CN — CN' NM
X cos L,
sin *’=«’( sin l — sin L ) cos L;
car, on a (n° 177) CN = Ne2 sin l, CN' = NV sin L; les normales N , N', ainsi que NM' sont sensiblement égales; on trouve donc, d’après l’éq. (10), p. 34,
206 GÉOMORPH1E.
sin i— 2e’ sin | (/ — L)cosŸ(/-}-L) cosL= 2«’ sia d cos’/, parce que le pelit facteur e* permet de remplacer l — L par l — t = d, ainsi que L par /, d'où / L = il, donc
*==«’</ cos1 l, d -J- % ou D = d ( i «’ cos1 / ).
On voit donc que pour avoir égard à la forme ellipsoïdale de la terre, il suffit de multiplier le 2* membre de l’éq. (A ou A') par ( i e1 cos1 /), lorsqu’on veut obtenir la différence de latitude des stations :
D = ( a cos z -j «* sin i" tang / sin1 z ) ( i «’ cos1 / ). . , (A")
Ce qui revient à calculer la quantité d par l’éq. A' comme si la terre était sphérique, puis à ajouter au résultat le produit de cette valeur d par e’ cos1 1 , qui est la correction sphéroïdique , savoir D = d -j- d«% cos1 1. D et a sont ici exprimés en secondes , ainsi que la valeur du a” membre ; et l’on a
a25. Quant aux éq. B et C, ou B' et C', elles n’exigent aucun changement pour avoir égard à l’excentricité; car, d’un côté, l’angle P formé par les plans pM , pM', est le même que celui des arcs d’ellipse PM, PM'; et de l’autre, la correction que devrait subir l’azimut z serait du 3e ordre et négligeable. Voy . le Syst. métr., T. II, p. 672.
224. Donnons un ex. de l’application de nos éq. En P (fig. 83) est le Panthéon, dont on connaît la latitude l, et l’azimut z de l’arc PD qui va à Dammartin D (T. II du Mémorial du Dépôt, p. 4i6), ainsi que celle distance PD = y = 33494m,32 ; log — 4.5249711;
Ces données diffèrent de celles du Système métr. , parce que le clocher de Dammartin ayant été abattu, on a dù établir un autre signal.
Prenons l’aplatissement - — — , p. 1 86; on a donné les valeurs 309,65 1 '
de «’ et A. Réduisons le côté a en secondes du cercle dont le rayon est la normale N , parla formule p. 171.
tin1/.
. . 0,00365589. . . C tin 1" . .
1— e’tin1/.
Nombre de secondes de y. . .
Calcul de la latitude L de Dammartin (êq. A", p. 206).
cos a . . .
0,5. . . . 1.69897 cos1/ . .
tang /. . . 0.05849 745,97 .
tin’z . . . 7.71766 —2,083.
tin 1". . . 6.68557
Latitude de Dammartin
Calcul de la diff. P des longitudes (éq. B',
sina .
cot /.
tin 2z
tang /
tin 1"
cos /
P = 19'59",18 long, de Dammartin.
Calcul de l’azimut z' du côté PD
, sur l'horizon de D (éq. C', p. 204).
sina . . .
..7.8588305 tin 2 x .
tang / . .
. . . 2.9513108 tin 1".
lang1 / .
GÉOMORPH1E.
Distance entre les lieux dont on a la longitude et la latitude.
aa5. On donne le nom de ligne géodésique à celle qui est la plus courte dislance entre deux points de la surface terrestre; mais à moins que ces points ne soient sur l’équateur, ou sur un méridien , cette ligne est une courbe à double courbure. En joignant au pôle les deux extrémités par des méridiens, on forme un triangle sphéroïdique, dans lequel on connaît les deux arcs de méridien, colatitudes des stations, et l’angle au pôle qui est la différence de leurs longitudes : il s’agit donc de résoudre ce triangle pour en déduire la distance des stations et les azimuts de la ligne géodésique.
Ce problème, considéré dans sa généralité, présente de grandes difficultés. Ce même triangle géodésique donne encore lieu à un grand nombre d’autres questions, selon qu’on varie les données prises dans ses six éléments. Tous ces problèmes forment une doctrine qui a fait le sujet des travaux d’Euler , Legendre ( voy . les Mém. de VAcad. des Sciences , en 1806, etc.). Dans ses E/e— menti di trigonometria spheroidica , Oriani a résolu ces problèmes. M. Puissant, dans sa Géodésie, son Essai sur la Trigonométrie sphéroïdique et la Conn. des Tems de i832, s’est occupé de ces recherches avec le soin et le talent qu’on reconnaît dans tous ses ouvrages.
Mais ces travaux , utiles comme exercices d’analyse , ne le sont guère pour la géodésie ; car , outre que les formules sont trèscompliquées, à quoi peut servir de connaître la plus courte distance de Paris à Pétersbourg , puisque mille accidents de localité forcent d’allonger la route d’au moins un quart? Nous ne croyons donc pas devoir nous arrêter sur ce sujet.
