PENDULE

reur peut altérer au point de jeler du doute sur les résultats. Ainsi on a dû renoncer le plus souvent à ce procédé.

296, Pendule de Borda. — Cet appareil consiste en une sphère de platine pesant environ 5,2 hectogrammes, suspendue à un fil de métal très-délié d'à peu prés 4 mètres de long , et battant prestjue la double seconde. La densité du platine étant très-grande, les perles dues à la résistance de l'air sont faibles , et le mouvement oscillatoire se conserve très-longtemps. La correction due au poids du fil, sur le lieu du centre d'oscillation, est à peine sensible. Une calotte mince en métal, de même rayon que la sphère, adhère à la surface de celle-ci , par simple juxtaposition, à l'aide d'une légère couche grasse qu'on interpose. Le fil tient au sommet de la calotte par une vis de pression. Comme on peut changer la calotte de place sur la boule, par la réitération des expériences , on se rend indépendant du défaut d'homogénéité du métal. On prend le fil très-fin pour diminuer la résistance de l'air, et l'on n'y emploie pas le fer, pour éviter les attractions magnétiques. On pèse une grande longueur de ce fil, et l'on en conclut le poids et le diamètre de la partie qu'on a mise eu expérience.

La suspension se fait par un prisme triangulaireen acier, dont la tranche, ou couteau, pose sur un plan d'agate, qu'on a rendu très-solide et qu'on a mis exactement horizontal à l'aide d'un niveau à bulle d'air. Le support est fortement scellé dans la muraille. On donne à ce prisme d'acier la forme qui rapproche le plus possible son centre de gravité de l'arête servant de couteau; et l'on fait en sorte que son centre d'oscillatiou soit tellement disposé, que la durée de ses excursions soit à peu près la même que celle du pendule môme, afin que les mouvements de celui-ci n'en soient pas influencés.

Un arc gradué , qu'on fixe vers le bas du fil et dont le centre est sur le couteau, sert à mesurer l'arc a y d'excursion.

agis GÉOMO&pHiE.

Lorsqu'on a compté le nombre d'oscillations accomplies dans la durée des deux coïncidences , pour en déduire ce nombre en 2^ heures moyennes, on fait les réductions dont nous avons parlé, pour obtenir le nombre d'oscillations infiniment petites dans le vid^, pendant le même temps. Il reste à mesiu'er la longueur du pendule.

^7. L'appareil est pourvu d'un plan d'acier horizontal, qui est mobile de bas en haut par degrés insensibles, à l'aide d'une vis de rappel. On met le pendule en repos, on élève ce plan jusqu'à ce qu'il touche la houle , sans la soulever. Puis, avec le comparateur, on évalue avec une extrême précisiou la distance D de ce plan au couteau de suspension. Si cette mesure est prise à une température diiTéreiite de celle de l'expérience, on la réduit à celle-ci ; comme aussi l'étalon du comparateur, qui a dû lui-même être divisé à une autre température (ordinairement à zéro). Ce calcul se fait par la théorie du n° 130.

Si de D on retranche le rayon p de la sphère , D — p est la distance de son centre an plan de suspension. Le centre d'oscillation de celte sphère est, comme on sait, au-dessous

de ce point de la quantité ^ ° y Ainsi , en ne considérant que la boule , le centre d'oscillation a pour distance au

couteau / = D — p+ .,,„ — r ; mais le poids du fil et celai

de la calotte ne doivent pas être négligés, ce qui apporte une petite correction à cette longueur du pendule simple synchrone. Le centre de gravité de la calotte étant fort près de sa surface, se confond sensiblement avec son centre d'oscillation. Ce centre est pour le fil, qniestun cylindre, ou plutôt une ligne droite pesante de longueur X , son moment d'inertie par rapport au milieu, qui en est le centre

de gravité, est — i', et la distance de son centre d'oscillation à l'axe est i = - X H i'.

