LIVRE IL

GÉOMORPHIE.

La géomorphie , plus communément appelée géodésie , est la science qui traite de la mesure de la terre et de ses grandes divisions territoriales. Les moyens qu’elle emploie sont fondés sur des calculs et des observations. Il est donc nécessaire avant tout de connaître les instruments dont on se sert et les théories qu’on applique aux résultats observés.

Nous avons dû commencer par exposer les méthodes algébriques connues sous le titre de Trigonométrie sphérique, qui sont d'un usage perpétuel dans cette science , et une description succincte des deux instruments qu’on emploie généralement pour les observations.

Deux espèces de procédés sont usités en Géomorphie : tantôt on mesure , on calcule des distances , et des angles tracés sur la surface terrestre ; tantôt on observe les astres , pour coordonner entre elles les diverses stations. De là les deux grandes divisions que nous adopterons; l’une sera la géomorphie terrestre , l’autre la géomorphie astronomique.

Les opérations terrestres consistent à couvrir le sol entier qu’on explore d'un réseau de triangles , dont on mesure les angles avec un instrument , et dont on calcule les côtés, à l’aide de la longueur de l'un d’eux pris pour hase , et mesuré directement. On en conclut ensuite l'étendue des arcs terrestres qui traversent ces triangles , tels que la méridienne et sa perpendiculaire. Ces arcs servent ensuite à déterminer la forme ellipsoïdale du globe terrestre, ses dimensions , son aplatissement , etc.

6i GÉOMORPHIE.

Les opérations astronomiques servent à trouver les longitudes et les latitudes des stations, les azimuts des côtés des triangles , la déclinaison de l’aiguille aimantée , etc.

Plusieurs autres sujets seront encore traités, parce qu'ils se rapportent immédiatement aux théories géodésiques.

i° Les oscillations du pendule fournissent des données trèsutiles pour obtenir l’aplatissement du globe terrestre; il convient donc d’examiner cette théorie.

2° Les élévations des lieux où l’on établit des stations géodésiques, sont des éléments importants à connaître; nous ferons l’exposition des méthodes de nivellement.

5° Le géographe ne se contente pas des évaluations numériques auxquelles le calcul le conduit dans la détermination des côtés de ses triangles ; il veut encore représenter ces résultats par des figures , c'est-à-dire , en composer une carte géographique , qui permette à l’œil d’en embrasser l’ensemble et d’en comparer les détails. L’art de construire ces sortes de perspectives sera l’un des sujets de notre analyse.

Tel est le plan que nous nous proposons de suivre dans la composition de ce livre.

Notions fondamentales.

65. Trois plans MON,NOP,MOP (fig. 5i) qui se coupent dans l’espace en un point O forment un tri'edre ; une sphère quelconque, qui a son centre en ce point O , est coupée par ces plans selon trois arcs de grands cercles CA , CB , AB , qui composent un triangle sphérique ACB. Les angles plans du trièdre O sont respectivement mesurés par les côtés ou arcs de ce triangle, savoir , l’angle NOM par AB , MOP par AC , et NOP par BC. Un angle C du triangle est mesuré par celui que forment deux tangentes en Caux arcs contigus AC, BC; ces tangentes situées dans les plans de ces arcs , mesurent l'angle dièdre de ces mêmes plans, c’est-à-dire l’angle NOPM, parce que ces tangentes étant

TRIGONOMÉTRIE SPIIÉRIQDE. 63

j>erpendiculairc3 à OC , déterminent un plan perpendiculaire à ce rayon, qui est l’intersection des deux plans NOP, POM; ainsi, l’angle C , celui que font ces tangentes , mesure l’inclinaison de ces plans l’un sur l’autre.

Donc les angles plans du trièdre O sont mesurés respectivement par les côtés du triangle sphérique ABC, et les inclinaisons des faces le sont par les angles respectifs de ce triangle.

