PENDULE
L'un des deux pendules devance l'autre de plus en plus, (!t bîeniôt atteint sa limite d'excursion d'un côié, quasd le deuxième mobile atteint 1^ sienne du côté opposé ; ils marchent ensuite en sens contraire; et quand ils retombent ensemble dans la verticale, l'un des pendules a fait une oscillation de plus que l'autre. On ne tient pas compte de celte observation , qui serait trop difficile à faire avec précision , à cause des vitesses en sens contraireis. En laissant continuer l'espérieDCe, il arrive un moment où une nouvelle coïncidence se produit, les pendules allant dans le mèmesens. On note l'heure , comme la première fois ; alors l'un, des pendules a gagné deux oscillations sur l'autre.
Ainsi l'horloge a fait n oscillations , et le pendule d'ëpreuve n ± 2 dans le même temps; on fera donc cette pro- portion
si nom/, répondent à a± 2, 86400 répondent à ~~^ ' ■'.
Telle est la quantité N d'oscillations du pendule d'épreuve, pendant que l'horli^e marque 24'' {«n supposant qu'elle marche comme le temps moyen) : et si l'horloge avance de {'secondes en 24'',
est le nombre d'oscillations du pendule d'épreuve en un jour de temps moyen. On fait i négatif dans le cas d'un retard.
Supposons que la coïncidence ait lieu à t'i7"et à 9' 40"; il y a 5o3" écoulées : pendant ce temps le pendule d'épreuve fait 5oi excursions , et si l'horloge retarde de 4"^ ^n a4''i on trouve que ce pendule , dans cette durée , fait 86o5 1 , 98 oscillations.
L'expérience doit être continuée en notant les heures ' précises des coïncidences , et l'on en conclut d'autres résul- Utspeu différents du précédent. Après avoir fait les corrections dont on va parler pour l'amplitude des arcs, la
n„jN.«j.-vG00glc
286 GÉOMORPHIE,
réduction au vide, etc. , on prend une moyenne, et l'on obtient eniln le nonJDre d'oscillations dii pendule simple dans le vide , en un jour moyen.
Il ne faut pas que la marche du pendule d'épreuve soit beaucoup plus lente ou plus rapide que celle de l'horloge \ on évalue à 53o" Ik plus grande durée entre les coïncidences. Comme les résistances diminuent beaucoup les ares d'oscillation, on ite laisse durer l'expérience que 34 à 4o Minutes sans l'interrompre (5 coïncidences). On a yu des pendules osciller encore après 3o heures d'observation, sans aucune, force réparatrice des pertes, quoique l'excursion ne fût pas de plus de 2 degrés dans l'origine. Mais il est tout à fait inutile de pousser très-loin l'expérience; l'excuràion devient petite et lente , et il est difficile de saisir la coïncidence.
288. Voyons à réduire les oscillations à être infînîment petites. Soit <f (fig: 91) le demi-arc décrit par le pendule dans son excursion; b^AÏ); on a
OD=:r— ^fi = /-COSqî,
d'où,
fi ^ r(i — cosf )^ zrsin'-y.
Ainsi l'équation (i) devient
Désignons par B le temps que le même pendule emploie à.
faire uneoscillalion infiniment petite, 9 = ni/-; on en conclut que
* L'observation fait connaître t et ^ -, on a donc Q.
Ou plutôt, n étant le nombre d'oscillations finies faites par le pendule, dans l'arc 27, et n'étant le nombre d'oscillations infiniment petites pendant le même tonps , comme 9
n,,..;.,i-,G<,H>^le
PEMDVLK- aSj
est un petit arc , on a
Ainsi , après avoir mesuré }'arc d'excursion 2^ d'un pendule , et compté le nombre d'osciUationa accomplies dans un temps quelconque , et par suite celui n qu'il fait dans la durée des ^4'', cette formule servira à calculer n', c'est-àdire combien le pendule en exécute d'infinîmeut petites dans le même temps. On voit qu'il ne s'agît que d'ajouter
à n la quantité -7 n sin'a>.
Chaque période de coïncidence ne durant guère plus de dix minutes, l'excursion totale aip se conserve entière : mais si l'on remarquait qu'elle fût af en commençant et 2 f ' à la fin , et que ces deux arcs fussent peu différents , on
supposerait l'excursion constante, et l'on prendrait - (f+f^ au lieu de y.
Si l'expérience a quelque durée, les résistances diminuent continuellement les excursions du pendule, et même on reconnaît qu'elles décroissent en prt^ression géométrique : elles sont donc successivement
- étant la raison de cette progression. La formule que
Borda a donnée pour calculer les efTets de ce décroissement a été démonU^ par M. Matbieu {^Connaissance des Temps, i8a6).
