MAPPEMONDES

Si l'on veut marquer les tropiques et les cercles polaires , on fera A^ aS" 28' 4 jet 66° ^2'. Ainsi le tracé des parallèles n'offre plus aucune difficulté. On a coutume de diviser la circonférence AOBQ de 5 degrés en 5 degrés : nous avons prisici(^g;. gS) des arcsdei 5 degrés, pourévi 1er la confusion.

319, Venons-en aux méridiens. Ces cercles passent tous par les pôles P et P' [fig. 97 ) , et leurs projections par p et p'; pp' est une corde qui leur est commune, et leurs centres respectifs sont, par conséquent, situés siu" H'FH, perpendiculaire au milieu de pp'. Ce point F vient d'être déterminé, équation (6) : il est d'un usage plus commode que le point p', qui est souvent trop éloigné du centre C de la figure. Tous les points de H 'FH sont les centres de circonférences passant en p et p', lesquelles sont les projections d'autant de méridiens terrestres. Déterminons celui de ces cercles qui est la projection du méridien incliné de 8 sur le plan OBQ, c'est-à-dire dont 9 est la longitude.

Le cercle NIi' (fig. 98) dont le pôle est en R, est situé d'une manière quelconque sur la sphère ; les équations ( a) et (3) s'y appliquent', dans le plan OCc perpendiculaire au cercle KN'. Ainsi la perspective est un cercle nn', dont le centre i est sur la ligne LC oblique à ÂC : la distance Ci = a , et le rayon p ^ in sont déterminés par la position de NN' sur la spbère, c'est-à-dire par la distance RQ de son pôle R au point Q, et par l'angle AQL que font les plans ECOLQ et AQB. Pour que ce cercle NN' devienne un méridien, il faut faire A = 90°, parce que tout grand cercle est à 90 degrés de son propre pôle R. Quant à D, qui représente l'arc PQ {fig. 97), cette lettre n'a plus la valeur 90° — /, car le cercle ou méridien NN' (Jtg.gS) n'est plus perpendiculaire à l'axe terrestre, et passe au contrairepar cet axe. Remplaçons D par 1J1 , qui représente cet arc RQ , attendu

3l4 GÉOHORPBIE.

cpienous voulons conserver à D la valeur 90" — /. Ainsi

(9) a = tang+,

(10) p = -= sécJi;

donc le centre i du cercle de projection est, sur la droite CL, distant de a du centre C , L étant le point où l'arc QKL , de 90 degrés, coupe le plan horizontal ÂOB, cet arc passant par le pôle R du cercle NIV'. On décrira de ce centre i un cercle avec le rayon p. Mais il faut connaître AL ^ (f tjui détermine la direction de CL et l'arc RQ ^ i{; , en fonction defl.

320, Le cercle PMP' (Jîg. 99) est un méridieu vu en perspective ; TT' est l'équateur. En faisant tourner PMP' autour de PP', le méridien prend toutes les inclinaisons 0 sur le plan AQB , le pôle R de ce cercle le suit dans sa révolution et décrit l'équateur, parcourant des arcs égaux à ceux de ce méridien : le triangle aphérique RQT, rectangle eu T, comprend

TR = 90<'— a, RQ = -|', QT = 90" — D, et AQL = ç, puisque Q est le pôle de l'arc AL. Ainsi l'on trouve

(11) cos^^sinD sinS, cotf = tangO cosD. Chaque méridien a sa longitude 0, inclinaison de ce plan sur ABQ, on en tire les valeurs correspondantes de tf" et de 9. La première donne iji, et, par suite, les équations (9) et(io) donuentcc etp,qui déterminent le cercle de projection, dont le centre est sur la droite FH (fig. 97). La deuxième équation (ti) donne la direction <f du rayon Ci sur lequel on doit porter a.