Étant données quelques parties d’un trièdre , si l’on se propose de trouver les autres , le problème revient à déterminer certains éléments d’un triangle sphérique , lorsqu’on connaît les autres. Il y a six parties , trois angles A , B , C , et les trois côtés respectivement opposés a , b, c , ou , si l’on veut , trois angles dièdres A , B , C , et les trois angles plans opposés a, b, c. Nous verrons bientôt que quand on connaît trois de ces six éléments , on peut toujours trouver les trois autres.

D’après cela , que , d’un point O, on dirige des rayons visuels à trois points M , N , P, de l’espace, tels que des étoiles , des signaux , etc. ; ces lignes sont les arêtes d’un trièdre O , dont les éléments constituants sont ceux d’un triangle sphérique ABC. Ce triangle est formé par les sections des faces de ce trièdre avec la surface d’une sphère de rayon arbitraire , dont le centre est placé à l’oeil du spectateur.

64. Ces principes servent à démontrer les théorèmes suivants :

i° Tout angle plan d’un trièdre étant nécessairement moindre que deux droits , chaque côté de tout triangle sphérique est <[ 1 8o° ; chaque angle du triangle est aussi plus petit que deux droits (c’est ce qui résulte aussi du triangle polaire ( voyez n° 65 ci-après).

Toutes les fois qu’un calcul conduira à trouver un arc > i8o° pour valeur de l’un des éléments de triangle sphérique , cette solution devra être rejetée comme impossible, ou du moins remplacée par le supplément de cet arc : et les cosinus, sinus, tangentes, etc., ne peuvent appartenir qu’à un arc moindre que la demi-circonférence.

2° Puisque la somme des angles plans de tout angle polyèdre

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est toujours moindre que quatre droits , la somme des trois côtés de tout triangle sphérique est 56’o°. L’angle trièdre d’un cube étant formé de trois angles plans qui sont droits , on voit que chacun des côtés d’un triangle sphérique peut être de 90% et évidemment il peut aussi surpasser 90°.

3° Deux triangles sphériques sont égaux lorsque leurs trois angles , ou leurs trois côtés, ou deux côtés et F angle compris, ou deux angles et le côté adjacent, sont respectivement égaux chacun à chacun. On suppose les rayons des sphères égaux , et ces théorèmes se démontrent, ainsi que les deux suivants, par les mêmes procédés que pour les triangles rectilignes.

4° Dans un triangle sphérique isocèle , F arc abaissé du sommet perpendiculairement sur la base divise par moitiés cette base et Fangle du sommet ; les angles égaux sont opposés aux côtés égaux, et réciproquement.

5° Dans tout triangle sphérique, le plus grand angle est toujours opposé au plus grand côté, le moyen test au moyen, le moindre au plus petit.

6° Un côté est toujours moindre que la somme des deux autres, et plus grand que leur différence. En effet , la somme des deux angles plans d’un trièdre surpasse le 3° , d’où a <[ b -(- c, b < n-f- c ; donc a j> b — c. Donc aussi la demi-somme des trois côtés cF un triangle sphérique surpasse toujours un quelconque de ses côtés ; car, en remplaçant i-J-cpar a-\-i, a -{- ô -|- c devient = 2a -j- « ,• ainsi, le demi-périmètre est = a -f- -i * > a.

65. Coupons notre trièdre O par trois plans respectivement perpendiculaires aux arêtes; ces plans détermineront un second trièdre O' (fig. 48) opposé au premier : il s’agit de prouver que les angles plans de F un de ces trièdres sont suppléments des angles dièdres de F autre , et réciproquement.

