Dnigfw

fi. Il, 3 ...

Ainsi , si l'astre observé est le Soleil , la pendule retarde sur le temps vrai de ii'42'',7, sauf une correction dont il va être question . On a noté 1 5'' au lieu de S"", dans la 3" colonne, pour que t' fût plus ^ t.

'410. Cette théorie n'est vraie qu'autant que l'astre conserve Ih tnëme déoHnaison dans l'intervalle, ce qui a lieu pour le» étoiles , mais non pas pour le Soleil. Que cet astre soit observé à l'est en A {Jig- laS), et lorsqu'il atteint à l'ouest le cercle hornre PB faisant l'angle MPB = MPA avec le méridien PM , P étant le pôle et z le zénith , le Soleil n'flBt point revenu en B sur le même cercle horizontal AB, parce que, s'étant rapproché du pôle, au lieu d'être en B, ii est en i. Il faut donc que le mouvement se continue ehcore quelque temps, pour que de i le ^leil retombe enC sdr le cercle AC à môme hauteur que A .

Mais alors l'angle CPM est >■ ATM, et le milieu de la dnrée écoulée n'est plus l'instant du passage au mé-

MOYENS d'avOIB L'aEURG. SSj

ridien. Faisons l'ange APM=;j = BPM, EPC = dp, APC := 2p-i-dp : la moyenoe entre les heures écoolées t et t', ou - {(' — t) est =p + -dp : ajoutant l'heure t de la i" observation, il Tient d'abord p = -((' + 1 — dp),

puis l'heure de la pendule à l'insUnt du passage au méridien, est

en représentant dp par x.

Ainsi, lorsqu'on aura pris des hauteurs correspondantes du Soleil, l'heure du milieu aura besoin de recevoir une

correction x := dp, pour devenir celle du chronomètre

à midi vrai , à raison du changement de déclinaison dans cette durée.

Il s' a{;it donc de calculer cette correction x^= dp.

Soient z ^ la distance zénithale du Soleil, / la latitude du lieu complément de l'arc PZ = 90° — i, D la déclinaison de l'astre en A, le triangle sphérique PZA donne [équation (3), page 74]

(2) coss = sin/sinD + cos/cosDcos/};

le triangle s'étant changé en PZC , U déclinaison D et l'angle horaire p ont seul varié : dilTérentiotis donc en prenant 2 et / constants :

(àn/cosD — cos/sinDcos/>) dD = co&l coiD tin p .dpi dp et dV sont de fort petits arcs exprimés par la même unité, par exemple, en secondes de degré. Si v est la variation diurne de la déclinaison du Soleil , et que afl^l' — t soit le temps écoulé, on a la partie de cette variation qui est produite dans cet intervalle, en posant

24" ; V : ; 2Ô : dD ^ — i-Ô ; ici ô est rapporté à l'heure, et *"

388 GÉOHORPHIE ASTKOKOMlQtiE.

à ]a seconde de d^ré, ainsi que dp : du reste, i* et 0 sont connus. Tirons donc dp de notre équation, en y substituant cette valeur de dD, et changeons en outre dp en i5 dp, pour que dp exprime des secondes de temps (15° va^eni 1*, n"404) : on en tire

dp est donc , en secondes de temps ,

sinfl /

Nous avons remplacé ici p par sa valeur $, qui , sous les signes col et sin, doit être exprimée en degrés.

411. 1". D est ia déclin. O à midi ; on prend D en — , quand le Soleil est dans les signes inférieurs : la latitude / est n^ative quand elle est australe.

3°. f est la variation de la déclin. Sen n^i", exprimée en secondes de d^ré : ce nombre est donné dans la colonne d0éretice de la Connaùsance des Temps. On prend ordinairement pour f la moyenne entre les deux variations des jours que le midi cbercbé sépare. On donne à v le signe—, quand l'astre va en s'éloignant du pôle boréal.

3°. â^ - (ï' — () est la demi-durée écoulée, exprimée

en heures de temps vrai j on la traduit en degrés sous les signes sinus et cotangentes.

4°. Quand la i" observation est faite le soir, et la a' le lendemain maûn , le calcul dont il s'agît détermine l'heure de la pendule à minuit. O est la déclin, du O à cet instant, et il faut prendre le dernier terme de l'équation (3) avec le signe + au lieu de — .