La durée de chaque oscillation étant uu peu plus longue que si l'arc était infiniment petit, le nombre total, après un temps donné, serait n dans ce premier cas, et dans le
deuxième il serait accru de -^n^*, en remplaçant le sinus
288 CÈOMOllïHlE.
par l'arc, et supposant if constant. Appliquons celte correction aux oscillations i ", a", 3% . . • , "', successivement : la correction totale sera
L'observation donne les excursions terminales (f etf'\(f est inconnu , et il faut l'éliminer à l'aide de
(A) ,'=^, ou ,- = ii
le carré if "(^'"~' = y' donne d'abord
'' I r' I __ Tf—t
Or (n" 32) io'=n- fc« -H-^'z*. . . . Si z est le logarithme de ^', z = a logy, et qu'on se borne aux premières puissances de z, attendu que deux excursions successives du pendule sont presque égales , et <j très-voisin de i , d'où logf très-petit, on a
io'= ç'^ I -H 2* lu*!?»
S (i-h3*l06?)T'— ?" __. M (y' — y'') ^ y' ^ $2 /: log If 32 log q Ï6
M étant le module qui ^j {n" 32), Comme on a d'ailleurs .
(n — l) logî i= log 11 — l<^y', on trouve
S = "(" — ')(?'— y") ^ il.
3a (logç— logy') i6
Or -^ ip* est la correction de la première oscillation ; donc
le premier terme est celle des n — i suivantes : cliangeons-y n — I en rt , et ce terme comprendra toutes les corrections. Déplus, pour la commodité des calculs, nous remettrons
nigtijeUi-vGoOgle
pendcle. • ïsg
les sinus pour les arcs , et nous aurons enfin
S = — . ""(T-t-f'js'"!? — / ),
32 log sin f — log sin f Telle est la correction d'amplitude, ou la petite quantité qu'il faut ajouter au nombre n d'oscillations dans des arcs finis décroissants de y à f', pour avoir le nombre d'oscillations infiniment petites correspondantes.
Par exemple, si l'on s compté 9016,69$ oscillations, et Bi les arcs ont élé
f=3« ^'lS,' f^f'=i-^'3i' n s.SSgoj
f'=o.5o.ii f — )i'=3.i7. 7 sin 3.6007(1
sin)i... î.736og ^M ï. 13^63
■inp'— Ï.16441 9016,7. .. 3.95506
dén, =0.57168 ]oB = T.757i5 num..,,. . 7.55746
dénom,... T. 75715
Ainsi la correction est 0,5891 ^' ^o nombre des oscillations dans des arcs inHnimenl petits est 9017,384-
285. L'équation (3) donne le temps T qu'an pendille simple met à faire N oscillations; maïs si ce corps est ramené à la température zéro, au lieu d'avoir r, il a r' pour longueur et fait alors N' oscillations dans le même temps T. Ainsi
Soit a la dilatation linéaire du pendule pour un degré centigrade (voyez n" i30), la longueur r' deviendra r'at pouç t degrés, et l'on aura
r=r' + r'at, d'où N' = Nv'l+a(.
En développant pi se bornant au premier ordre, attendu que « est très-petit, on trouve, pour la correction qui ramène N à des osciUaiions sous une température plus basse de ( degrés,
n,gt,.etJNG00glc
Q.QO • GÉ0K0B.EH1E.
290. La théorie démontre que la résistaDCe de l'air retarde la descente du pendule, ce qui accroît la durée de la demi-oscillation. Mais la même cause s'oppose aussi à l'ascension, dont elle diminue la durée d'une égale quantité. Ainsi l'oscillation s'accomplit dans le même temps que si elle se faisait dans le vide; seulement l'étendue des excursions décroît sans cesse. Mais, d'un autre côté, le poids du mobile est diminué dans l'air, du poids d'un volume d'air égal au sien. H faut donc corriger la valeur de g qui entre dans nos formules.
Soit g' la pesanteur dans le milieu où l'on se trouve et p' le poids du pendule dans ce milieu ; g la pesanteur et p le poids du mobile dans le vide ; enfin mla masse de ce corps, on a
p' = g'ni, p = gm, i^g=^p^, ^=~
Telle est la valeur qu'il faut prendre pour ^ dans nos équations. Ces formules donnent, pour la longueur r du pendule à secondes en fonction de la durée ou du nombre de ses oscillations infiniment petites, des expressions de la forme r = gK, qui deviennent ninsî
r étant la longueur du pendule r' réduite au vide.
