KA = 1, EB

Considérons l’arc AB comme composé d’une multitude infinie de petites lignes droites bout à bout, et nq = a l’une de ces parties. En formant le triangle rectangle infinitésimal nqm , dont l’angle q est l’azimut z qui est constant tout le long de AB, on a

mq = a cos z, nm — mq tang z.

Or, chaque petit arc nq fait partie d’unjriangle de cette espèce, qui donne deux éq. de même genre. Ajoutons ensemble tonies les i™ ; la somme des mq compose l’arc AD = l — i, différ. des latitudes de A et de B; cos z est facteur constant; la somme des quantités « est la route totale AB = a; ainsi , l’on trouve

l — /' = a cos z = chemin en latitude. . . . (i)

46g. D’un autre côté, les arcs fg et mn sont entre eux comme le rayon R de l’équateur est à celui du parallèle de mn, dont nous ferons la latitude = A i fg \ mn : ; R : R cos A , d’où mn = fg cos A (n° 36o),ce qui change mn—mq tangz, en /ÿ,cosA=tangz.my. En ajoutant toutes les quantités fg, dont la somme est EK, on

est conduit à prendre la somme de toutes les fractions — parce que tang z est facteur constant. Or, EK est la différ. P des longitudes de A et B ; appelant A la somme des fractions — 1 —, on a

cos ^

P = A tang z.

On donne à la grandeur a le nom de tomme des parties méridionales ou des latitudes croissantes : c’est l'intégrale de

J prise depuis A jusqu’en D,

nu Hpiitiia K

moins de K en D. Cherchons donc ces deux sommes que nous désignerons par A' et A" ; savoir :

P = (A' — A") tang z = chemin en longitude. . . (2)

Cette différ. devient une somme quand l’équateur passe entre les points A et B, parce que A" devient négatif.

On a construit une table des valeurs de A prises depuis l’équateur jusqu’aux diverses latitudes ; celte table donne à vue les nombres A' et A".

4^0. Voyons donc à calculer A. En faisant sin A *= x, on a

c/ cosA J cosA «/ î-ar1 2 e\r — x / 1 — a?’

= log népér. = log népér. tang ^45° -f- — A^,

d’après l’éq. (9) p. 34. L’intégrale doit être prise depuis l’équateur où A = o, jusqu’à A latitude quelconque l : donc

A sa log népér. tang (45° -] — '-!)

— log. tabul. tang ^45°-j- ~ [V. p. 35).

Le chemin parcouru a, ainsi que l'angle P, sont ordinairement exprimés en minutes ou milles ; il faut donc changer P en P sin 1', c.-à-d. prendre M sin 1' pour dénominateur. On trouve

Ms-ni> =79ï5',7o4674i, log = 5 .89848957 i5,

A = 791 5', 70*6741 X log. tabul. tang (45° -{-7 1). (3)

C’est sur cette formule que sont calculées les table » de» latitude » croit tante» qu’on trouve dans les ouvrages de Mendoza, Guépratte, etc. (*).

471. Une fois celte labié formée, voyons à appliquer les éq. (1 ) et (2) à la résolution des problèmes des routes , savoir :

Étant donné» I. . . aetz, trouver l — F et P,