ELLIPSOÏDE DE RÉVOLUTION
Dans cette expression , facile à développer en série convergente ,
on trouve , a cause de — = i ,
ip* 2p — [
Il est commode de résoudre en table cette formule, afin d’y trouver , pour toutes les latitudes l, la valeur correspondante de l’arc i.
1 80. Quoiqu’on fasse rarement usage du rayon p de courbure de l'ellipse au point M , nous donnerons la valeur de ce rayon [Cours de Math., n" 735)
en faisant e' — K1 — BJ=AV. Donc, à cause de Ba = AJ(i — eJ), on a
ÿ( Aa — eaa?'J)3 A r e1 cos1 1 "ji
A1 i/i — a3 ~ j/V — e‘ L1 i — sin1 l J ,
d’où
( i — é1 sin î/)r
i B i . Soient G et H (fig. 8o) deux stations , dont la distance GH — f; la normale N = GI. Le petit arc terrestre <p se confond sensiblement avec l’arc de cercle GH, décrit du centre I. Du rayon IL = i , traçons l’arc LO — a. Ici a, y, N sont rapportés à la même unité de mesure IL (mètre , toise. . .).
On a i ; a 1". N : y,
d’où y = No = N (a") sin i",
en désignant par (a") le nombre de secondes du petit arc a (p. 36); A désignant toujours le demi-grand axe , on a
y |/( i — e ’ sin’ / ) = Aa = A(a") sin i",
GÉ0S0RPII1E.
en mettant pour N sa valeur (6). Développons le radical
f \/ 1 — e 3 sin3 / A sin i"
a = (a") sin î" ,
A sin i"
— e’sin’f — — e1 sin1 / .
f = Ao ( i -{- ^ «’ sin3 / -J- 7 a5 sin4 /...).
Comme e’ est une petite fraction , ces séries sont très-convergentes; elles eervent à traduire les arc* terrestre s en seconde* de degrés , et réciproquement les nombres de secondes en distances itinéraires, a est la longueur de l’arc semblable à j>, mais décrit avec le rayon 1 .
182. Développons selon les puissances de e3 nos autres expressions. Le rayon R (fig. 78) s’obtient d’abord, en négligeant le 5e ordre.
R = A/(T — 2 e’sin3/ -J- «'sin3/) (i -f- e’sin3/ -f- e^sin4/ ) = A |/( 1 — e’sin3/ -j- «4sin3/ cos ’/)
= A [1 e’sin3/ -L-J-c'ain3/ (4 — 5 sin3/)]
en développant la puissance -j- du trinôme. Celle série exprime la longueur du rayon terrestre pour le lieu dont la latitude est / ;
A est le rayon de l’équateur , e l’excentricité , — l’aplatissement.
Lorsqu’on néglige les e < ou p7, on a e’ = — (éq. 2) , et A sin3/ A
A — K = = — (1 — cos 2 / ). . .
C’est r excès du rayon de F équateur sur tout autre rayon terrestre. On réduit aisément cette expression en table, d’où l’on tire le rayon R à toute latitude / ; mais il faut connaître A et p. En conservant p7, on trouve
5 sin’ 2/^
ELLIPSOÏDE de révolution.
Au reste , ce dernier ferme est ordinairement négligeable.
i83. On développe de même la normale N, le rayon x de parallèle , le rayon p de courbure (fig. 78) :
N = A(i — e'sin’J) ’ — A ( 1 -f- |e’sin,/-]~ j-e^sia'd) (11) x' = N cos l — A cos / ( 1 -J- 4 «’sin3/ , etc. ) (12)
P — A(i — e’) (1 — e’sin7) ’ = ^ (i3)
== A( 1 — e’ ) j 1 — }— |- e’sin5/ e'* sin'1/ j. (i4)
184. Observez que le zénith de M est en Z (fig. 78) sur le prolongement de la verticale NM ; mais si l’on suppose un spectateur placé au centre C, il voit le point M dans la direction CMH, et H est appelé zénith vrai ou géocenlrique , pour le distinguer du point Z, qui est le zénith apparent. De même l’angle MNV est la latitude /, qu’on distingue de l’angle MCA, qui est appelé la latitude géocenlrique : l’angle CMN = HMZ = i, que fait la verticale avec le rayon terrestre, est la différence entre ces deux latitudes. Ces grandeurs entrent dans les calculs astronomiques , et nous avons donné (n° 1 78) des relations analytiques entre elles.
