sin ». sin ( p — a

cos’ - A = C — , — Al 4

2 sin b . sin c

(*) Comme le premier membre est essentiellement positif , ainsi que sin b et sin c ( attendu que b et c sont 180°), on voit qu'il faut qu’on ail à la fois c <^ £> -t- a, et c b — ■ <7 , puisque les relations contraires sont visiblement absurdes; 011 retrouve donc ici le théorème G", page 6i.

74 ' GÉOMORPHIE.

Enfin , en divisant la première de ces équations par la seconde, sin (p — b ) . sin ( p — c )

tang' - A = a

sin p . sin ( p — a )

L’une quelconque de ces trois équations résout la question.

77. 2" cas. Étant donnés les trois angles A, B, C, trouver le côté a?

La propriété du triangle supplémentaire (p. 65), appliquée aux équations précédentes, par la substitution des valeurs, et posant

donne

sin3 - a

cos P . cos (P — A ) sin B . sin C

1 cos ( P — B ) . cos ( P — C )

cos3 - a = g ,

2 sin B . sin C

1 cos P . cos (P — A )

a cos (P — B) . cos (P — C )

tang1 — a

78. 5° CAS. Étant donnés deux côtés a et b, et f angle compris C , trouver le troisième coté ?

L’équation (4), p. 66 , peut être employée sous cette forme:

cos c = cos a cos b (1 -j- lang a tang b cos C).

Celte formule se prête mal au calcul logarithmique, ainsi que la suivante; mais nous reviendrons sur ce sujet.

79. 4e CAS. Étant donnés deux angles C et B, et le côté adjacent a, trouver le troisième angle A?

L’équation (7), p. 68 , donne

cos A= cos B cos C (tang B tung C cos a — 1).

80. 5' CAS. De deux côtés et les angles opposés, connaissant trois éléments, trouver le quatrième ?

Il faut recourir à la règle des quatre sinus (éq. 5),p. 67.

81. Excepté lorsqu’on connaît les trois côtés ou les trois angles d’un triangle, tout problème de trigonométrie sphérique comprend au rang des données un angle et un côté adjacent, outre un

troisième élément: dans ce qui suit, nous désignerons toujours cet angle par A, et ce côté par h. Abaissons de l’un des angles C (Cg. 55) un arc CD perpendiculaire sur le côté c : ce côté c sera coupé en deux segments y et y', et l’angle C en deux angles 0 et o', savoir :

Bien entendu que F une de ce» partie» »era négative dan» chaque équation, si F arc perpendiculaire tombe hors du triangle, cas qui se présente lorsque F un des angles A et B de la base est aigu et F autre obtus : cet arc tombe, au contraire, au dedans du triangle quand ces deux angles sontde même espèce. En effet , des deux triangles rectangles ACD, BCD, tirons les valeurs de l’arc perpendiculaire CD, par l’équation (r), p. (id,

tang CD = tang À sin ? = tang B sin y.

Si les angles A et B sont de même espèce, leurs tangentes ont même signe ; sin y et sin y' sont donc dans le même cas; mais quand A et B sont d’espèces différentes, leurs tangentes, et par suite sin y et sin y', doivent avoir des signes contraires ; alors l’arc perpendiculaire CD tombe hors du triangle, et l’un des segments y et y' a seul le signe — .

da. Dans la figure 53, on voit que le triangle ABC est décomposé en deux , ACD, BCD, qu’on peut traiter séparément, et dont la résolution fait connaître les éléments non donnés, à l’aide de ceux qui le sont. Ce procédé conduit à des équations simples, auxquelles le calcul des logarithmes s’applique facilement. C’est ce que nous allons montrer.

On résout d’abord les triangles ACD , BCD , pour en tirer l’une des parties y ou 0, du côté c ou de l’angle C, eu supposant connus l’angle A et le côté adjacent b. Les équations ( p et q), p. 68, conduisent aux équations (î et 2). Puis, tirant de chacun de ces triangles les valeurs de l’arc perpendiculaire CD, et égalant ces valeurs , on obtient les équations (5 , 6, 7 et 8), lesquelles viennent respectivement des équations (m, s. r et p).

GÉ0M0RPH1E.

cos a

COS f

cos A

cos b

COS f 9

cos B

sin 9"

tang A

sin f

tang a

cos 9

tang B

si 11 ?

tang b

cos 9' ’

sin A

sin B

sin C

sin a

sin b

sin c

83. Voici les divers cas qui peuvent se présenter, et la manière de les traiter par ces équations, en ayant soin d’ailleurs d'avoir égard aux signes des cos. et des tang. , signes qui sont positifs ou négatifs, selon que ces lignes appartiennent à des arcs < ou 90°.

Outre les données A et h , on a encore un 3e élément.

i° Si l’on connaît 0 { deux côtés b etc, et T angle compris A), l’équation (1) donne y, (3) donne (y'), et ces arcs peuvent recevoir le signe — ; (5) donne a; (7), B; enfin (9), C, dont l’espèce est d’ailleurs connue (nu 8 1 ).

20 Si l’on a C {deux angles A et C, et le côté adjacent b), l’équation (2) donnes; (4), S', qui peut être négatif; (6), B; (8), a ; (9), c’ (IU* est d’espèce connue.

5° Quand on connaît a ( deux côtés a e<b, et f angle opposé A), l’équation (i) donne y; (5), y'; (3), c; (7 et 9), B et C.

Ou bien, (2) donne 9; (8), S';(4), c; {G et 9), Bet c.

Dans ce cas, le problème a en général deux solutions ; car, y' ou S' étant calculé par un cosinus, l’arc a le double signe ±; c et C ont donc deux valeurs, à moins qu’on ne soit conduit à en rejeter une comme négative, ou 1800. Les équations (6 et 7) donnent y' et $'par leurs sinus, et il en résulte deux valeurs de B; de même pour C et c.

4° Quand 011 connaît B {deux angles A et B, et le côté opposé A), l’cquation (2) donne 9; ((>), 9'; (4), C; (8 et 9), a et c.

O11 bien (1) donne y; (7), y'; (3), c ; (3 et 9), a et C.

Il existe encore ici deux solutions; car, y' ou 9' étant donné par un sinus , l’arc a deux valeurs supplémentaires ; ainsi, c dans l é-

TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE, quation (3) , et « dans l'équation (8) , reçoivent deux valeurs : de même pour a et C dans (5 et 4) , etc.

Observez que , dans chacun des quatre cas que nous venons d’analyser, on ne se sert que des équations marquées de numéros soit pairs , soit impairs; et lorsqu’on a le choix des deux systèmes, on préfère celui qui conduit à des calculs plus simples ou plus précis.