PERPENDICULAIRES A LA MÉRIDIENNE
géodésiques , comme celles du pendule à secondes , lorsqu’elles réunissent toutes lc3 conditions requises, sont éminemment propres à les signaler aux géologues. »
Des perpendiculaires à la méridienne.
256. Le plan vertical perpendiculaire au méridien du lieu, étant dirigé de l’est à l’ouest , est ce qu’on appelle le premier vertical : ce plan coupe l’horizon suivant une ligne qui est la perpendiculaire à la méridienne du lieu. Cette ligne peut être prolongée en se servant de la méthode dont nous avons fait usage page 1 5o pour tracer sur le sol un arc de méridien. On établit une lunette dans la direction du premier côté de celte perpendiculaire , et l’on marque , du côté opposé , un sigual qui soit situé sur cette même perpendiculaire repliée selon la verticale de cette seconde station. On transporte la lunette à ce signal, et l’on répète la même opération : et ainsi de proche en proche.
La perpendiculaire à la méridienne est différente du parallèle à l’équateur, bien que ces deux courbes soient dans des plans l’un et l’autre perpendiculaires au méridien du lieu de départ : mais un parallèle est perpendiculaire à tous les méridiens, tandis que la courbe dont il s’agit ici s’écarte d’autant plus du parallèle qu’elle s’éloigne davantage du méridien. Si la terre était sphérique , celte courbe serait l’intersection même de la surface terrestre par le plan vertical perpendiculaire au méridien , c.-à-d. qu’elle -serait un grand cercle de la sphère, lequel couperait l'équateur en deux points diamétralement opposés , et à 90° de distance en lougitude, de part et d’autre du méridien du lieu de départ.
Il y a plus , dans le sphéroïde , la perpendiculaire à la méridienne est une courbe à double courbure. Eu effet (fig. 75) les verticales qui vont toutes au centre de la terre sphérique, ne concourent plus au même point dans l’ellipsoïde. Si l’on a mené, en un lieu a . la perpendiculaire ab à la méridienne P« , ab supposé un très-petit arc, est dans le plan vertical iab , qui passe par la normale a». Lorsqu’on se transporte à l'extrémité h de cet arc,
220 GÉOMORPHIE.
comme la verticale ou la normale en b est bk , coupant l’axe de la terre en k , il faut briser le prolongement de ab , pour le coucher sur le nouvel horizon , dans ce 2e plan vertical bkc : ainsi l’arc bc sort du ier plan vertical. De même, l’arc cd se trouve dans un 3' vertical cld ; et ainsi des autres. La courbe abed... est donc composée d’arcs élémentaires situés dans des plans verticaux sans cesse variables.
2D7. La position d’un point M (fig. 84) sur un plan , est déterminée par ses distances x et y à deux axes Ar , ky, rectangu-
laires et donnés; ou bien par sa distance AM = y à l’origine A, et par l’azimut PAM = z , savoir
x = y cos z, y = <f sin z (F)
Imitons ce système sur la surface terrestre. Soit P (fig. 87) le pôle, PX le méridien d’un lieu A pris pour origine des coordonnées sphériques AQ = x , QM — y , d’un point M , et AQ' = x' , Q'M =y> d’un autre point M'. Les ordonnées^ , y, sont comptées sur des arcs QMp, Q'M'p, perpendiculaires à la méridienne PX.
Si l’on suppose que la terre soit sphérique, ces arcs QMp , Q'M'p, vont concourir en p à l’équateur, ainsi qu’il vient d’étre dit, et p est le pôle du méridien PX , c.-à-d. que le point p est à 90 degrés de tous les point du cercle PX. Les méridiens des stations M et M' sont les arcs PM, PM', colatitudes de ces points. Les angles MPA , M'PA sont les longitudes de ces stations , relativement au méridien principal PX; nous les désignerons par P et P' : l’angle MPM' = P — P' est la différence des longitudes.
