CARTES GÉOGRAPHIQUES

309. La surface terrestre n'étant pas déveîoppabie , on n'en peut représenter sur un plan la disposition des lieux qu'en altérant plus ou moins leurs distances , l'élendne des surfaces, les valeurs angulaires des lignes, la figure des rivages, les crêtes des montagnes, les sinuosités des routes, etc. Tantôt on en fait la perspective, c'est-à-dire qu'on imagine l'ceil d'un spectateur placé en un lien arbi-^ traire, mais déterminé, duquel il envoie des rayons à tons les points qu'on vent figurer : une glace interposée entre l'oeil et les objets coupe ces droites en des points qu'on suppose conserver l'empreinte des lieux ; cette glace ollre leur image , telle que les voit le spectateur dont il s'agit. Tantôt on choisit sur un plan un système arbitraire de ligues droites ou courbes pour représenter les méridiens et les parallèles, et l'on place chaque localité sur ce réseau, au point qui a la longitude et la latitude convenables : c'est ce qu'on appelle une projection. Les cartes des royaumes sont construites de la sorte; les mappemondes sont des perspectives.

310. Lorsqu'on veut tracer une carte par projection, l'art consiste à choisir pour méridiens et parallèles des lignes faciles à tracer, et dont l'ensemble altère peu les dis-

CAKTES GÉOGRAPHIQUES. 307

tances des lieux el les surfaces. Il y a mille maDières de varier le syslème de projection 5 nous nous Irarnerons à décrire ici celles qui sont en usage, les seules qu'il soit nécessaire de connaitre, renvoyant, pour le surplus, au Traité de Topographie de M. Puissaûl , pages 61 et 99, et à V Introduction de M. Lacroix à la Géogre^kie de Pînkerton. De plus, l'aplatissement terrestre est trop faible pour être pris ici en considération , en sorte que la Terre sera censée s^iérique.

Mappemonde,

3H . La mappemonde est la perspective d'un hémi3|^re terrestre sur un plan passant par le centre, l'oeil du spectateur étant situé au point de la surface où elle est rencontrée par le rayon perpendiculaire au plan central. Cette perspective est appelée projection stéréà graphique.

Ainsi l'on suppose l'oriL du spectateur placé en un point quelconque de la snrÊtce, et qui en voit tontes les parties à tra^rers la masse, ctnnme ai elle était transparente. Le plau de perspective passe par le centre de la sphère, et est perpendiculaire au rayoD qui va à l'œil. C'est l' hémisphère opposé à ce plan qu'on représente. On imagine des lignes dirigées de l'œil aux diâ^ents points remarquables de cet hémisphère, et que ces droites laissent leurs empreintes sur le plan central. L'ensemble de tous ces points sera la projection stéréographique ou la mappemonde.

Ainsi , dans la fig. 97, le demi-cercle AOB est horizontal, et AQB relevé'verlicalcment au-dessus de AB. L'œil est en O, CO étant perpendiculaire sur AB se rabat au centre C. Le demi-cercle AQB tournant autour de AB se rend sur l'horizon , et complète le cercle AOB ; et de même AOB tournant autour de AB va continuer, sur le plan vertical, le demi-cercle AQB. Un point P' de l'horizon a sa projection en p' sur la direction du diamètre AB. Le point P a de même la sienne en /) ; en sorte que, si PP' est l'axe terrestre, P et P' les pôles, situés sur le cercle horizontal , p el p' en seront les projections.

3o8 néOMOKPHII!.

312. Avant tout, il faut démontrer ce théorème fondameDial : Quelles <jU9 soient les positions d'un cercle tracé sur la sphère et de l'œil situé en un point de la surface, la perspective sera toujours un cercle sur le plan perpendiculaire au rayon mené par l'œil.

En effet, si le plan dn cercle ÎVN' (fig- 97) est perpendiculaire ao plan horizontal AOB, contenant l'oeil O, les ■uels menés à cette courbe formeront un c6ne

rayons '

oblicfue NON' àbase circulaire, dont l'axe Oc aboutit au centre c de ce cercle. Le plan Tertical AB coupe ce cône selon une courbe nn' , qui est la perspective demandée, et qu'il s'agît de prouver être un cercle. Or, si l'on fait tourner les lignes NO, N'O autour de l'axe Oc, elles reproduiront ce cône NON', passant successivement par tons les points du cercle NN' et de sa perspective nn'. Une demirévolution amène le point n enrR et n' en m'; en sorte qne la droite nn' prend la position mm', qai est l'axe de la section transposée. Mais l'angle N = n', puisque l'un a pour

mesure -AN' + -AO, et l'autre ~AN'+-OB, valeurs

égales : ainsi l'angle N'NO := m/n'O ; mm' est parallèle à NN' et le cône est coupé par un plan parallèle à sa base ; la section mm', et par conséquent aussi nn', est donc un cercle (*).

