Projection anglaise. — Comme les bords de la

mappemoiidi; présentent des configurations singulièrement altérées, on a imaginé d'imiter celles desjig, iog et iiO) en ordonnant les cercles de manière à être coupés par parties égales. Mais cette projection est toute conventionnée et n'a rien de commnu avec la perspective.

Dans la^g:. 1 1 1 , on divise en parties égales les diamètres rectangles du cercle, ainsi que la demi-circonférence; nous les avons coupés ici eu 9, pour que chaque arc soit de 10 degrés. On fait ensuite passer des circonférences par trois des points ainsi déterminés. Ainsi les méridiens passent par les deux pôles  et B, et par les points successifs de division du diamètre horizontal ; les parallèles passent par les points de division correspondants de la circonférence et du diamètre vertical.

331 . Il est facile de faire passer chaque cercle par les trois points dont il s'agit, même quand le centre est fort loin {voyez n." 3S3). Mais on peut trouver la longueur p de chaque rayon de méridien et la distance CK = G de C à son point K de section avec l'équateur KW. En effet, le centre cherché est situé sur le diamètre horizontal NN', et l'équaiion de ce cercle, l'origine étant en C , est par conséquent

(jî + p — e)'H-j-' = p',

el puisque ce cercle passe aussi en  et B, on a

r étant le rayon AC de la mappemonde. Ainsi mais ê, ou CK, est toujours une fraction

. Cette équation fait connaître le rayon p du méridien qui passe par le point K de >livision du diamètre horizontal.

Sas GÉOMonpBtE.

Par exemple, si l'on a coupé NC et AN eu 9 parties ^a-

vision K, on fera n==^, d'où

Raisonnons de même pour les parallèles. Un cercle FHF' dont le centre est sur l'ase des /, on a pour équation {le rayon étant p')

en faisant CH = €. Les points de section avec le cercle de la mappemonde se trouvent en posant x' -hj' = ''*, et éliminant X ety; si donc on fait CD = y, on trouve

26'y — S" -H 2'p(7 — 6') = r", d'où

Les données sont ici 6'^CA, y = CD; et Y on trouve ie rayon p' du parallèle. Comme CH est une fraction connue du rayon r, on a

et l'arc NF est la même fraction du quadrant NA; ou a

Par exemple, si 6' = - r, on a

f = rsin^o", ou ^ r. 0,6428;

le calcul donne

On ouvre donc le compas de cette quantité, et posant une pointe sur la 4^ division du rayon vertical , à partir de C, l'autre pointe ira marquer le centre du parallèle sur le prolongement de ce même rayon au delà de C.

ji-vGooglc

PROJECTION DE LOKGVÀ. 3i3

332, On construit encore une projection polaire sur le même principe. Les méridiens sont encore représentés par des diamètres également inclinés l'un sur l'autre, et leS parallèles par des cercles concentriijues avec la mappemonde, précisément comme dans i^Jig- i lo ; maïs ces cercles sont ici également distants entre eux [Jig- 1 1 2), c'està-dire qu'ils divisent toits les rayons en parties égales.

Ainsi , dans la fig. 112, on a coupé chaque quadrant en 9 arcs égaux et mené des diamètres par les points de division ; on a partagé un rayoii en 9 parties égales et tracé des circonférences passant par ces points, et dont le centre est celui de la mappemonde.

333. Projection de Lorgna. — On y a pour objet de conserver aux contours leurs étendues superficielles , mais de négliger les distances et les configurations. Ainsi étant donnée une demi-splière de rayon R , la mappemonde présente un cercle de même surlace, et il faut en outre que, si l'on considère une étendue sur la sphère, cette aire soit égale à celle de sa projection. C'est sur ce principe qu'est construite la carte polaire de V Urano graphie.

Cette projection offre l'apparence de la fig, 110; les méridiens sont encore des diamètres également inclinés, 6t les parallèles des cercles concentriques ; mais les rayons de ces cercles observent une loi qui emporte comme conséquence la condition prescrite que les aires sur la sphère soient égales à leurs projections. Voici comment on y satisfait.

D'abord le cercle de la mappemonde doit avoir même surface que l'hémisphère qu'il représente : soient r et R les rayons, on a îrr* et 271R' pour les aires; et puisqu'elles sont égales ,

r> = 2R', r = Ri/l, R = ^r</2,

expressions qui donnent r quand on connaît R , ou réciproquement. On tracera donc à volonté un cercle pour représenter la projection de l'hémisphère; la sphère devra avoir ai.

334 ' GÉOMORFUIE.

pour rayon-r^a, ou R = o,707i.r, Si l'on divise r en

I ooo parties égales , la sphère aura pour rayon ^07 de ces parties.

Soient CA=R(^g'. ii3)le rayon de la sphère, A le pôle, M' M un parallèle dont la disUHce au pôle est l'arc AM= A, complément de la latitude de ce parallèle. La siuface de la calotte M'AM est = ajr R A, en faisant la flèche AB =:À- : d'un autre côté, si CI^ p est le rayon de la projection du parallèle , sa surface égale iCjs' . On veut que ces deu^ aires soient égales, savoir p* = aRA. Ce rayon p est donc moyen proportionnel entre le diamètre 2R de la sphère et la flèche AB de la calotte sphériquc M'AM. Et comme la corde AM est aussi moyenne proportionnelle entre AB et 3R,îI s'ensuit que le rayon CI de la projection du parallèle MM' est égal à cette corde AM.

Donc les rayons des parallèles sur la projection sont les cordes des arcs terrestres qui en sont les distances polaires.

334. D'après cela, on décrira un cercle à volonté pour représenter la mappemonde ; on cherchera ensuite le rayon R de la sphère qui est les 0,707 du rayon adopté : ou hien on tracera sur ce rayon r un triangle isocèle et rectangle; l'hypoténuse sera R; on décrira, avec ce rayon R, un cercle CM' AM,donton divisera un quadrant de 5 enSdegrés,et l'on mettra aux divisions lesn'^5, 10, i5, etc., à partir d'un point A pris pour pôle. Chacune de ces divisions aura une corde , et l'on tracera , avec des rayons ^aux à ces cordes , une suite de cercles concentriques qui seront les projections des parallèles dont les distances polaires des colatitudes sont marquées par les numéros correspondants. La corde de l'arc de go degrés sera le rayon de la mappemonde. CiWsera la projection du parallèle m'm^Cd^AM, et ainsi des auti'es.