Pour éliminer b de l’équation (3), mettons pour cos b

, ... sin B sin a .....

sa valeur ( * ) , et : — - — pour sin b ; il vient

1 sin A

. sin a sin csin Beos A

cos a = cos a cos’c 4- sin asm c cos c cos B 4 r—. ;

1 sin A

mais cos’c = r — sin’c ; donc, en divisant tout par sin a sin c,

sin c cot a = cos c cos B -}- sin B cot A . . . . (6)

En appliquant à l’équation (3) la propriété du triangle supplémentaire (équations 1 et 2), c’est-à-dire, changeant a en

68 GÉOMOIU'ME.

1 80» — A , À en 1 8o* — a. etc., nous avons

— cos A — cos B cos C — sin B sin C cos a ... . (7)

Ces théorèmes suffisent à la résolution de tous les triangles sphériques, ainsi qu’on le verra par les développements que nous allons donner ; mais il y a encore une équation générale qu’on emploie quelquefois.

Éliminons cos c entre les équations (4) ; à cause de

cos’a = 1 — sin’a, et en divisant tout par sin a, on trouve

sin a cos b = sin b cos a cos C -f* sin c cos B . . . . (8)

70. Nous devons encore ajouter que, dans les équations générales, entre certains éléments d’un triangle sphérique quelconque ABC, on peut changer a et A en J et B, ou bien en c et C,et réciproquement : en sorte que nos équations (6, 7 et 8) en représentent chacune trois, comme l’équation (5) en a donné deux autres (4). On a , par exemple :

sin c cot b — cos c cos A -f- sin A cot B ... . (y)

— cos B = cos A cos C — sin A sin C cos b. . . (10) sin c cos b — sin b cos c cos A -f- sin a cos B. . . etc.

Triangle s sphérique* rectangle*.

71. Désignons l’angle droit par A, et l’hypoténuse par a (fig. 52) ; faisons donc A = 90" dans les équations (3,5,6, 7,9 et 10):

cos

cos b cos

sin

sin a sin

tang

tang a cos

cos

cot B cot

cot

cot b sin

cos

sin C cos

Ces six équations sont propres au calcul logarithmique, et suffisent à la résolution de tout triangle rectangle : De* cinq éléments a, b, c, B et C, deux étant donné*, on peut toujours trouver les trois autres. Ainsi la question est posée entre trois

éléments dont un seul est inconnu. On dénommera les angles du triangle par A, B, C, l’angle droit étant A , et l’on cherchera celle de ces six équations qui comprend les trois éléments dont il s’agit : mais, pour trouver cette équation, il pourra arriver qu’on soit obligé de changer de place les lettres B et C dans la figure. Suivant les divers cas qui se présentent , on choisit les équations qui contiennent les trois éléments compris dans le problème.

1 et deux angles B, C prenez l'équation (g)

L'hypoténuse 1 un angle B l opposé b . (n)

a, j et le cùlé ( adjacent c (p)

f les trois côtés a, b, c ( m )

Un côté b de l’angle droit et les angles B, C (*)

Deux côtés J, c de l’angle droit et un angle B (r)

72. Le fréquent usage qu’on fait de ces équations exige qu’on les ait sans cesse présentes à la mémoire , chose que le défaut de symétrie rend assez difficile. Mauduit a indiqué un moyen empirique de les retrouver, qui consiste à lire, sur la figure, les cinq éléments du triangle rectangle dans l’ordre où ils sont, en faisant le tour , et à observer que les trois éléments entre lesquels on cherche une relation sont contigus ou alternatifs ; et il est de fait qu’on a toujours

cos . arc intermédiaire = produit j

des sin . dt arcs ALTERNES des cot . d arcs contigus.

Seulement, en appliquant ce théorème, il faut remplacer les deux côtés de F angle droit par leur complément, c’est-à-dire leurs sin. par cos., leurs tang. par cot. , etc. On peut, en effet, vérifier «pie ces deux propositions reproduisent exactement nos six équations.

i° De l’équation (»»), on conclut que te cosinus de Thypoténuse est égal au produit des cosinus des deux autres côtés ; ainsi l’un des trois côtés est ou ]> 90", selon que les deux autres côtés sont d’espèces semblables ou différentes, car les cosinus d'arcs > 90° sont négatifs.