185. Désignons par s la longueur d’un arc de méridien terrestre , portion d’une ellipse. En différentiant l’éq. (4) on trouve
dx = — A .
( 1 — e’ ) sin ldi ( 1 — e1 sin1 1 )t
et comme , dans le triangle infinitésimal M»io , on a Mm, ou
de —
dx
sin l’
il vient
de = A
(1 — e1 ) dl ( 1 — e’ sin1 l y
dl. .
Développons en série la puissance — 7-, mais ne poussons d’abord
174 GÉOMORPHIE.
les calculs que jusqu’aux e' ; nous avons
dt = Adl ( i — e’ -J- j- ÿ1 sin’ / ). . . . (17)
Celte éq. donne approximativement la distance itinéraire dt entre deux lieux voisins, sur un méridien, dl étant la différence de leurs latitudes : on prend pour l la latitude du milieu de celte petite distance. Pour en faire usage , il faudrait connaître
A et e’, ou l'aplatissement -. Réciproquement celle éq. peut
donner l’une de ces constantes , lorsqu’on a mesuré dt. C’est ce qui va être expliqué.
186. Mais avant, remarquons que l’éq. ( 17 ) a la forme dt = K -j- H sin’ l ; K est la valeur de dt à l’équateur , où f=o; dt — K -, ainsi dt — de = H sin’ l; donc les degrés du méridien croissent en allant de l'équateur au pâle; et les accroittemenlt sont proportionnels aux carrét det sinus de la latitude.
Le même théorème a pareillement lieu pour le rayon R, la normale N , et le rayon de courbure p.
187. Prenons, en deux contrées, les longueurs dt et dt de deux arcs de méridien , sous les latitudes l et I, et tels que leur différence eu latitude des deux extrémités soient les mêmes , dl — dl ; par ex. , prenons deux arcs de un degré chaque , dl = dl = arc de i°. L’éq. (16) donne
d’où
dt 1 — -f e‘ sin3 r
fis’ 1 — 4 e’ sin’ l 5
, 2 dt — dt
3 " dt sin3 1 — dt sin’ l
Ainsi, ayant mesuré les longueurs dt et dt de deux arcs d’un degré de méridien aux latitudes l et t, cette formule fera connaître e %
et l’aplatissement — .• on obtiendra ensuite le rayon équatorial A
par l’éq. (16), où celte constante est seule inconnue. On a
A= — (1 — «"sin’f)’ — ^-e’sin l . . ,
A — dt | i a — 3 sin3 / ) -}- e' ( i — -4-sina / -|-sirx'* /) j -
ELLIPSOÏDE de révolution.
Tous les éléments du sphéroïde terrestre seront donc connus , et nous pourrons en introduire les valeurs numériques dans nos éq. , afin de vérifier si elles satisfont aux observations , et confirmer ou détruire la supposition que tous les méridiens sont elliptiques et que la terre est un sphéroïde de révolution.
188. Nous appliquerons celte théorie à un exemple. Le tableau suivant est extrait de la Mécanique céleste , et d’un travail de M. Airy, inséré dans X Encyclopédie métropolitaine : les mesures géodésiques qui sont données dans ce tableau sont celles qu’on regarde généralement comme étant les plus dignes de confiance. Nous avons marqué d’un * les nombres de M. Airy.
LOirCOCUK DK l’abc DI 1°||