291 . Soit V le volume du pendule, i3 et è' les poids spécifiques de l'air aux températures centigrades o et x, sous les pressions o",76 et h. Les lois de Mariette et de Gay- Lussac, relatives aux densités des gaz, apprennent que, sous la prcssicoi h mètres de la colonne de mercure et sous la température x, la densité de l'air qui était d à o degré et k o"',76 devient
Sk
- 0,76(1-1- mrj' en faisant m c= 0,00^75. Ainsi )e volume d'air v pèse d'v dans les circonstances données, et le poids p' du pendule
nigtijeUi-vGoOgle
PENDCLE.
dans Tair devieut, dans le vide,
/) = />'+ J'tf, d'où p' = p — S'v. Donc
Rapportons les poids spécifiques à celui de l'air, qui est à o degré et o",76, pris pour unité. Le volume d'air, qui pèse I dans ces circonstances, est le même que celui de la matière dont est formé le pendule, qui pèse n ; on a
Telle est ta formule qui indique de combien il faut augmenter la longueur d'un pendule r' oscillant dans l'air, pour la clianger en celle d'un pendule oscillant dans le vide.
S92. On préfère souvent , pour combiner plus facilement les résultats, calculer le changement que produit, dans le nombre des oscillations du pendule, la diminution de poids causée par la présence de l'air. Voici comment ou s'y prend :
Le pendule va plus vite dans le vide que dans l'air, et dans un temps t il fait plus d'oscillations, puisqu'il pèse plus. Soient n le nombre d'oscillations dans l'air et n' dans le vide, pendant la durée I, g et ^' les intensités correspondantes de la pesanteur^ les temps d'une demi-oscillation
infiniment petite sont respectivement ni/- etirt/—;
nigtijeUi-vGoÔgle
393 GÉOMOfiPniE.
ainsi l'on a, dans le même temps (,
<=Vr"'V?'
Si f est le volume du pendule, D sa densité, â celle de l'air, dans les circonstances où l'on opère , les forces g' ei g étant entre elles comme les poids du pendule dans le vide et dans l'air, on a
S~.'{D-S)-^'^D-3 En substituant ci-dessus, il vient ,
en se bornant au premier ordre, qui suffit ici , parce que 3 est très-petit par rapport à D. Donc là rédaction au vide
C'est la quantité qu'il faut ajouter au nombre n d'oscillations dans l'air pour avoir celui «' des oscillations dans le vide pendant le même temps.
Désignons, comme ci-devant, par k la hauteur du baromètre réduite à la température zéro, par x la température centigrade de l'air lors de rexpérience; la densité de l'air sera donnée par la valeur ci-dessus, â étant sa densité à zéro et o"',j6. Ainsi la réduction au vide est i S h
Comme â ^ de la densité de l'eau dans les mêmes con-
ditions, en évaluant D par comparaison avec ce liquide, multipliant haut et bas par 7J0, la réduetion au vide est
agî
doDC
63Bo:
On calculera donc cette expression en prenant pour D la densité du i)eiidule comparée à celle de l'eau à zéro; on ajoutera à n le nombre donné par cette formule, et l'on aura le nombre n' d'oscillations qui seraient faites dans le vide, par le même pendule, dans la même durée que n.
Par exemple, un pendule en cuivre, dont la densité est 0 = 8,287,' f^'' 9**' 7^1^ oscillations inûniment petite» dans l'air à i2'',66^x, doù *
770D — le baromètre est à o'°,75i46
réduclion = 6,
C'est le nombre d'oscillations dans le vide faites en vingiquatre heures moyennes.
Nous ne devons pas dissimuler que cette théorie conduit à des résultats qu'on ne trouve pas conformes aux faits observas. M. Bessel a le premier signalé ce désaccord, et même il en a expliqué la cause. Le pendule contracte une adhérence avec l'air qui touche sa surface, et une couche de cet air est entraînée par ce corps dans ses oscillations ; la masse du pendule et son moment d'inertie en sont changés , et la formule (13) manque d'exactitude. Ce savant trouve même que la couche d'air adhérent varie avec la figure et la sul>stance du pendule, et qu'on ne peut nullement en calculer l'influence. Pour réduire les oscillations au vide, il propose
de remplacer la correction (13) par la formule -, C
étant une quantité variable avec les pendules, et dont on
»q4 géomokfhie.
devra déterminer la valeur pour chaque corps oscillant. A cet effet, on fera mouvoir le pendule dans l'air, puis dans le vide, et comptant les oscillations dans les deux cas, on déterminera combien il y en ade pi us, en vingt-quatre heures, dans l'un des cas que dans l'autre : ce sera la correcùon dont on a donné ci-dessus l'expression algébrique, et comme les conditions de l'expérience ont fait connaître h et x, on en tirera la valeur de C : ce sera celle qu'on devra attribuer à ce coefficient dans toutes les expériences qu'on fera avec le même pendule, lorsqu'on voudra les réduire au vide. M.Bessel a reconnu que le facteur C peut donner une correction double de celle qu'indique l'expression (ta). {F^oyez \ia Mémoire de M. Baily, Trans. Philos., i833.)