PENDVl-E. 399

Or, 011 sait [voyez ma Mécanique, n" a64) que si trois poids P, P', P", liés ensemble , oscillent autour d'un axe horizontal, leurs centres de gravité respectifs étant aux distances respectives A, h', h" de cet axe, et leurs centres d'oscillation aux distances /, V, i", ]a distance du centre d'oscillation du système au même axe , est

PA-<-l>'A'4-P"A" p'A' P"A"

•+PÂ-^Tr

Ce deuxième terme est la petite correction que doit subir la longueur / propre au centre d'oscillation de la sphère, pour avoir égard à la calotte et au 61 de suspension. On fait

298. Pendule invariable. — Les petites incertitudes et les soins multipliés qui doivent accompagner les mesures ei les calculs , ont fait préférer' au pendule de Borda un corps fondu d'un seul jet sous une forme très-simple, tel qu'une règle quadrangulaire et mince, à l'un des bouts de laquelle on fixe le couteau de suspension. Ce corps d'un usage et d'un transport facile, offre beaucoup de facilité aux observations et ans calculs. Mais M. de Prony l'a perfectionné en lui donnant deux axes de suspension réciproques l'un de l'autre. (Voyez Jîg. q6.)

On connait cette propriété du pendule composé , que les centres d'oscillation et de suspension sont réciproques; c'est-à-dire que si l'on fixe des couteaux à ces deux points, la durée des oscillations sera la même exactement , que l'on prenne l'un ou l'autre poui' axe de rotation. Cela a lieu quelle que soit la ligure et les substances qui composent le pendule. C'est le pendule invariable réciproque qui a servi à iaire les belles observations les plus récentes.

Ainsi l'on fait fondre d'un seul jet, on écrouil et l'on répare une règle deciûvrc, et l'on y fixe, vers l'un des bouts,

nigtijeUi-vGoOgle

3oO GÉOMOBFMIE.

un couteau eu acier. Puis au centre d'oscillatiou , on en adapte ud semblable; un petit mouvement ménagé à ce dernier couteau permet de lui assigner, par des expériences, la place nécessaire pour la réciprocité de ces deux axes de suspension. On conçoit que rien n'est plus aisé ^e de mesurer exactement l'intervalle des couteaux, qui est la distance des centres de suspension et d'oscillation.

299. Maintenant que nous savons trouver la longueur du pendule simple à secondes, dans le vide, à oscillations înËniment petites, en un lieu quelconque, et réduit au niveau des mers, appliquons les nombreuses expériences qu'on a faites à la recherche des constantes des équations (7) et (8) et de l'aplatissement de la Terre. Les plus exactes de ces expériences sont rapportées dans la Table W, à la fin de l'ouvrage, extraite d'un travail étendu que M. Saigey a inséré dans le Bullvtin mathématique de M. Férussac , page Sa, tome VII.

La première page contient les lieux d'observation, leur altitude ou l'élévation au-dessus de la mer, la latitude, la longitude , enfin les noms des observateurs ; la deuxième page donne les longueurs du pendule simple à secondes réduit au vide et à des oscillations infiniment petites ; la colonne suivante, la réduction au niveau des mers; puis celle qui vient après, le résultat du calcul donné par la formule générale que nous allons exposer.

Enfin la dernière colonne M indique le nombre de secondes de temps moyen dont !e pendule observé avance ou retarde en 24 beures moyennes sur le pendule calculé.

Quant à la réduction au niveau des mers, elle n'a point été faite parles formules qui ont été données ci-devant, mais par celle du capitaine Kater ( Transactions philosophiques , 1819). Ce savant veut qu'on tienne compte de l'attraction de la coucbe terrestre comprise entre la station et le niveau de la mer, ce qui le conduit à cette formule de l'éductiott aAr(H-6sin'i).

n,gt,.etJNG00glc

PENDULE. 3ot

h est l'altitude , r te pendule , / la latitude du lieu , a et € des coefficients constants :

Ioga^7,497'679. loge = 3,4933028.

Les résultats numériques obtenus par les savants anglais ont été ramenés aux mesures françaises en prenant le mètre ^ 39,37079 pouces anglais [Transactions philosophiques, 1818) et la longitude de Greenwicli 2''ao'a4'' à l'ouest du méridien de Paris.

300. M. Saigey a traité tous les nombres précédents par la méthode des moindres carrés, et est arrivé aux conséquences suivantes.

La longueur r du pendule simple à secondes sexagésimales de temps moyen dans le vide, par oscillations infiniment petites, réduit au nifeau de la mer, et la pesanteur g, en un lieu quelconque dont la latitude est 1, sont donués par les équations suivantes :

r=:A + Bsin'/, f = C + Dsin'/,

en mètresf*) ( * = o» .ggtoaSS;, logB= 3.705.690,

( C = 9", 781027, logD = 2.6994687,

cds \ A = 3p',o5o8i7, logB = 2. igSSooS,

I C=3oP',tio35, 10^0=7.1878000.