Mais lorsqu’on compare ensemble deux stations voisines , telles que les sommets de l’un des triangles du réseau , il peut être trèsutile d’en connaître la distance exacte y , d’après leurs latitudes et longitudes ; c’est d’abord un moyen de vérification des calculs ; mais en outre, il peut arriver qu’on veuille lever la carte d’un pays sans avoir les moyens de mesurer une base, opération toujours
très -longue et d’une difficile exécution. Les localités s’opposent même souvent à ce qu’on puisse effectuer cette mesure. Alors on peut faire des observations astronomiques du haut de deux sommités pour en connailre les latitudes et longitudes ; et ensuite on obtient, par le calcul, la distance réduite au niveau des mers.
226. Voici la solution approchée de de Zach [Corresp.Aslron^ T. IX, i8‘i3 , p. 32i, 4 1 7 et 509). Nous avons donné (éq. 20, p. 181) la longueur H de l’arc d’un degré du méridien; nous avons appliqué celle formule au cas de p — 309, 65, p. 187 : nous avpns aussi trouvé la longueur de l’arc de d degrés de parallèle à la latitude /. Appliquons ici ces formules.
P (fig. 83) est l’une des stations , D est l’autre , PD = y la distance demandée; PI le parallèle, l'arc PI ayant un nombre p de degrés de longitude; DI = M est un arc de méridien de m degrés , m étant la différence des latitudes. Or , si 36oo" ont pour longueur H, ou d, mou p secondes sont longues de
M = ? = -tL
3 600 ’ 36oo ’
d’où l’on tire pour F arc de m secondes de latitude , en mètres , M — m [3oœ, 86645 — G cos ( 2/ —J— 1° ) -J- y cos 2 (2/ x° )] ,
et pour F arc de p secondes de longitude , en mètres , log P = 1 ^goi 902 -]- log p -f- log cos / -|- I sin’ / -J- K sin4 1, log G = I . 175461 I , log J = 4.4782237,
log I = 3 . 1 462 1 1 5 , log K = 6.6546587.
On prend pour valeur de / dans ces éq. la latitude moyenne entre les latitudes des deux stations.
Le triangle PID est infiniment peu courbe. Si on le suppose étendu sur un plan , les côtés conservant leurs longueurs respectives, on aura un triangle rectiligne et rectangle; faisant l’angle azimutal D égal à z, on aura
P — M tang z , M = f cos z , P = y sin z ;
dou tang z = — , .
Ces éq. achèvent la solution.
M P cos z sin z*
210 GËOMORPIHE.
227. Appliquons cette théorie à l’ex. de la p. 207, où l’on a latitude moyenne l = 48° 67' 2", 62 , différence de latitude
m=i2'28",o6, diff.delongit.p=i9'52",i8, 2/-{-i0=98°54'6".
1« terme.
cos.. . 1.1896001 —
log ... .
2» terme.
3° terme.
M = 23107™, 06 arc de méridien.
sin»/.1.7549098
sin «Z. . .
co s / . . .
LSI 73723
4« terme.
4« terme.
5« terme.
P = 24249”’, 92 arc de parallèle.
taog z . .
a = 46°22'56",79 ou 133e37'3",21
«in z . . . —
On remarquera que l’azimut x est trop faible d’environ 7, mais que la distance cherchée y est presque exactement celle de la p. 207.
De Zach rend ces calculs très-faciles en réduisant nos deux séries de M et log P, en tables, d’où l’on peut tirer à vue les “valeurs de ces arcs pour 1 " , tant en longitude qu’en latitude.
228. Le procédé de de Zach est plus simple, mais moins précis que le suivant, qu’on doit préférer quand la distance des stations est de plus de 20 mille mètres (5 lieues) : cependant ce qui va être dit n’est plus assez exact quand l’étendue passe 80000”* (20 lieues).
L’éq. (A") p. 206 donne la différence D entre les latitudes de
M et M' (fig. 85) , dont l’arc de distance est de a secondes ; et l’éq. (B), p. 202, donne la différence P des longitudes; dans ces éq. z est l’azimut M'Mwi. Renversons le problème : a et z seront les inconnues , et l’on connaîtra les latit. I de M, et I de M', ainsi que l’arc P. Dans ces éq. a , D , et P sont de petits arcs exprimés en secondes. On a donc
P cos l ' — a sin z (i)
l — I = ( a cos 2 -J- f a’ sin î" tang l sin’ z ) ( î -{- e’ cos’ l ).
Posons fl sin r = , a cos z — ^ , tang z = — ,
nous aurons « = P cos t ,
et l’on tirera la valeur de a cos 2 de l’éq. ci-dessus , savoir
a cos z ou <p = — ; «’ sin 1 tang l.