293. n suit de cet exposé que voici la succession d'expériences et de corrections qu'exige la détermination qui nous occupe.
On fait osciller librement un pendule dans une cage de verre, où l'on mesure la température et la pression barométrique. Si ces données varient dans la courte durée de l'observation, on les suppose constantes, eu prenant la valeur moyenne. On en fait autant de l'arc d'excursion du pendule. En comparant le mobile à une horloge dont la marche sur le temps moyen est bien régulière et bien con^ nue, on juge, par l'intervalle entre les coïncidences des deux pendules, du nombre n d'oscillations eiTectuées en 24 heures miiyennes par le pendule d'épreuve; et il s'agit de réduire ce nombre, à la température o degré, à des vibrations inânimeat petites et au vide. Les équations précédentes indiquent les corrections que doit éprouver n pour ramener ce nombre à cet état hypothétique- On connaît ainsi quel est le nombre d'oscillaùons que ferait le pendule en 24 heures moyennes dans le vide , si ses excursions étaient infiniment petites : il ne reste plus qu'à trouver la distance entre les centres de suspension et d'oscillation pour avoir les éléments du problème relatif à la figure de laTerre.
nigtijeUi-vGoOgle
PEKDULE. Xg5
291. Il y a encore une considération qu'il ne faut pas négliger. Comme la pesanteur décroit à mesure qu'on s'élève au>^essus du sol, c'est toujours au niveau des mers que les ei^riences doivent être faites ou réduites. Cette réduction se fait par le calcul suivant.
Soient g et g' la pesanteur au niveau des mers , et à ime élévation h au-dessus de ce niveau : comme la pesanteur varie en raison inverse des carrés des distances au centre de la Terre, on a la proportion (où K est le rayon du sphéroïde)
g:fi^::(R4-A)':H'.
Ainsi
en négligeant le deuxième ordre de A , qui est toujours excessivement petit par rapport à R. Kéciproquement,
donne la pesanteur g au niveau des mers, quand ou la connaît sur une sommité. Ainsi les durées d'une oscillation infiniment petite sont tt l /- au niveau de la mer, et n l/ —
à la sution. Les nombres correspondants N et N' d'oscillations dans le temps t sont donc
(i4} Réduction au niveau de (a mer =—■
C'est ce qu'il faut ajouter au nombre N' d'oscillations observées sur une hauteur pour trouver combien le même
396 GÉOUOaPHIE.
pendule en accomplirait au niveau des mers dans les circonstances.
El si le pendule r est synchrone avec le pendule r' au niveau des msrs , oomme les gravités 6n ces deux stations sont g et g', on a
Â-— '■ ■ ainsi
Donc, pour réduire la longueur r' d'un pendule à ce qu'elle devrait être pour faire des oscillations de même durée au
bord de la mer, il faut l'allonger de -j— : réciproquement,
on voit qu'en s'élevant du rivage il faut diminuer la longueur du pendule r {si l'on veut qu'il reste synchrone)
de —
295. Le D'Young, dans les Transactions philosophiques dé 1819, considérant l'attraction des couches terrestres sur le pendule, introduit daos la formule (i4] un facteur qu'il estime de o,5o à 0,75. M. Baily le fait de 0,666. Ce sujet n^érite d'être examiné avec plus d'attention. Il existe encore une cause d'incertitude sur l'influence des couteaux de suspension. Les petites corrections qu'appellent ces circonstances sont encore dans le vague.
Il nous reste à dire conunent on trouve la longueur r d'un pendule mis eu expérience. Sans doute, lorsque la forme en est géométrique, on peut facilement recourir aux formules de la Mécanique, pour assigner la posiûon du centre d'oscillation. Ainsi la distance entre ce centre et la suspension est un simple résultat de calcul.
Mais comme les pendules sont souvent d'une forme trèscomposée, que d'ailleurs les métaux dont on les fait sont rarement homogènes , on ne peut guère se fier à ce procédé pour déterminer une distance que la plus petite cause d'er-