321. Mais ces équations fournissent une construction très-simple. Dans le triangle ;)Fa' (fig. loi), où a' est le centre de l'une des projections de méridien, et pa' son rayon p , on a

- Ï£ — ^ = sin 6 'sinD

vGooglc

/-F = p X cosF/>fl', c(>sF/«i' = -

MAPVEIUONDEa . 3 1 5

ÂÎDsi l'angle ^pa' est le comptëment de la longitude B du méridien dont la projection a son centre en a'. Donc, du centre p, décrivez un quart de cercle FS avec un rayon arbitraire (on l'a pris ici ^al à F/;) : divisez ce quadrant de , 5 en 5 degrés , par exemple à partir de S (on n'a pris ici les arcs que de i5 degrés pour éviter la confusion), et marquez les divisions des n"* S, lo, 1 5, etc., de S vers F. Pour chaque point tel que a , tirez pa , qui marquera le centre </ sur FH du méridien, dont la longitude est Sa = 90" — Ta.

La droite AB doit visiblement couper la projection eu deux parties symétriques; chaque centre a', h', etc., a son correspondant a", b", etc., à même distance de F du côté H', et a en outre le même rayon.

hifig. 103 est la mappemonde complète formée de la reunion des fig. gS et loij t'tme représentant les parallèles, l'autre les méridiens.

322. On est dans l'usage de tracer aussi l'écliptique sur les cartes de géographie; mais c'est faire une chose vide de sens , et propre à donner des idées fausses de ce cercle. Si l'on voulait composer une carte céleste, alors il faudrait le marquer. Cette projection s'obtiendrait facilement par les principes qu'on vient d'exposer ; les astres seraient rapportés à leurs ascensions droites et k leurs déclinaisons. Quand on veut que les coordonnées soient les longitudes et les latitudes, l'écliptique tient lieu d'éqnateur dans la projection, qui d'ailleurs s'obtient parles mêmes principes.

•J23. Lorsque les centres des cercles sont très-^loignés , les plus grands compas ne suffisent plus pour décrire les arcs. On se procure alors trois de leurs points A, B, C {fig- io4), et l'on trace la courbe, soit par un système de coordonnées rectangles (voir n" 350) , soit par la propriété de l'angle inscrit. L'arc, dans ce dernier cas, est décrit par le sommet B d'uu angle constant ABC assujetti à passer

n„jN.«j.-vG00glc

3l6 CËOHORPHIE.

sans cesse par deux points A et C et qu'on fait lonrner; le sommet devant passer par B dans l'une de ces positions , cette condition dëtetrune cet angle B mobile. Comme alors les arcs ont peu de courbure , il sufât d'en marquer quelques points. ,

324. La recherche des trois points A, B, C se fait comme il suit ;

1°. Pour les parallèles. — Soit NN' un arc perpendiculaire à l'axe terrestre PP' {fig- loo) ; le centre de la projection est supposé très-ëloigné de C. Le plan NN' rabattu donne la circonférence Ng'IV', et élevant la perpendiculaire fg sur le diamètre NN', fg est l'ordonnée verticale du point de la projection qui est soit au-dessus, soit audessous de f. Ainsi, portant fgdefen h et en h\ h et h' seront deux pointa de la projection circulaire; et comme on a déjà le point n, par la valeur (i) de Cn = S, ou par la construction indiquée, les trois points A, n et h' sont ceux qu'on demande pour tracer l'arc de projection.

2". Pour les méridiens, — Le grand cercle qui est incliné de S sur le plan horizontal AOB (Jîg. io3), et vadeP en P' dans l'espace , est celui qu'on veut mettre en perspective. L'œil est en O et le plan vertical élevé sur AB est celai de projection. Or ce cercle PGP' va percer le plan AGB en deux points qui sont leurs perspectives particulières : cherchons ces points. L'un d'eux, tel que G, détermine un triangle sphérique AGP' rectangle en A; on y connaît l'angle P' qui est celui d'inclinaison, ou la longitude du méridien P'GP, AP' = i8o° — /; AG = a: est l'arc demandé. Ce triangle donne

tanga^^sin/tangâ.

On peut donc trouver par le calcul l'arc x qui va de A (Jig. 101) aux points C et I , où chaque méridien GI coupe eu G et I le cercle AOBQ dans lequel la mappemonde est enfermée.

ji-vGooglc