Ainsi , dans l'exemple précédent, si l'on observe le G '^ 2 octobre i836, on a

D = — 3"4i'ao", P=-,3^",8, / = 48"38'4.".

n,g'.etJNG00gle

taugD -

langl.. 0.05540 mafenne

> sinfi... — 1.90734 correction

.80937— 1.391984- heuM ïraie

.8i634-t- \r' "'"'^'ss éq. de temps. .

Ce procédé est fort exact , et même le calcul en est trèsfacile, parce qu'on peut réduire la formule (3) en Table, d'où l'on tire à vue la valeur de deux termes.

Mais on est fmjuemment exposé à maoc^uer le soir les observations correspondantes à celles du matin , parce que le ciel se trouve voilé par des nuages. On comprend que la correction étant en général fort petite, on a été en droit de substituer à D ta déclin, du Soleil à midi, dans l'équation (3), au lieu de la déclin, en A. La hauteur de l'astre observé n'est, comme on voit, nullement nécessaire à connaître.

Détermination de la latitude du lieu.

U2. Par deux passages au méridien^ l'un supérieur, l'autre inférieur. — On observe les deux hauteurs LD, LC {Jig- i3o) d'une étoile circompolaire , lorsque dans son cercle diurne CD, autour du pôle P, elle entre dans le plan du méridien, et l'on corrige de la réfraction. La demisomme de ces résultats est la latitude cherchée / ^ la hauteur LP du pôle : la demi-diSerence de ces deux arcs est la distance PD de l'étoile au p61e , com^Jément de sa déclinaison.

Ainsi ce procédé est indépendant de cette déclinaison , et la fait même connaître. Il est extrêmement précis, mais rarement praticable. D'ailleurs il ne faut pas que l'étoile soit éloignée du pôle, parce qu'elle passerait en D trop près de l'horizon, où les réfractions sont incertaines, et en C trop près du zénith , où il est difficile d'observer. C'est la Polaire

.vGoogIc

390 ' GËOMOKPHIE ASTRONOMIQUE.

qui est ordÎDaîrement rétoîle qu'on préfère, ou quelque autre étoile de la Petite Ourse.

4ii3, Par un passage au méridien. — Qu'on mesure avec soin la hauteur ds (fig- iSa) d'un asire s, à l'instant où il est au méridien pzd^ z est le zënîtlL, p le pôle, cd l'horizon, ce l'équateur. Après avoir corrigé de réfraction— parallaxe, cette hauteur ds (ou la distance zénithale sz), on a ed^pzz^go" — /=: hauteur de l'équateur ou colatitude du lieu. D'ailleurs fe = D est la déclinaison connue de l'astre, complément de sa distance au yiAesp, Ainsi sd^ ed-i-es donne, en faisant A^hauteur sd, z ^ dist. zénithale sz (après la correction) , (i) /=a + D = 90''-}-D — À=90''-+-8— <i=i8o"— (A-f-rf).

Ces expressions conviennent aux cas où le passage se fait du côté du sud.

On prend D négatif, quand l'astre est en s' sous l'équateur, c'est-à-dire quand sa déclinaison est australe.

Les circompolaires ont deux passages visibles du côté du nord {fig. i3o); la formule doit être modifiée poin- l'un et l'autre. En raisonnant comme on vient de le faire, on trouve.

Passage entre le pâle et le zénith,

(2) i = A — rf=D — a = 9o''~(î + rf) = A + D— 90-. Passage entre le pôle et l'horizon nord,

(3) /=A + rf=90" + <f— î=go»+A — D=i8o« — (ï + D). Bien entendu que la déclinaison de l'étoile observée doit être corrigée de la précession , de la nutation et de l'aberration.

414. On a reconnu que les cercles répétiteurs A grands diamètres dont on se sert en géodésie pour les observations astronomiques sont affectés d'une erreur qui leur est particulière ; celte erreur, qui rehd trop faibles les distances zénithales observées, provient en grande partie d'une flexion

delà lunette aupéi>îearc, flexion qu'on attribue au poids de l'objectif.