313. Ea même chose arrive quand te plan du cercle NN' a une direction quelconque par rapport au plan horizontal AOB {fig. 98). En effet, menons au centrecdu cercle NN' la droite Cc^cettedroite sera perpendiculaireà son plan et en mesurera la distance au centre C de la sphère. Le plaa COc, mené par l'axe Oc du cône et la droite Ce, est perpendiculaire au plan NN', puisqu'il passe par Ce; il coupe

(*! Lorsqu'un cône oblique WOM', » b»«e circulaire NM', est coupé p»r un plan hr', tel que l'aDgle W= n, la section appelée aaU-paralliU ou toui-coatrmre . est un cercle. [Voyex mon Cours Je Malhéoiaiigaet purei ,

vGooglc

H& P PEHO A DBS . S09

la sphère suivant l'arc QL ei le plan de pcrspecfKe selon CL; cette perspective est la courbe nn'. On voit que le cercle NN' et sa perspeciive nn' sont, à l'égard du plan OCc, précisément dans les conditions de \3ifig. 97. Il suffira de faire tourner le plan LCNO autour de QO et de le rabattre sur QBA , pour ramener tout au même état que ci-devant.

314. Exprimons analytiquement les relations du cercle NN' {Jig. 97) et de sa perspective nn' . Soient l'arc PN ^ i, distance de ce cercle à son pôle P, et l'arc PQ ^ D, distance de ce cercle au pointQ diamétralement opposé à l'oeil; la perspective sera le cercle nn' dont le centre est en i, le rayon ni= p, la distance Ci = a des deux centres C et î. I.a construction qui donne ces éléments est fort simple : on mène les droites ON , ON', qui coupent AB en n et n', et donnent le diamètre nn', dont le milieu i est le centre du cercle de projection.

Cherchons les valeurs des quantités et et fi] car celte construction cesse d'être possible quand le cercle NN' est situé de manière à donner des lignes ON, ON', si divergentes, que les points n et n' sortent des limites de la feuille. Or ou a

N'Q = N'P-t-PQ = D4- A, MQ=D— i,

le rayon CO étant ^i, Cn, Cn' sont les tangentes des angles COn, COn', mesurés parles moitiés des arcs NQ, N'Q; d'où

(ij C/i'=tang-(D4-4) = e', C« = tang- (D— i) =8, a = C( = -(C«'-l-C«;, p=-(C/i'-Cn)i

r '-t-r sin^(D + &)^sinl(D-A)

si.i;(D+A)ros^(n-a)d::sii.|(D-A).wi(D+A) cosi(D4- A). COÎ-; (D — 4)

3lO OÉOMOKTHtE.

Lonqn'on préfère le signe + , le Dnmérateiir se rédnït à sÎdD; dans le cas do signe — , il devient sîn A; quant an

dénominateor, il est =-{cosD + cosA), en veriude l'é-

qnatîon (ii), n<*3i. Donc

mpD ânP

^^' '"cosD-Kcosi" 2««i(D+d)«>s-f{D — i)'

.,, atnA sin A

* ' ""cosD + oosi" 2cos4(D+i)cos^{D — i)'

d'où

a : p :: ndD : sinA.

315. Ces équations renfennent tonte la théorie des projections stéréographiques. Pour projeter un cercle donné sur la sphère, il ne s'agit que de prendre les valeurs de D et A, qui résoltent de la position de ce cercle sur la sphère; et quand le cercle NN' (fig- 98) qu'on vent projeter n'est pas perpendiculaire au pUn horizontal AOB, la sectiou r est encore circulaire; mais son centre i est situé sur la droite CL d'intersection du plan vertical AQB avec le plan CQN'O. C'est ce qui sera développé.

516. Projection stéréographique sur Vborizon. — Si le centre C de la carte {Jîg. gS ) est la place d'une ville , telle que Paris, ce lieu occupera sur la sphère le point Q diamétralement opposé à l'œil O ; l'axe PP' de la Terre fera avec AB l'angle PC A égal à la latitude / da lieu ; PQ sera la colatitude. Le plan vertical élevé sur AB sera celui de la perspective; et comme le plan tangent en Q est parallèle à celui-ci et est l'horizon du lieu, on conçoit la cause de la dénomination de cette projection.

Tirez de l'œil O [fig. 97) les droites OP, OP', aux deux pôles P et P', vous aurez en p , p', intersections avec AB , les projections /> et/»' de ces pôles, et celle pp' de l'axe PP'.

Les parallèles à l'équateur sont des cercles icls que NN' perpendiculaires à PP' et au plan AOBQ ; leurs projections