Donc

pendule à l'équateur = o", 99102557 ^ A,

pendule au pôle = o™, 99609745 = A -t- B ,

gravité, ou force d'attraction

aupôle =9'»,83io844 =C+D,

pesanteur à l'équateur ^ 9"", 781027 = C ;

et puisque

/brce centrifuge à l'équateur ^ o , 0339097 , en admettant, avec Delarabre, que le rayon équatorial

(') On trouve dans 1b Philot. maçai., décembre iSîa , paga i23, aeptà neuf expériences du capitaine Lentke, qui conduisent à un réBultat un peu dilTérentde celui-ci.

3(>3 CÉOHORPHIE.

=: 6 376 984*°, et que le jour sidéral soit composé du 86161" de temps moyen ; on a

graviié, 011 force d'attraction à l'é(|uateur = 9"',8i493g. Bapport de la force centrifuge, sous l'éqtiateur, à la force

d'attraction = —^ — ^-j- 289,44

D'après le théorème de Clairaut[éqaatioD (9), n" 284]

I 5 0,0339097 o,oo5o^i88

Telle est donc la valeur de l'aplatissement donnée par les nombreuses expériences du pendule. Alors en prenant rayon éqaatorral = 6876984° = i432 Heues, le rayon polaire est := 6 354 349" ^ '4^7 lieues, ce qui donne l'aplatissement de 32 635° = 5 lieues.

301 . Four trouver la longueur du pendule en un lieu désigné, ou emploiera la formule ci-dessus, qui repose sur les observations les plus certaines : et bien que l'aplatissement soit im peu trop fort pour l'usage de la Géodésie, qui doit préférer ^;= 309, 65, ou de l'Astronomie, où p est 3o5, cependant on devra prendre p =. 282 , quand il s'agira du pendule. Mais, après avoir appliqué ces équations, on n'aura pas encore la longueur demandée , et il faudra faire les corrections inverses dues à l'altitude du sol, et à ce que les oscillations ne sont ni infiniment petites, ni dans le vide.

302. On peut remplacer dans nos équations sin'/ par - (i — cos a l), et l'on a

r^o'",99356i5i Bcos2l,

g^ ZTT 9" ,8o6o55 D cos 2 /.

PENDULE. 3o3

303. Plusieurs savants ont cherché par expérience la longueur du pendule à Paris; ils ont trouvé

"""•OSi P" Picard,

994iS

Godin, Bouaner,

Mairgn,

Borda,

Sabine et Whiterust

9BÎ9'5

Biot et Mathiou.

Kttter et Sahine,

Bessel et HûmiDe.

304. On avait présumé que les deux hémisphères boréal et austral ne sont pas symétriques. On a donc calculé à part l'aplatissement qui résulte des observations du pendule dans les régions australes, et l'on a trouvé ^^ 3i 1,6, valeur aussi voisine qu'on peut l'espérer de p =3o5. 11 n'y a donc pas lieu d'admettre un aplatissement différent pour les deux pôles ; et sï l'on considère que les erreurs d'observations du pendule se reportent fortement sur la valeur de p, et que les attractions locales doivent exercer une grande influence, on est fondé à conserver l'aplatissement j~ que donne la théorie de la Lune et que confirment souvent les opérations géodésiques.

305. Si un pendule de longueur R fait (N -f- n) oscillations, réduites au vide et à l'inûniment petit, et qu'on veuil!eque,danslemême temps, il n'en accomplisse que N, il faut porter sa longueur à r, en se conformant à l'équation (4) qui devient

rN- = R(N + n)%

d'où

Telle est la correction qu'on doit iàirc subir à un pendule pour lui faire battre la seconde de temps moyen , lorsqu'il avance sur ce temps et qu'il l'indique à peu près. Par exemple* on trouve qu'il faut allonger le pendule de o""',023

nigti^edi-vGoOglc

3o4 GÉOMORPHIE.

pour chaque seconde d'avance diurne. On néglige toujours les n*, qui sont insensibles. Dans le cas d'un retard, il faut au contraire accourcir d'autant le pendule.

