Voici plusieurs conséquences importantes (fig

... . ... , cos b — cos a cos® — cos®'

i° L équation (5) donne — ; :

cos b cos a cos y cos y

et en vertu des éq. 1 1 et 1 2 , p. 34 , comme c = y - j- y', on a tangf — y) = lang | (a-\-b) . lnng-j-(« — A).cot^c . . . (îo)

Connaissant les trois côtés a, b, c, d’un triangle, cette équation fait connaître la demi-différence des segments y et y , et par suite ces segments mêmes, puisque f c est leur demi-somme. En résolvant les triangles rectangles ACD,BCD, on obtient les angles A et B, savoir :

cos A = tang y cot b. cos B = tang y' cot a. .. . (t î) •i" L’équation (7) donne, de même ( voy . éq. i4 et 1 5 , p. 34) , tang A — tang B sin y' — sin y tang 7 ( y' — y )

tang A -J- tang B sin y' -j- sin y tang 7 ( y' -j- y ) *

. , . , sin ( A — B ) , , ,

|a~gr( ? — r) = sia(A+B) •*aDg ; c- • • • • 00

Quand on connaît deux angles A , B et le côté adjacent c , cette équation donne y et y' (fig. 53); les équations (i i) déterminent ensuite a et b.

3° L’équation ((>) donne, en opérant de la même manière,

tang-j(iS' — ô)= tangT-(A-j-B) . tang (-(A — B) . tang^C. . .(i<5)

Lorsque les trois angles A, B, C, sont donnés, cette équation fait connaître 6 et 5',- on a ensuite les côtés a et b, en résolvant les triangles ACD, BCD;

cos b = cot 0 cot A, cos a = cot d cot B. . . . (i4)

GEOMOllPlIIE.

4° Enfin, l’équation (8) donne , de même,

tang { ( fl' — fl )

sin ( a — b)

-t— 7 r-^ . cot

sin( a h)

(lô)

Connaissant deux côtés a, b, et F angle compris C, on obtiendra «et fl', puis A et B par les équations (i 4).

85. Les équations que nous venons d’établir servent à démontrer les théorèmes connus sous le nom à' analogies de Néper. Égalons les valeurs ( i o) et ( 1 2) de tang ( y' — y ) ; nous aurons , à cause de sin 2a — 2 sin a cos a ,

,, .s „ sin^A— B).cosKA— B) , ,

t™Sr{a+i) • la"8>-t)-8i„HA+8).CM;(A+li)' < ' 6>

. ... sin a — sin A sin A — sin B

Or, l’équation (q) donne — : — : — T = — — — : — : — —,

’ 1 - 1 ’■ smA-j-sinB

tang { ( A — B )

d’où ( 1 5, p. 34)

sin a -|~ sin b

tangua — A)

tangi(a-j-A) tangi( A -f- B )'

Multipliant l’équation (16), membre à membre, par cette dernière, tous les facteurs qui ne sont pas détruits sont au carré; prenant la racine, il vient

tang ‘-(a — b)

et tang-i (a-f-A)

sin ’ ( A — B ) sin {• ( A -f B ) cosi( A — B) cos r ( A -f- B )

tang j c, tangi-c(*),

en divisant l’équation (i 6) par la précédente.

Égalons les valeurs (iâ et i5) de lang-j-( fl' — s), et opérons de la même manière sur l’équation résultante, ce qui revient à

(’) Comme laog | c . cos. Î(A — B) e»t une quantité positive, il faut que

tang | ( a -t- b) et cos | ( A-t-B ) aient même signe , d'où l’on conclut que ta

demi-tomme de deux angles quelconques est toujours de la mime espèce que la demi-somme des deux côtés opposés, et réciproquement.

changer A et B ci-devant en a et A , et réciproquement , puis c en C; nous avons

tang H A — B) = tang-H A + B) =

sin ( a — A ) sin 7 ( a -j- b ) co s ( « — b ) cos ~ ( a -{- b )

COt 7 C , f

}••• (*«) cotj-C, I

Telles sont les analogies de Né per : on s’en sert principalement pour trouver deux côtés a et A d’un triangle, lorsqu’on connaît le oe côté c et les deux angles adjacents A et B (éq. 1 7) , ou bien, pour trouver deux angles A et B, connaissant les deux côtés opposés a, b, et l’angle compris C (éq. 18).

Triangles isocèles.

