CHAP. IV. — ARPENTAGE

58. La détermination de l'étendue superficielle d’un champ est facile à faire lorsqu’il est levé par le secours de l’équerre, parce qu’on connaît les bases et les hauteurs des parties élémentaires de cette surface. Quand on a fait usage du graphomètre, il faut calculer ces éléments par des résolutions de triangles. En général,

ces aires sont toujours le produit de deux longueurs qu’on exprime en mètres, et le produit est des mètres carrés; pour l’énoncer en ares, il faut diviser par cent, parce que l’are vaut cent mètres; pour avoir des hectares, il faut diviser de nouveau par cent. Ainsi, en reculant la virgule vers la gauche de 2 ou de 4 rangs, l'aire est exprimée en ares ou en hectares.

Par exemple, que l’aire soit le produit de 453“ par 329”, elle sera ou 149057 mètres carrés, ou 1490,37 ares, ou 1 4, 9037 hectares, c’est-à-dire i4 hectares 90 ares 67 centiares.

5g. Toutes les fois que la figure du champ sera géométrique, ou réductible à celte forme (cercle, parallélogramme, triangle, polygone), les théorèmes connus reçoivent leur application. Mais s’il y a des limites courbes, il faut décomposer ces lignes en parties qu’on considère comme de petites droites , ce qui ramène l’aire à des formes géométriques qu’on calcule , par portions distinctes , par les procédés ordinaires. Au reste, le théorème de Simpson donne l’aire avec une |dus grande approximation ; voici en quoi il consiste.

Cherchons d’abord l’aire d’un petit segment CEM (fig. 44) d’une courbe quelconque rapportée aux axes rectangulaires Aa?, A y , et nommons a l’angle MCH formé par la corde CM avec Aa?. Menons l’ordonnée KE par le milieu K entre les ordonnées terminales CB, MP. On peut sensiblement regarder l’arc CM comme appartenant à une parabole dont le sommet L répond au milieu I de la corde. L’aire du segment est donc CEMI = ’ CM. LI. Or, les triangles LEI, MCH, donnent

LI = El cos «, CM = — , d’où CEMI = % El X CH.

cos « 3

Cela posé, faisons BK = KP = h, CB = y', KE — y", PM = y"; l’aire CBPM se compose

du trapèze CBPM = /.( y -f y'" ) , et de CEMI = f A . EI.

Or, El = EK — Kl = -; ( 2 y" — y — y"')-, donc le segment CEMI = f A ( iy" — y' — y" ); et la petite aire

cempb = t A ( f y + + -r y" )•

Supposons l’aire plane BÂCD (fig. 45) qu’on veut arpenter , limitée par la courbe AC, la droite BD et les perpendiculaires AB, CD; on coupera la base BD en un nombre pair de parties égales , dont h sera la longueur , et par les points de division on mènera des ordonnées y , y' , y" , ... y'1, qui couperont l’aire en éléments dont les surfaces respectives seront exprimées deux à deux par la formule ci-dessus :1a 2" , la 5° , . . . seront

7 a (v y" + ^,r + v y’ ), ; a ( i y” + *yT' 4- yT"), etc.,

la somme = f h ( '-y -f- ay" -f- y" -f ay ' + y’ -f- 7 î/']) »

BACD=;/l[^+yJ+(y''+y'''+...y’*-0+(y''4-y'T4-y-••y'-,)•

Tel est le théorème de Simpson : Paire formée dP un nombre pair de trapèze» rectangle » et curviligne* se ‘trouve en prenant la moitié de la somme des ordonnées extrêmes , plus la somme de toutes les coordonnées , celles-ci exceptées, plus enfin celles de toutes les ordonnées de rangs pairs ; le tout multiplié par -j h.

La même règle s’applique évidemment au cas où l’aire est comme ACFE terminée par deux courbes opposées, en appelant y y" y" .... la longueur totale de chaque parallèle.

Plus h est petit et plus le résultat est approché de l’aire demandée. Ce théorème s’applique à toute surface irrégulière, parce qu’on peut la décomposer en d’autres qu’on évalue séparément , et qu’on ajoute ou retranche ensuite, selon les cas. Lorsqu’il arrive que la base se trouve coupée par la courbe , la même règle reçoit son application , en faisant égale à zéro l’ordonnée du point de section.

60. Lorsqu’on veut arpenter un terrain , il est utile d’en faire lever le plan, parce qu’il est facile de faire au crayon, sur le papier , les tracés de subdivisions qui sont propres à former des aires partielles commodes à évaluer : on obtient avec le compas des longueurs approchées qu’on peut ensuite vérifier et corriger sur le terrain.

Quand le sol est en pente, on réduit les longueurs à l’horizon, comme dans le levé du plan ; parce que c’est la projection horizontale qu’il faut arpenter. En effet , il est reconnu que l’étendue

«6 TOPOCIUriIIE.

productive d’un sol n’est pas le développement des accidents de la surface: la projection a, il est vrai, une aire moindre que celle qui est inclinée; mais l’espace de terre qu’il faut pour la croissance des racines, et la masse d’air nécessaire à la végétation des plantes, réduisent l’aire inclinée à sa projection horizontale, lorsqu’on mesure les produits. D’ailleurs, si l’on accorde un faible avantage à l’aire inclinée sur sa projection , elle est plus que compensée par les difficultés de la culture, à moins que l’inclinaison du sol ne soit une des conditions de succès , comme dans le cas des terres à vignes. La méthode de cultellation est celle qui consiste à réduire ainsi les aires inclinées à leur projection. L'exposition faite n05 46 et 53 contient tout ce qui est nécessaire pour ce genre de calculs.