Or, le triangle sphérique rectangle PMQ donne (éq. n et q, page 68)
sin y = cos l sin P, cot Ç = — sin l tang P. . . (G)
/ est la latitude de M, ç l’angle IMQ, ou l’azimut de MQ sur l’horizon deM, compté à partir du sud. Mais l’azimut du côté MM', vu de M, est connu, IMM'== z ; appelons l’angle QMM'= 4>, angle donné par
PERPENDICULAIRES A LA MERIDIENNE. 251
l’azimut z est ici du côté occidental de la méridienne : s'il était à l’est, comme fig. 88, on ferait z négatif, car l’on aurait visiblement 'P = ç -f- z.
a38. Appliquons au triangle sphérique MpM’ tout ce qui a été dit page 200 , et les formules démontrées conviendront ici ; seulement p n’étant plus le pôle terrestre, comme l’était P fig. 79, il faudra prendre pM=90° — y, pM' = 90° — y , c.-à-d. remplacer , dans les éq. A' et B' , p. 2o3 et 2o4 ,
/ et t par y et y , d par y — y', z par 4> , et P par l’angle p = arc QQ' — x — x ;
et môme, comme dans les éq. A' et B' , d , a et P sont des valeurs angulaires exprimées en secondes d’arcs décrits du rayon 1 , et que nous prendrons la normale N pour rayon , il faudra substi-
tuer — , — et — , au lieu de a, de t P, comme page 171, pour que y, </et P représentent des longueurs métriques. Il faudra donc
en définitive remplacer a, d et P, par —, —, — — et — — — .
et y, y, y, ét x’ seront rapportés à la même unité que la normale
N ; qui d’ailleurs est connue (n° 177).
Ainsi , l’on obtient les éq. suivantes pour la fig. 87,
y = y — ? cos 4> — ^ tang y . sin’
, , y sin y’ . . tang y
x = x —J — — — T sin 2 ■•P .
cos y
cos y
a5g. Ces éq. donnent , pour chaque station M', les deux coordonnées x' et y', l’une dans le sens de la méridienne principale PX, l’autre selon sa perpendiculaire pQ’. On déterminera d’abord les arcs y, Ç et 4> par les éq. G et I , sans qu’il soit nécessaire d’y apporter une grande précision; et même, comme on procède successivement d’un sommet de triangle au suivant , x et y sont connus lorsqu’on cherche x' et y'. Au sommet A pris pour origine,
222 GÉUMOIU'MK.
x et y sont nuis, et nos éq. se réduisent aux formules (F), au 3° ordre près. Alors (fig. 89) M est situé sur la méridienne princi-
pale , K = 900 et = 90° — z.
La valeur QQ' — x' — x , pour tous les arcs MM' (fig. 87) , est leur projection sur la méridienne principale, selon des arcs PQ > PQ > perpendiculaires à celle méridienne.
a4o. Il arrive souvent que la longitude P et l’arc y sont fort petits; alors, les éq. (G) se mettent sous une forrrfb plus simple pour le calcul. On y remplace les sinus et tang. par l’arc, savoir y— P cos l , et 90“ — ç = — P sin / ; et comme on veut exprimer l’arc P en secondes, et la ligne y en mètres , on change P en
P sin 1", et y en
N étant la normale ; ainsi , l’on a
y = NP sin 1" cos /. (K)
ç = 90° -)- P sin /. (L)
Nous ferons plus tard des applications de ces formules.
24i. Si l’on suppose l’arc MM' (fig. 79) perpendiculaire à la méridienne PM du point M, on a z = 90° dans les éq. A', B' et C' page 2o3 et ao4 ; et pour que a soit exprimé par le nombre y d’unités métriques de l’arc terrestre, au lieu de l’étre par sa longueur le rayoïi étant 1 , ou par son nombre de secondes, on changera,
comme n° 181 , l’arc a en — — ; -. Ainsi, à cause de D = l — L,
on trouve 1 0 pour la latitude L de l’extrémité M' de l’arc MM' , perpendiculaire en M , 2" pour la différence P des longitudes de M et M', 3° enfin pour l’azimut z du lieu M vu de M', ou l’angle wj'MTM compté du sud ; les trois relations suivantes :
tang l sin 1"
( 1 — {— cos’ /),
Î>J tang’/
N cos / sin 1" 3^ cos / sin 1"
? tang / N sin 1"
y* tang l 6N’ sin 1"
( 1 -j- 2 tang’/).
Ces éq. sont exactes au 4° ordre près : l’azimut z est compté du sud vers l’est ou l’ouest ; P est exprimé en secondes , ainsi que tous les termes qui ont sin t " au dénominateur ; y et N sont des longueurs rapportées à la même unité métrique (n° 181).
24a. Multipliez la 2°de ceséq. par sin l, et retranchez la 3”, la i ro puissance de y disparaîtra , et vous aurez
Psin/^z'-f-^
y3 lang l
6N3 sin î"
Cette éq. où le ier membre et l’avant-dernier terme sont exprimés en secondes , fait connaître la longitude de M' par rapport au méridien deM, lorsqu’on a l’azimut z' du sommet M, vu deM', compté du sud.