M. Poisson a examiné, par l'analyse, l'influence de la résistance de l'air et de l'extensibilité infiniment petite du ûl de suspension^ et comme il a trouvé que l'eSèt en élait insensible , nous ne nous en sommes pas occupé. Il en faut dire autant d'un mouvemiiit de rotation que la boule peut prendre sur le fil de suspension.

306. Dubuat, par une série de belles expérienees, et depuis lui, dans les derniers temps, M. Bessel, ont prouvé que la perte de poids que la présence de l'air faisait éprouver au pendule était soumise à une correction trop faible, en se servant de l'équation (12)- M. Bessel a reconnu qa*une couche notable d'air reste adhérente au mobile, accroît le volume , diminue la densité moyenne, et augmente le moment d'inertie. En sorte qu'il faudr^t, selon ce savant, multiplier le deuxième membre de l'équation (12) par un coefficient qu'il évalue , par sa théorie et ses expériences, à i,94<><^tà 1,62s. [Académie de Berlin , i8a6.)

Dans les Transactions philosophiques àe iSSa, M. Baîly fait l'examen d'une multitude d'expériences qu'il a suivies dans le vide et dans l'air, sur environ 80 pendules, de formes et de uaturcs didérentes ; et il prouve que ]e vêtement d'air que le pendule entraîne dans sa marche, dépend, non pas de la substance et de la densité du mobile, mais de sa

forme. D'où résulte que le facteur - n [ ■ 1 de la

formule (12) varie, avec les pendules mis en expérience, de i,D à 2,8, selon les cas. Les corrections s'élèvent jusqu'à 5a secondes en un jour. Ainsi, pour obéir aux conditibns du problème, lorsqu'on vent réduire un pendule au vide, il faut , ou soumettre le pendule d'expérience aux épreuves propres à en déduire le coefficient qui convient à ce mobile CD particulier, en le faisant osciller dans l'air cf dans le

PENDULE. 3o5

vide, oudumoiuscliercliier parmi les pendules (pie M. Baily a mis en expérience celui qui est analogue ao pendule proposé , et employer le facteur que ce savant a obtenu par ses expériences.

307. Les Anglais , pour fixer les bases de leur système métrique, ont voulu lea tirer de la nature, et ont pris pour terme de comparaison la longueur dn pendule à Londres. Mais ce terme, quoique plus facile à trouver que l'arc de méridien , est moins propre k cet usage ; car

1°. On y fait entrer le temps, qui est une considération étrangère;

a". On suppose le jour moyen divisé en 24'', l'heure en 60', la minute en 60", circonstances tout à fait arbitraires ;

i". On ignore si la pesanteur n'est pas variable avec les siècles ;

4°. Des mesures prises à Tjondres ne sont pas propres à fixer les incertitudes des autres nations, que leur or~ gueil doit repousser (voyez Système Métrique , tome HI, page 461);

5". Les mesures qu'on fait du pendule à secondes exigent des expériences très-délicates ; maïs il faut ensuite y appliquer les calculs de réduction. Or les auteurs, fondés sur des expériences attentives, ne sont pas d'accord sur la quotité rigoureuse de ces réductions.

308. Nous terminerons cette exposition en parlant d'un très-heau travail de M. Baily sur les expériences du pendule laites par feu le capitaine Poster; ce Mémoire est inséré parmi ceux de la Société Astronomique de Londres, tome VU- Ce Mémoire, du plus haut intérêt, rapporte les diveises expériences faites par l'illustre voyageur en quatorze lieux dîiTérents du globe ; la durée des heures d'observation est de 3 184- Le soin particulier qu'il a mis à les faire, leur nombre, l'habileté du calculateur, tout se réunit pour donner un grand poids aux résultats. M. Baily, par une

, C\kh-Ic

3o6 CÉOMORPUIE.

discussion éclairée des divei'scs expériences , est conduit à trouver

M. Baily analyse aussi les observatioas de MM. Kater, Goldingham , Hall , Brisbane , Sabine , Fallows , Freyciuet, Duperrey et Leutke; il conclut enfin, de tous ces travaux, p ^ a85 , 26. On remarcpie combien ces résultats soot voisins de 3o5 , nombre déduit des observations lunaires , et qui doit inspirer plus de confiance que toutes les autres déterminations.