L'erreur dont il s'agit est trè«-fatble et, varie avec les distances Kéniibales à peu prôs dans le rapport de leurs sinus. I.ors{[ue, dans une station et pendant la durée de? observations , le cercle répétiteur n'^^ouve aucun déplacement , on est certain qu'alora son «rrtmr particulière «st constante pour une même distance zénithale. 11 n'en est pas de même lorsque cet instrument est transporté d'un lieu à un autre, du moinsi de grondes distances : son erreur varie et atteint quelquefois le double de ce qu'elle était d'abord. De nombreuses obaervatI<ms attestant œ fait

Il suit de là que, pour obtenir avec une pcécision rigou-i reuse U latitude d'un lieu, il faut observer, des distances sénitUal^ méridiennes de deux astres, l'un au nord, l'autre au sud, distances qui doivent être à peu près égales, autant que possible, afîn que l'erreur de l'instrument soit la même et que celle de la réfraction soit dans. le même cas. La moyenne entre les deux résultats donnera la latlbide arec toute l'exactitude désirable. Là demi-différence de ces ré-r sullals sera donc l'erreur parùculi ère de l'instrument pour la hauteur observée.

Si l'on veut obtenir une seconde détermination de la latitude du même lieu par l'observation de deux autres astres soumis aux conditions énoncées, mais à des distances zénitbales très-di fier entes des précédentes, on trouvera une latitude très-concerdante avec la première, en admettant que cbaque détermination ait été faite par des séries de 20 et 3o répétitions, afin de eorapCTiser les erreurs d'observation. Mais l'erreur particulière à l'instrument qu'on déduira de ces nouvelles distances zénitbales ne sera pas la même que celle qui a été obtenue dans le premier cas. On verra si la variation de cette erreur est dans le rapport des sinus des distances zénitbales; dans le cas contraire, on chercbera une formule empirique propre à exprimer approximativement la loi de cette variation.

^Qî GÉOMOBPHIE AaTHONOMIQUB.

Quand l'heure n'est connue qne par des distances zéni-' thaïes absolues (n''405), il importe alors de connaître l'errenr particulière au cercle répétiteur dont on a fait usage, afin d'appliquer aux observations qui ne seraient faites qne d'un &eul cAté du méridien, une correction aécessaire k la précision. Si l'on a la précantion de déterminer le temps par des observations de distances zénithales absolues faîtes à l'est et à l'ouest , la moyenne entre les heures obtenues par ces deux déterminations sera dégagée de l'erreur du cercle. Mais il arrive souvent que, par lui prompt changement dans l'état de l'atmosphère, une observation faite d'un côté du méridien ne peut plus étrecorrigée pav celle de l'autre côté, parce que le ciel s'étant conv»*! , cette dernière n'est pas possible. Il convient alors d'appliquer à cette détermination unique la correction due à l'erreur de l'instrument, afin de détruire l'inSuence qu'elle exerce sur le résultat.

Nous donnons ici un exemple de ces calculs, que M, Coraboeuf a bien voulu nous communiquer. Ce savant faisait usage d'un cercle de Gambey de 33 centimètres de dia-i mètre, et voulait obtenir la latitude d'Angers ; il a trouvé

^>Oile$ ttbitrpfet, DUl. léiath. Latilude. Erreur,

SPetlMOurae ï7"ï3' 47'>i8'io'',9S 4',7^

Arcturus; 37. i3 {7.38. 1,4'

Moïenne 47.118. 6, 18

Polaire (pBS«. anpér.) 4°-^^ 47'3B*>S| !■ 7'i90

a Serpent. . . .' ^o.ig 47-*7-^i4i

Moyenne. 4^.38. 7, 3i

ir^ résnlut 47.38.6,18

Laiitudedéflnitited'ADgert. il-^- ^,^^

Les remarques précédentes doivent être faites pour toutes les méthodes d'observation de temps, de latitudes, etc., lorsqu'on prend pour bases des calculs les distances zénithales des astres.