86. Soient C et B les deux angles égaux d’un triangle isocèle (fig. 54), A et c les deux côtés égaux, A l’angle du sommet, a la base; l'arc perpendiculaire qui va du sommet au milieu de la base , forme deux triangles rectangles symétriques , dans lesquels on trouve les relations suivantes, formées des combinaisons 5 à 5 des quatre éléments A, B, a, A ,• ces équations font connaître l’un quelconque de ces arcs, quand on a les deux autres. Ainsi, de ces quatre parties et un triangle sphérique isocèle , t angle A du sommet, la base a , r«»b des côtés égaux , et F un B des angles égaux, deux étant données, on peut trouver les deux autres.

sin 7 a — sin ~ A sin A, . . . . (w)

cos A = cot B cot 7 A , . . . . (ÿ)

tang 7 a = tang A cos B, ... . ( p )

cos j A = cos ) a sin B , . . . . (#)

Des problèmes qui ont deux solutions.

87. Tout triangle sphérique résulte de la section d’une sphère par trois plans qui passent au centre. La figure 55 a pour base le cercle KMK', et représente un hémisphère produit par l’un de ces plans : les deux autres plans donnent les demi-circonférences AC«, BCB"', qu’on voit ici en perspective ; leurs plans se coupent

N> CÉOMORPHIE.

selon le rayon CO, et déterminent le triangle sphérique ABC. Les arcs CA, Ca, sont supplémentaires; l’angle A est l'inclinaison du plan ACa sur la base KK'. En menant le plan MCm» , par le rayon CO , perpendiculairement à cette base KK', puis prenant MA' = MA , de part et d’autre de ce plan MCwi, on obtient un deuxième plan A'Ca' symétrique à AC», et l’on a

Ml a = Ma, AC = AC, Ca = Ca’, A = A' = a = a.

Si l’on fait tourner le plan ACa autour du rayon CO, pour prendre toutes les positions CK , CB, Cf, ... ce plan sera perpendiculaire à la base quand il coïncidera avec MCmi ; puis, dans l’une quelconque de ses positions, il formera avec la base deux angles supplémentaires, l’un en dessous, l’autre en dessus de ce plan. Les arcs CB, CA,C f, . . . croissent en s’écartant de l’arc perpendiculaire CM = ^, qui est le plus petit de tous, jusqu’à l’arc perpendiculaire opposé Cm , qui est le plus grand. En effet, le triangle rectangle ACM, où CA = A, donne

cos ACM = cot h tang i, ,

et le facteur tang est constant.

Quand l’angle ACM est devenu de 90", comme pour l’arc CK' , dont le plan est perpendiculaire à MCm , on a cot b = o, et l’arc CK = 90°. Le plan continuant ensuite de tourner vers Ca', cos ACM devient négatif et croit ainsi que cot h ; en sorte que l’arc Ca continue d’augmenter. Tout est d’ailleurs symétrique des deux côtés du plan MCm ; ainsi les arcs et les inclinaisons seront deux à deux égales, pour des arcs égaux MA = MA', savoir CA = CA', angle A = A'.

En tournant ainsi, le plan coupant s’incline d’abord de plus en plus sur la base KMK',eu devenant CB, CA, CK, car le triangle rectangle ACM donne encore

sin \f/ sin b sin A , . . . . (16)

équation dont le premier membre est constant, et où sin b va d’abord en augmentant, comme on vient de le dire : ainsi sin A décroît en même temps. Mais, dès que le côté b atteint 90° (alors CB devient CK = 90” = MK) , sin b diminue; donc sin A aug—

mente, et l'angle A, aigu à la base, a pris sa moindre valeur au point K, et commence à croître. Ce point K est le pôle de la demicirconférence MCm ; l’angle K est mesuré par l’arc CM = ^ = K, ou, de l’autre côté du plan coupant, par Cm = 180“ — ÿ.

On voit donc que tous les arcs partant de C (fig. 55) pour aboutir en quelque point de la base demi-circulaire KMK', sont < 90°; tandis que les autres qui vont en KmK' sont )> 90°, et que CK = CIC' — 90°. De plus , CM = 4>, et Cm = 1 8o° — ÿ (valeurs de que donne lequalion j 6) , sont les limites entre lesquelles ces arcs CA sont renfermés. Plus un arc approche de CM, et plus il est petit ; plus il approche de Cm, plus, au contraire, il est grand.

L’inclinaison des plans sur la base, de 90° quelle est en MCm , diminue en prenant les positions CB, CA, . . . jusqu’en CK où elle devient K = ^ ; puis elle croît de K vers m , jusqu’à redevenir de 90° en Cm. L’angle est aigu du côté de CM, mais il est obtus du côté de Cm , ces derniers angles étant suppléments respectifs des premiers : tous ces angles obtus sont 180° — 4>.

Enfin, tout est symétrique de part et d’autre de MCm, en sorte que, pour deux arcs égaux MA et MA', les inclinaisons de CA, CA', sont égales , et ces arcs sont égaux.