2° L’équation (y) montre que si l’on compare l’hypoténuse

70 GÉOMORPHIE.

aux deux angles adjacents B et C , l’un de ces trois arcs est > ou < 90°, selon que les deux autres arcs sont d’espèces semblables ou' différentes.

3° Les équations (r ou /) prouvent que chacun des angles B et C est toujours de même espèce que le côté opposé.

4° De même, l’équation (p) montre que l’hypoténuse et un côté sont de même espèce , quand l’angle compris est <[ 90°, et d’espèces différentes quand cet angle est > 90°.

Nous entendons par arcs de même espèce ceux qui sont ensemble soit <(,soit > 90°; et d’espèces différentes , quand l’un de ces arcs est <( et l’autre > 90°.

5° Enfin, si le côté b de l’angle droit = 90°, on aura cos b = o , et (d’après les équations m et *) cos a — o, cos B = o : les côtés CA , CB sont donc chacun de 90° , et perpendiculaires sur AB ; le triangle est isocèle birectnngle ; C est le po7e de l’arc AB (fig. 5a), c’est-à-dire que C est distant de 90° de tous les points de cet arc.

70. Quoique nos équations résolvent tous les triangles sphériques rectangles , il convient de remarquer quelles ne donneraient pas les valeurs des inconnues avec précision, si ces arcs étaient très-petits et exprimés par des cos. , ou voisins de 90“ et donnés par des sinus. Voici comment on doit opérer dans ces cas :

/ t t* . . 1 1 ' COS »F

i° On a (éq. 8, p. o4) tans5 — x = • — ; ;

r ' ■ 2 1 -f- cos x

si l’on demande l’hypoténuse a, connaissant B et C , l’équation (y) devient

tang’ — a

tang’ — o

î — cot B cot C î -j- cot B cot C cos (B + C) cos (B — C )

sin B sin C — cos B cos C sin B sin C -j- cos B cos C ’

On voit, par cette équation, que la somme des deux angles B et C est > 900, puisque le second membre est négatif, et doit devenir positif.

2° De même , pour obtenir un côté b de l’angle droit , connaissant les angles B et C, l'équation (*) donne cos b = C<M J* ;

sin C

- n . , sin z

on pose z = qo° — B, dou cos B == sin z, et cos b - — — — - :

sin C

ainsi l’on a (éq. 1 5 , p. 34)

1 ; sin C — sin z tang^C — z)

,ai>^ 2 sin C sin z lang j ( C -j- z ) ’

*ang ■; b= |/ 1 tang[f(B— C)+45«] .tang[f(B+C)— 45°]j.

3“ Connaissant l’hypothénuse a et un côtéc, pour trouver l’angle adjacent B, l’équation (p) donne

lang’ - B =

i — tang c cot a cos c sin a — sin c cos a cos c sin a -j- sin c cos a ’ sin ( a — c

î -j- tang c cot a

,.og j B y/ g

sin ( a -j- c

On remarquera que les sinus de a — c et a -j- c doivent avoir le même signe, pour éviter les imaginaires ; donc, si a -j- c )> 1 8o°, l’hypoténuse a doit être < c. On voit donc que quand le triangle a des angles obus , l’hypoténuse a n’est pas le plus grand côté. C’est, au reste, ce que la fig. 55 mettra en évidence (n° 87).

4” L’équation (»») donne cos c = — -, d'où ’ co s b

tang’f 0= tang 7(« + b) . tang-j-( o — b ) . . . . (i5)

5° Enfin , si l’on cherche un côté b , connaissant l’angle opposé B et l’hypoténuse a, au lieu d’employer l’équation (n) quand b est voisin de 90°, posez

b — 90° — 2z, tang z==sin a sin B; l’équation (rt) revient à cos iz — tang x , d’où 1 — tang x .

'*< * - T+tog-ï = »»8 («•-») i ainsi tang (45° — b) = j/ tang ( 45° — x ) ( 1 4)

72 * GÉOMORPHIE.

L’arc x étant calculé par l'équation tang x — sin a sin B , cette dernière donnera b.

7 4. Nous donnerons ici les cinq éléments constitutifs d’un triangle sphérique rectangle, afin qu'on puisse s’exercer à l’application numérique des formules, en prenant, à volonté, deux de ces éléments, et calculant les trois autres.

Triangle rectangle d'épreuve.

ÉLÉIESTS.

tôt. SINUS.