Le plus ordinairement les champs, les bois, les parcs, sont limités par des lignes droites, et quelquefois même leur forme est celle de rectangles , de parallélogrammes , de triangles.... Nous récapitulerons les théorèmes de ’géomélrie qui s’appliquent à l’arpentage de ces figures.

i° La surface d un rectangle ou d’un parallélogramme est le produit de sa hase par sa hauteur: on prend pour base l’un quelconque des côtés; la hauteur est la distance de ce côté à celui qui lui est opposé, mesurée sur une perpendiculaire aux deux.

2" Le même théorème s’applique au triangle, mais on ne prend que la moitié du produit, parce qu’un triangle est la moitié dttn parallélogramme de même base et de même hauteur.

5° L'aire d un trapèze est le produit de lu somme des deux côtés parallèles par la moitié de leur distance, ou si l’on veut, le produit de cette distance par la parallèle menée à distances égales de ces deux côtés.

4° L’aire d un polygone s obtient en le décomposant en triangles par des droites menées d un point intérieur { comme figure 26), ou par des diagonales menées dun même sommet. On cherche les aires de ces triangles et on les ajoute.

Si le polygone est régulier, sa surface = - «a’ cot

n étant le nombre des côtés , et a la longueur d'un de ces côtés.

5° Nous avons donné (n“ 36) t aire et un triangle dont on a le* trois côté* : si l’on connaît deux côtés b, c, et l'angle compris A, la surface — ~ bc sin A. Enfin, lorsqu’on a un côté c et les deux angles adjacents A et B , l’aire

x sin A sin B i 7 sin A sin B

a ° ' sin ( A -{- B ) 2 C sin C

6° L’aire ctun quadrilatère se trouve en le divisant par une diagonale en deux triangles qu’on évalue séparément : cette aire est aussi égale à la moitié du produit des deux diagonales multiplié par le sinus de l’angle qu’elles forment entre elles.

7° L’aire et un cercle de rayon R est = sr R% » étant 3, 1 4i fit) ( voy . n° 33).

8° L’aire et un secteur de cercle dont l’arc a n degrés est = Celle «Pwn segment — R’ — sin • On

trouve que —ÿ— = 0,01745.

90 L’aire et une ellipse dont les demi-axes sont a et b , est = r ab.

Toutes ces propositions sont démontrées dans mon Cour* de mathématique* pures.

Lorsqu’on doit arpenter un terrain formé de diverses parcelles dont on veut avoir les aires séparées , comme cela arrive pour les opérations cadastrales, on évalue d’abord l’aire totale des pièces réunies, puis les aires des parcelles ; et l’on examine si la somme de celles-ci reproduit l’aire totale. On estime qu’une différence en plus ou en moins de-jj-,,, n’est pas une erreur assez grave pour nécessiter que l'opération soit recommencée. Ces évaluations se font sur le plan, à l’aide de subdivisions qu’on fait avec le crayon.

6 1 . L’arpentage comprend aussi le mode de division des héritages dans le rapport des droits des partageants. Ce problème n’est pas sans difficultés, surtout lorsqu'il comprend de3 condi-

lions particulières d'intérêt ou de localité : comme lorsqu’il s’agit de faire aboutir les sentiers de séparation à un point déterminé , tel qu’un puits commun , une porte, une voie publique, etc.; et aussi quand le terrain a des parties irrégulières ou coursons , et qu’on veut que chaque partageant ait une portion de ces désavantages.

Pour résoudre celte question , on évalue l’aire totale en nombres, et l’on divise le résultat dans les rapports assignés , afin de connaître le nombre d’ares que doit avoir chacun. Puis opérant sur le plan , et par quelques essais approchés , on trace des lignes de séparation présumées : on mesure ces aires partielles , et l’on reconnaît la quantité que chacun se trouverait avoir de trop ou de moins ; on corrige ensuite ces résultats ainsi que nous allons l’exposer.

62. Supposons qu’on ait présumé que la droite El ( fig. 46 ) coupe le quadrilatère ABCD par moitié , et en arpentant chaque partie M et N , l’aire M surpasse N de a mètres carrés : voyons comment on devra déplacer la droite El pour que les deux parts deviennent égales. Il faut rendre ; a à N aux dépens de M. On abaissera la perpendiculaire EH = h sur AB , et on la mesurera : divisant l’aire 7 a par h , on portera de I a

en F le quotient q = — = IF ; la droite EF coupera la figure

par moitiés , puisque le triangle EIF = £ qh = ± a.

On peut encore transporter la ligne de séparation vers AD ( fig. 5o ) , de El en FG, parallèlement à El, en faisant en sorte que

l’aire EFGI = - a = El X mn : donc la distance mn = —