D’après cela, il est aisé de reconnaître si, pour un triangle quelconque BCA, ou B'CA, l’arc AM, perpendiculaire sur la base AB, tombe au dedans ou au dehors de ce triangle, et l’on vérifie les corollaires donnés n° 72, relatifs aux grandeurs des côtés et des angles des triangles rectangles.

Les problèmes qui ont des solutions doubles, et qu’on a coutume d’appeler cas douteux, sont ceux où, parmi les données, il y a un côté et l’angle qui lui est opposé, ce qui arrive dans deux problèmes 3° et 4°, p. 76.

88. icr cas. On donne deux côtés a et b, et F angle opposé B.

Coupez l’hémisphère KMK' (fig. 55) par un plan AC*, passant par le centre O, et qui soit incliné de l’angle A sur la base ; puis prenez AC — b; C sera le sommet du triangle, lequel doit être fermé par un arc CB — a, de grandeur connue. Analysons ces conditions.

GtODÊSTF.. 0

8â GÉ0M0RPI1IE.

Supposons d’abord que Y angle A toit aigu, CA = h est l’un des côtés du triangle que ferme le côté a qui doit tomber dans la région aA'MA , puisque si le côté a tombait comme Cf, C a, . . . le triangle CAf, CAa\ ... au lieu de l'angle aigu A, aurait celui qui, de l’autre côté du plan CA, en est le supplément. Ce côté terminal a, partant du sommet C, doit donc se rendre en quelque point de l’arc AM A'a. Les arcs, tels que CB, CB', sont deux à deux égaux et autant inclinés sur la base, lorsqu'ils vont en des points B, B’, à égale distance de M. Prenons MA' = MA, MB’ = MB, les arcs seront CA' = CA = b , CB' = CB.

Or, si le côté a est < A, a tombe dans l’angle A'CA, comme CB , CB', et l’on a deux triangles BCA , B'CA , composés des trois éléments donnés A , b et a, c’est-à-dire deux solutions du problème. Alors l’un des angles B à la base est obtus, l’autre B' est .ugu. Au contraire, si a > b, l’arc a tombe comme Cf, et le triangle AC/-' est le seul qui réunisse les trois éléments donnés, attendu que l’arc Cf symétrique à Cf, se trouve exclus, comme étant situé au-dessus du plan CA. Il n’y a donc qu’une solution , et l’angle B du triangle AC f est aigu en f, ainsi que b. Enfin, quand le côté a ]> Ca — i8o° — b, l’arc a tombe comme CB'", en dessus du plan AC«, et il n’y a aucune solution possible.

Dans tout ceci , l’arc b < 90°, puisqu’on a pris CA = b : mais si l’on avait b — C* > 90°, et que le côté a tombât commeCB ou CB', on aurait encore deux solutions BCa, B'Ca, ayant à la base, l’un l’angle B aigu, l’autre l’angle B' obtus : tandis qu’on n’en aurait qu’une seule aCf, si ce côté a tombait en C/”dans l’espace A Ca, avec un angle f obtus aussi bien queô .- enfin , il n’y aurait aucunesolution, si ce côté o tombait en CB'" au-dessus du plan ACa.

Ainsi, quand l’angle A est aigu, b étant > ou <[ 90°, il n’y a qu’une solution, lorsque le côté b tombe dans l’espace aCA', c’està-dire quand la valeur de l’arc a est entre b et 1 8o° — b : et alors l’angle à la base est aigu ou obtus avec b. Hors de ces limites , il y a deux solutions, ou il n’y en a aucune : deux, quand a tombe sur l’arc AM A', circonstance où a 90°; aucune, quand a tombe sur l’arc a»»«'. où a go°.

Venons-cn maintenant au cas où Y angle A est obtus , cas où

le côlé a qui ferme le triangle , en partant de C , doit être audessus du plan aCA, tels que Cf, CB" ... Le même raisonnement montre que si « = Ca > 900, et si le côté terminal a tombe dans l’espace aCa', il y a deux solution s, telles que æCB", aCB"', ayant à leur base , l’une un angle B"' aigu , l’autre un angle B" obtus : qu’*7 n’y en a qu’une seule KCa, quand ce côté a tombe, comme ci-devant, dans l’angle «'CA, l’angle K à la base étant aigu ou obtus en même temps que h; et enfin qu’il n’y en a pas de possible, lorsque a tombe sur l’arc A MA.

On opérera de même pour le cas de a = CA <[ 90°.