Pour un autre point du même arc perpendiculaire , mais situé de l’autre côté du méridien de M, on aurait une éq. semblable en P', z" et y' : ajoutant ces deux éq. et désignant par A la différence des longitudes de ces deux stations opposées , ou
z' z" — ■ 1 8o° ( y3 -j- y'3 ) tang l
sin l 6N3 sin / sin i" *
Telle est la différence A des longitudes des deux bouts M' et M" d’un arc perpendiculaire à la méridienne, laquelle le traverse en l’un de ses points. M. Puissant a prouvé [Conn. des Tems, 1828) que si cet arc a 4oo mille mètres de longueur (100 lieues) , sous la latitude de 45° , on a \ — 5° 4' 5", 78 , valeur exacte à une demi-seconde près. Pourvu donc que l’arc n’excède pas cette étendue , c’est-à-dire que son amplitude ne dépasse pas 1 o° de longitude, l’éq. est exacte. Les azimuts z' et z" mesurés aux extrémités de cette perpendiculaire, et les longueurs y et y de ses deux parties, font connaître la différence eu longitude de ces deux bouts de l’arc.
Mesure des arcs de méridien , de parallèles , etc.
a43. Les arcs terrestres sont mesurés en dirigeant un réseau
224 GÉ0J10RPH1E.
de triangles dans le sens de ees arcs , calculant les longueurs et azimuts de ces côtés , les longitudes et latitudes des stations, enfin projetant ces lignes sur l’arc qu’on veut mesurer, à l’aide de parallèles à l’équateur , ou d’arcs de grands cercles perpendiculaires à la ligne géodésique : le tout par le secours des formules précédemment démontrées. La somme des projections convenablement choisies donne la longueur totale de l’arc.
Ainsi , pour trouver la longueur de l’arc de méridien qui traverse une chaîne de triangles dont tous les éléments et la disposition mutuelle sont connus, on rapportera chaque sommet au méridien principal d’une station prise pour origine, et l’on en évaluera les deux coordonnées a? et y, dans le sens de la méridienne et de sa perpendiculaire. Ce procédé est bien plus commode et plus analytique que celui de la page 1 5o, qui a l’inconvénient d’exiger le secours d’une figure. D’ailleurs, on est obligé de trouver la latitude de l’extrémité de l’arc , qui diffère sensiblement de celle du dernier sommet, ce qui exige une correction qu'on peut trouver, il est vrai, par nos formules; mais on voit que la méthode des projections a l’avantage de faire connaître directement les latitudes de tous les pieds des arcs perpendiculaires , ainsi qu’on va l’expliquer.
On projette donc tous les côtés orientaux, sur la méridienne principale ; on en- fait autant pour les côtés occidentaux ; les deux sommes doivent s’accorder à donner la même longueur pour l’arc total; ce qui fournit un moyen de vérification des calculs; et s’il existe entre les deux résultats une petite différence , on prend une moyenne entre eux pour la valeur cherchée.
Et d’abord , il faut préparer nos éq. pour en faciliter l’application au cas que nous traitons.
244. L’éq. A , p. 20 1 , donne la différence d entre les latitudes des deux stations M et M’ (fig. 79), dont l’arc de distance est a , et z l’azimut de cet arc vu de M. Or , d et a sont de petits arcs qu’il convient d’exprimer plus commodément. La distance itiné-
raire MM', en unités métriques , étant ?, on changera a en — ,
N étant la normale du point M, ou
, : .-1 1:’ ; • i — e 1 sin’ l
c’est ici comme au n° 238. De même, on changera d en — , et 5
désignera la distance , en mètres , des deux parallèles de M et M' ; ainsi , l’on aura
0=pcosz-}- — tang Jsin’z — ^^•sin’zcosz(i -f-5tangV). (E)
On peut donc projeter ainsi tous les côtés des triangles du réseau sur la méridienne principale, par une suite d’arcs de parallèles à l’équateur , et obtenir la longueur de l’arc total , limité en deux points extrêmes dont on a les latitudes. Ce procédé conduit au résultat demandé, puisque la somme de toutes les valeurs *
des, pour les côtés soit orientaux, soit occidentaux, donnera l’arc de méridien, non -seulement en entier , mais même en parties séparées qu’on pourra comparer entre elles, comme on l’a fait p. 175 ; et il n’est point nécessaire de faire, pour la dernière station , la petite correction dont nous avons parlé , et qu’exige la méthode de Legendre, p. x5i.
