l'observateur de reconnaître cette coïncidence.

On met le pendule d'épreuve en mouvement dans le même sens que celui de l'horloge , et l'on se rend attentif à l'instant où, retombant ensemble dans la verticale, la coïncidence a lieu. On note l'heure, la minute et la seconde que marque alors l'horloge. Comme les pendules marchent presque ensemble, ils ne paraissent se séparer qu'api^s quelques secondes : on prend pour le moment de la coïncidence la moyenne entre les instants où on la voit com- V et finir.

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