^^S. Par des hauteurs /t un astre observé près duméri-r

n,gt,.etJNG00glc

dien {fig- i3i). — Les méthodes (ju'on vient d'exposer ont rinconvénient de ne pas se prêter à la répétition fréquente, pour affaiblir les erreurs d'observation en les multipliant ; l'astre doit, en effet, être observé une seule fois à l'instant où il traverse le méridien. Le procédé suivant est dû à Delambre; îl permet de réitérer les mesures un grand nombre de fois en peu de temps. C'est ainsi que ce savant a opéré dans la grande triangulation française :

p est le pôle, z le zénith, pzmo le méridien, s un astre voisin de ce plan, ps son cercle horaire, m le point où l'astre passe au méridien , et , par conséquent , ps ^ pm ^ d ^ go" — D, Du zénith z pour centre traçons l'arc so, et nous aurons zs-^ 20, ^ et o de même niveau. Faisons le petit arc mo = x, et calculons-eu la valeur. Dans le triangle sphérique p£s, on a [équation (i5],

cosEf 5= cos{ps — pi) — 2sin/'2.sin/M'siit'-/> ;

or sz = oz^zm + x\ le premier membre devient

cDSini.cos;!: — sîn zm . sîm = cos uw 1 I x'\ — icsinim;

car X étant fort petit , on peut négliger les troisièmes puissances de cet arc, dans les développements de sinx et cos j: [équations {16) et (17), n° 32J.

Quant au second membre, comme ^2 = 90" — l, et ps =5 go" — D, il devÎMit

cos(' — D) — acas/cosDsiD'-/7.

Donc, à cause de zm = pin — pz=ps — pz^D — /, on trouve

(A) -«'cos(/- — D) +j;sin(/ — D) =r2cos/cosD sin'-p.

Telle est la relation qui est destinée à donner le petit arc X. Pour cela, aj^liquons le procédé exposé dans la note

394 GÉOMOBPUIE ASTHOHOMIQUE.

n" 317 , en y faisant

2cos/cosD9in''- " siD(/ — D)

A=;-col(/— D), et (ang*=a:

416. Au reste on parvient au même résolut par le moyen suivant, qai montre mieux comment l'approximation se développe, et n'est au fond que le proche de la note citée.

rfégligeons le terme x*, pour une première approximation, et changeons x en xsini", afin d'exprimer l'arc a: en secondes de degré, nous avons

(B) '='xr'

n(;-D)' en posant

istri'^p

On a donc ainsi le nombre x de secondes dont l'astre doit monter de s en m , pour entrer au méridien , dans le temps marqué par l'angle horaire p.

Soient H la hauteur de l'astre en s, Z sa distance zénithaïe (corrigée de réfraction — parallaxe), valeurs obtenues l'une ou l'autre d'après une observation; soient A et ^ les valeurs de ces arcs quand l'astre sera en m au méridien; d'où (D) A = H + *, a = Z — j7.

Une fois qu'on a z oxx h, l'équation (i), n" 413, fait ensuite connaître la latitude /, comme si l'astre eût été observé au méridien même.

Mais comme, dans tous les instants voisins, soit avant soit après le passage, on peut obtenir différentes hauteurs ou distances zénithales successives, savoir, H', H", . . . , ou Z', Z*,. . ., eu notant les heures ;?', p",... correspondantes, ou obtient, pour chaque observation, une valeur de h ou de z. Toutes celles-ci devrontètre les mêmes, parce que les premières ont chacune leur correction propre x', x",. . •;

et les petites différences des résultats devront être attrïbaées aux erreurs d'observadon. Et puisque ces erreurs se compensent par leur nombre, la moyenne donnera une latitude fort exacte. Tel est l'esprit de cette ingénieuse méthode, dont il nous reste à développer les conséquences.

417. Leshauteurs méridiennes sont H'+x', H"-f-a;"...; la moyenne entre n observations donne

1 | ^ — - — ^-^-^ ^ la moyertneB entre les hauteurs

+ la moyenne x entre les eorreetions;

de ces deux parties, la première H est celle qu'on lit sur

l'instrument après toutes les observations dont il donne la

somme, et qu'on divise par n; ensuite on corrige de la

réfraction — parallaxe. Quanta la secondex, comme dans

l'équation (B), le facteur h varie seul avec p; il faudra

prendre pour h la moyenne entre les nombres h', h", . . . ,