On a soin de donner aux azimuts z le signe qui convient selon le sens que ces angles affectent par rapport à la méridienne, ces angles sont comptés du sud; mais les uns sont ouverts à l’ouest, et les autres à l’est. Les ingénieurs préfèrent ordinairement les compter tous dans l’un de ces deux sens, de o à 36o°, en faisant le tour entier.
Observez que pour arriver à l’éq. (E), nous n’avons pas employé la correction d’aplatissement donnée par l’éq. (A") p. 206, parce que nous nous servons de la normale N qui contient eJ, et que l’angle des deux normales IG , IH (fig. 80) est celui qu’on a introduit dans l’éq.
245. Appliquons cette formule à l’exemple de la page 206, et projetons sur la méridienne l’arc terrestre du Panthéon à r.touÉsiE. 15
226 GEOMORPHIE.
Dammartin (fig. 83) ,
cos *. . . \
sin’z. .
tang l . . ,
COS z. .
terme. .
sin3z . . •
tang/».
La projection cherchée est ô; le signe — vient du sens où l’on a compté l’azimut z, et est inutile à l’objet qu’on a en vue.
^46. Si l’on veut opérer par des perpendiculaire» à la méridienne, on calculera d’abord le i*' triangle ABC (fig. 7 4), à l’aide des éq. (F) p. aao. L’angle azimutal CAA observé à Dunkerque a été trouvé z = i6°46'27",6 : la distance AC à Casscl est y = 27458”, 60. Ainsi, dans la fig. 89 où M est Dunkerque et M' Cassel , on trouve les arcs MQ — x , M'Q — y ,
C08 z, . . 7.9811156 sin z 7.4603007
x sa sesgo'-ssi y = 7994'’*, 63.
Ce ier triangle est exceptionnel. Tous les autres de la chaîne sont traités d’après les éq. H, qu’il convient toutefois desimplifier , attendu que y est un petit arc connu en mètres. En développant jusqu’au 3» ordre , on trouve (p. 35)
N étant la normale au point dont l’azimut est z ; donc
y == y — ? cos ^
a/ ess x -{- f sin
On commence donc par déterminer ç par l’éq. (L) , puis ÿ = Ç g , en prenant — quand l’azimut * est du côté de l’est, et -f- dans l’autre cas. Ensuite les éq. (M) donnent x et y.
347. Appliquons ces éq. à la projection du a* côté CE(fig. 74) qui va de Cassel à Béthune. Ou a déjà trouvé » et y , et l’on sait d’ailleurs qu’à Cassel
y = 3i558m,u log N = 6.8o5i584.
Sin / î .8892670 sas 19.37.6,0
On a ajouté z, parce que l’azimut est du sud vers l’ouest.
cos f T.5279145— sin f. . . .
ys
siu p
tin» p 1.94757 sin’ÿ. .T. 80273— 2.35891
*' ss 55909 ,90
>■ as 7924™, 63
8« terme >4-10642 ,05 5». ... — 0 ,09
y es 18560 ,59'
aN*
GÉ0M0RPI1IE.
Continuant l’opération , on projettera de même sur le méridien le côté de Béthune au Mesnil, pour lequel on a f— n5 1 1 m,43 et z = — i8°54'27": la latitude de Béthune est /== 5o°3i'55"; le calcul donne ç = 9o°i2'8", 44, puis ÿ — 7i°r7'4i",44. Les éq. (M) donnent enfin y — i4938m,96, x = 667 i4m,o5 , en partant des valeurs obtenues pour y et x' , qu’on prend pour y et x. -
Et ainsi de suite pour tous les côtés occidentaux de la chaîne ; en sorte qu’on obtient en définitive l’arc du méridien soit entier, soit par parties entre les stations dont on a observé astronomiquement les latitudes.
248. Observez que x — x est la valeur de la projection d’un côté de triangle, et que ce résultat n’est pas influencé par celle de x obtenue antérieurement ; ainsi , les petites erreurs de calcul ou d’observation ne s’accumulent pas , et n’altèrent pas l’arc de méridien qu’on veut mesurer. Il est vrai que y entre dans la formule qui donne x', et que la valeur de y est influencée par celle de y , ce qui tend à réagir sur x'. Mais il n’en peut résulter d’erreur notable sur x, qui est le sujet principal des recherches, parce que la 2e éq. (M) ne renferme y que dans des termes fort petits. Aussi peut-on se passer de la 1" de ces éq. et trouver y par approximation à l’aide de l’éq. K qui est plus simple et suffisante.