Que l’angle A soit aigu ou obtus , on voit donc que la solution est unique , quand le côté terminal a , opposé à l’angle donné A , a sa valeur entre b et 180° — b ; hors de ces limites, la question admet deux solutions ou aucune : deux, quand A et à sont de même espèce ( ensemble > ou < 90° ) , et aucune , lorsque ces arcs sont d’espèces différentes. Et s’il n’y a qu’une solution, B et b sont de même espèce. Or, on sait(n° 81) que la perpendiculaire abaissée du sommet C sur la base c tombe au dedans ou au dehors du triangle (ce que d’ailleurs on reconnaît bien sur la figure 55), selon que les angles A et B, à la base, sont d’espèces semblables ou différentes; donc, dans le* équations c = f ± /, C = 5 ± on prendra le signe -|- quand les arcs A et b seront de même espèce, et — dans le cas contraire, condition qui détermine la solution. L’analyse du troisième cas du n° 83 est ainsi complétée, puisqu’on sait quelle est celle des deux solutions qu’on doit admettre.

Donc, lorsqu’on aura un triangle à résoudre, connaissant deux côtés a , b, et un angle opposé B , on comparera a à b et à 1800 — b; si a est F une de ces limites ou compris entre elles, il n’y a qu’une seule solution : B et b sont de même espèce ;C«(u seront la somme ou la différence de leurs segments , selon que les arcs A et b seront d espèces semblables ou différentes. Hors de ces limites, on a deux solutions , quand A et a sont de même espèce, et aucun triangle n est possible dans le cas contraire.

Observes que la moindre et la plus grande valeur que le côté terminal a puisse recevoir sont CM et Cm, l’une -b, l’autre

81 GÉOMORPÜIE.

1 8o° — \p ; ai a n’était pas compris entre ces limites , c’est-à-dire entre les deux valeurs supplémentaires de \p que donne l’équation (i(J), p. 80, le problème proposé serait absurde, parce qu’on ne pourrait former aucun triangle avec les trois éléments donnés A, b et a. Au reste , ce cas n’exige pas de calcul spécial pour être reconnu, attendu qu’il se manifeste de lui-méme par une opération impraticable.

89. 2e CAS. On donne deux angle s A et B, avec un côté opposé b.

En raisonnant comme ci-dessus, on arriverait à unç conséquence qu’on obtient plus facilement par la considération du Iriangle supplémentaire A'B'C' (fig. 48, n° 65). On y connaît les côtés à = 1 8o° — A, b ' — 1 8o° — B, et l’angle B' = 1 8o° — b: et il suit de ce qu’on vient de dire que ces éléments appartiennent à deux triangles dont un seul convient à la question, quand b', côté opposé à l’angle B', est compris entre «' et 1 8o" — à ; ou, ce qui équivaut, quand B est entre A et 180° — A (en retranchant chaque arc de 180“). Alors A et a doivent être de même espèce j C et c seront la somme ou la différence de leurs segments , selon que les arcs A et à seront d’espèces semblables ou différentes.

Ainsi, lorsqu’on voudra résoudre un triatigle où A, B et b, seront donnés , on comparera B à A et 1 8o° — A ; si B est l'un de ces arcs ou intermédiaire entre eux, il n’y aura qu’une seule solution ; A et a seront de même espèce: dans les équations C = fl dt fl', c = y db f, on prendra le signe -j- quand les arcs A et b seront de même espèce, et — dans Vautre cas, ce qui apprendra quelle est celle qu’on doit adopter ou rejeter des deux solutions que donne le calcul n" 83 * 4°. Hors de ces limites , il y a deux solutions, quand B et b sont de même espèce, et aucune lorsque ces arcs sont cV espèce différente.

En outre, l’angle B doit être compris entre les deux valeurs supplémentaires de données par l’équation (16) ; car, sans cela , on ne pourrait former aucun triangle avec les données, et le problème serait absurde.

90. Quand le triangle est rectangle , CM ou Cm (fig. 55) est l’un des côtés, et si l’on donne un angle et un côté opposé, il y

a deux solutions qui se réduisent à une seule dans certains cas.

i° Étant donnés l’hypoténuse a et un côté b, trouver l’angle opposé B? L’équation (n), p. 68, fait connaître B par un sinus, qui répond à deux arcs supplémentaires. De même, étant donnés l’hypoténuse a et l’angle B , trouver le côté opposé b? La môme équation donne deux arcs supplémentaires pour le côté opposé b. Mais, dans ces deux cas, on n’admet qu'une seule solution , parce que les deux arcs CA ou CA' qui ferment le triangle CMA , CMA', sont symétriques : ainsi B et A sont de même espèce , et il n’y a plus d’indécision.

2° Étant donnés un côté b de l’angle droit et l’angle opposé B, la troisième partie cherchée admet deux valeurs : car, si l’on demande l’hypoténuse a , l’équation (n) donne sin a ; si l’on cherche le troisième côté c, l’équation (r) donne sin c ; enfin, pour trouver l’angle C adjacent au côté counu b , l’équation (#) donne sin C. Ainsi l’inconnue reçoit deux valeurs supplémentaires pour l’arc correspondant à chacun de ces sinus.