En effet, l’une des faces du trièdre proposé O, étant MON, menons, en des points quelconques N , M, sur les arêtes OM,ON, deux plans perpendiculaires à ces droites , et par suite aux faces MON, MOP d’une part, MON, NOP de l’autre ; les angles M et N du quadrilatère OMP'N sont droits ; l’angle P' est donc supplément de MON. Mais ces deux plans coupants sont des faces du

TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE. tü»

nouveau trièdre O', et se coupent suivant la droite O’P', arête de ce corps. L’angle dièdre formé par ces plans est visiblement mesuré par l’angle MP'N , puisque le plan de cet angle est perpendiculaire à ces deux faces. Donc l’angle plan MON du premier est supplément de l’angle dièdre P' du second. lien faut dire autant des deux autres faces MOP , NOP, qui sont sup pléments des angles MN'P, NM' P. Les angles plans du trièdre O sont donc respectivement les suppléments des angles dièdres du trièdre opposé O'.

Réciproquement, les angles plans du trièdre O' sont les suppléments des angles dièdres du trièdre O , par la même raison.

On conclut de là qu’en imaginant deux sphères de même rayon , dont les centres sont aux sommets O et O' , formant deux triangles sphériques ABC, A'B'C' ,les côtés de l’un de ces triangles sont les suppléments des angles de l’autre, et réciproquement. L’un des trièdres ou des triangles est appelé polaire ou supplémentaire de l’autre.

66. Étant donné un triangle sphérique dont A, B, C (fig. 48) sont les angles , et a, b, c, les côtés respectivement opposés , on peut toujours en construire un autre dont A', B', C' sont les angles, a, b', c , les côtés, tel que A, B, C soient les suppléments respectifs de a', b', c, et a,b,c, suppléments de A', B', C', savoir:

On voit en outre que la somme des trois angles de tout trian-

gle sphérique est toujours comprise entre deux et six droits. En effet, d’une part chaque angle étant moindre que deux droits, A -j- B -j- C < 6 droits ; et d’une autre part , en ajoutant les trois équations (2), 011 a

A -f- B -j- C — 6 droits — ( à b' c' ) ;

et comme on a vu que a' -J- b' -f-c' < 4 droits (n° 64, a°),on voit que A -|- B -)- C > 2 droits.

Les équations (1) et (2) sont fort utiles, car elles réduisent à

GtOBÉSIE. !5

m GÉOMOHPHIE.

trois les six problèmes de la trigonométrie sphérique , qui con sistenl à trouver trois des six éléments d’un triangle , lorsqu’on connaît les autres. Supposons, par exemple , qu’on sache trouver les trois angles A, B, C, quand on connaît les trois côtés a, b, c: réciproquement , si l’on donne les trois angles A, B, C, pour trouver un côté a, on substituera au triangle sou supplémentaire A'B'C' , dont on connaît les trois côtés à, b', c', par les équations (2); et lorsqu’on aura trouvé l’un A' des angles, l’équation ( 1 ) donnera le côté opposé a = 1 80" — A'. En sorte qu’il suffit de savoir résoudre un triangle dont on connaît les trois côtés, pour savoir aussi résoudre celui dont on a les trois angles ; et ainsi des autres cas. C’est ce qui s’éclaircira mieux par la suite.

67. Si l’on coupe le trièdre O (fig. 4q) par un plan pmn perpendiculaire à une arête OA, en un point m tel que O/n = 1, on a

mn = tang c , On = séc 0, mp = tang b, O p = séc b.

Or, les triangles rectilignes mnp, npO, donnent (éq. i5, p. 3 7)

np7 = mn’ -f- pm 7 — imn . pm . cos A , np 7 = nO’ pO7 — 2«0 . pO . cos a ;

retranchant la 1” de la 20, il vient, à cause des triangles »mO, p mO , rectangles en m , et de O m = 1 ,

o = 1 — j— x — 2 séc c . séc b . cos a -j- 2 tang c . tang b . cos A ; 1 sin

et mettant pour séc, et pour tang,

cos cos

cos a sin c . sin b . cos A

cos c . cos b cos o . cos b

ce qui conduit à X équation fondamentale

cos a = cos b . cos c -)- sin b . sin c . cos A .... (3)

On aurait de même

co s b co s c

= cos a . cos c -f- sin a . sin = cos a

o . cos B, cos b -j- sin a . sin b . cos C