Par ex., pour la perpendiculaire abaissée du Mesnil, dont la latitude est l = 5o°26'9",i, et la longitude P = — i2'39",r , on a
eos /. 1.8040996
sin 1" 6.6855749
y 4.1754231, d’où y = 14976m,94, trop fort de 38™.
24g. Le pied Q d’une perpendiculaire à la méridienne, abais- , sée d’une station M (fig. 87) , n’a pas la même latitude que ce point M, parce que l’arc MQ est différent d’un parallèle. Mais, en considérant que l’arc QM — y est connu en mètres, et que son azimut Q est de 90° , on peut y appliquer la formule (A) p. 20 1 , pour obtenir la différence d des latitudes des points M
et Q. On fera donc cos z — o , et l'on remplacera a par y, ou
plutôt par^-, pour que l’arc y soit exprimé en mètres. En désignant par l la latitude du point M , et par L celle de Q , on a
l = '+ï£ tan*t
Cette formule sert à trouver la latitude de l’extrémité del’arcMQ dont on a obtenu la longueur ; on sait ainsi quelle est la graduation de cet arc. C’est la correction dont nous avons parlé p. i5 r , qu’exige la méthode de Legendre , pour trouver l’amplitude totale de l’arc de méridien.
200. Les procédés qu’on vient d’exposer servent aussi à trouver la longueur d’un arc de parallèle, limité par des méridiens extrêmes dont la différence de longitude est connue (n° 21 1). On forme, comme n° 162 , une chaîne de triangles dirigés de l’est à l’ouest, et peu distants de ce parallèle ; puis on en calcule les côtés, les azimuts , les longitudes et les latitudes , comme ci-devant.
Soit AB (fig. 92) un côté de ces triangles , A et B deux stations, OQ le parallèle sur lequel on veut projeter l’arc AB, à l’aide des deux méridiens PAE, PBG j c.-à-d. qu’il s'agit de trouver la longueur Y de l'arc GE dont la latitude est L. L’azimut du côté AB vu en A est z,- la latitude de B est l, sa normale est N' = BN' ; celle du point G est N = GN : les rayons des parallèles GE , BD , sont GF — x, BI = x , perpendiculaires à l’axe PC. On a x = N cos l, (n° 177).
Le triangle sphérique PBA donne (éq. B, p. 202)
. sin a sin z
et, comme sin a = a — — a3 , on en tire
Pour 1” approximation, on néglige P’, et l’on a une valeur de P,
230 GÉOMORPI1IE.
qu’on substitue ensuite dans le dernier terme. En remplaçant a
par — , comme précédemment , pour que le côté a soit exprimé
par son nombre p d’unités métriques, il vient
p sin z f3 sin z / sin3 z\
N' cos l 6 N'1 cos l \ 1 cos’ U '
P est ici l’angle dièdre formé par les deux méridiens des stations extrêmes, ou plutôt l’arc décrit du rayon \ qui mesure cet angle, ou celui DIB que font les rayons ID, IB, menés perpendiculaires à l’axe PC, partant des deux extrémités de l’arc BD, arc qui est la projection de AB sur le parallèle de B. Or, on a x ; P *. \ IB BD, BD = Paf'j les arcs semblables BD, GE, sont comme leurs rayons ;
x' : » bd : ge = * x bd = p* = y.
Mettant ici pour P et x = N cos l leurs valeurs , on trouve
NcosL f . P3 . / sin’*\~l
Y = — f sin x — tttt- sm z I i —J . . .
N cos / L 6N \ cos U J
On applique cette formule successivement à tous les côtés nord ou sud des triangles de la chaîne , et l’on obtient la somme de leurs projections qui compose l’arc de parallèle proposé.
25i. Pour la commodité des calculs, on compose une table des valeurs de la normale (éq. 6, p. 168) pour les diverses latitudes , entre les limites des sommets de triangles qui composent la chaîne, et pour l’aplatissement adopté. N cos L est ici constant; p, z , N' et l varient avec les stations. Mais on abrège ces calculs en cherchant d’abord N pour le parallèle OQ sur lequel les arcs sont projetés , puis le petit changement que N éprouve pour de légères variations de L.
On a N3 = A3 ( x — e3 sin3 L )~ 1 ; la différentielle par rapport à N et L est
N e3 sin L cos LdL <fN = : :
i e‘ sm’ L *
