On peut d’ailleurs chasser d et l des éq. B et C; car

cos l — cos ( l — d ) = cos l cos «/ ( 1 —J— tang l tang d ) ,

substituons dans l’éq. (B) , P cos T — a sin z ; mais faisons tang d = d , cos d— 1 , attendu que voulant nous borner aux 2” puissances de a qui est déjà facteur, il ne faut admettre dans

GÉOMOIU'HIE.

leq. (A) que le ior terme d — a cos z : ainsi ,

» »/t» , , a sin z , , , , ~ 1

cos 1 = cos l ( 1 d tang l ) , P — — — — ( 1 ~r “ tang ' ) >

a sin z .

co s l

— d tang l )

asm:, ,,

— ( 1 — a cosz tang/ ) ,

cos l

a sin z 1 . „ . tang l

et P = d1 sin 1 sin iz . ,

co s l .1 co s l

en exprimant a et P en secondes.

La fraction de l’éq. (C) est == sin / — cos / tang 7 d, ou = sin / — frf sin 1" cos l, par la même raison que ci-dessus , ou = sin l — -fa cos z cos l sin 1" : multipliant par la valeur (B') de P, on trouve enfin

z'= 1 8o° — z —J— a sin z tang l — f a’ sin 1 "sin 2z(i-|-2 tang’/)...(C')

a et les deux derniers termes sont exprimés en secondes.

222. Jusqu’ici nous avons regardé la terre comme sphérique; restituons la forme ellipsoïdale. Désignons, comme ci-devant, p. 1 67 , par e le rapport de l’excentricité au demi-grand axe A , par N la normale en M (fig. 85)

y 1 — e% sina l

la normale en M' est N' ; Z et Z' sont les zéniths des deux stations sur les prolongements de leurs normales.

Or, concevons une sphère dont le centre serait en N , et qui aurait MN pour rayon. Le plan passant par N, M et M' coupe cette sphère selon un arc de cercle qu’on peut sensiblement regarder comme ayant même longueur que MM'= f, quoique sa position soit un peu différente. En effet , l’arc MM' est toujours très-petit, et l’on voit par la valeur de CN (n° 177) qui est de l’ordre e1, que cette hypothèse est tout à fait admissible. Quant au nombre de secondes a de l’arc ? , nous en avons donné la valeur n° 181. Nous ferons bientôt une application de celte formule. '

La sphère dont il s’agit ici est NpMM'; les plans méridiens NMP, NM'P, conduits par l’axe et les deux stations, coupent sa surface selon des arcs de cercle pM , pM', et forment le triangle sphérique pMM' pour lequel tout ce qui a été dit ci-dessus sera vrai.

Observez cependant que les zéniths Z et Z' des lieux M et M', sont sur les prolongements des normales différentes NM, N'M' , qui sont les verticales de ces stations : ces normales ne concourent pas. On peut bien assimiler MM' à un arc de cercle en ce qui concerne sa longueur, mais non plus quand on a égard à sa forme et à sa direction.

En M , la latitude astronomique , ou la hauteur du pôle est l’angle MNV = l; celle de M' est M'N'V' = L, qui diffère de M'N Y appelé ci-dessus t ; L et l sont les compléments des angles pN'M' et pNM. L’angle NM'N' = * est formé par la normale M'N' avec M'N; quoique très-petit, il n’est pas négligeable.

Menant Ni parallèle à M'N', on voit que t = L -j- * .

Nous avons fait précédemment d—l — l ; mais ici d n’est plus la différence des latitudes des deux stations , puisque celle de M' est L, et non pas I. Soit D = l — L , différence des latitudes sur le sphéroïde , on a

Ainsi , pour avoir D , puisque d est connu , il ne s’agit que de trouver la valeur du petit angle et de l’ajouter à la valeur trouvée pour d par l’éq. (A)-, dans le cas où la terre est censée sphérique. On connaîtra ainsi la différence D des latitudes sur le sphéroïde. Le triangle NM'N' donne

sin <