ZONES TERRESTRES
sons que l’aire du quadrilatère commence à l’équateur, et se termine au parallèle dont la latitude est l; ainsi l = o doit répondre à u — o, et la constante est nulle. a53. Pour la facilité des calculs , on pose
e sin / = sin p (a)
et l’on divise les log par le module M (p. 35) pour changer ces log qui sont népériens en tabulaires. On trouve
“ = S; Kj£r + ® 108 1,bu'- '“s’ («" + r) ]•
Pour obtenir l’aire du globe entier, il faut prendre L = 36o°, et / = 90° , puis doubler , savoir :
Pour la zone torride, on fait l = 25°. 28', avec L = 36o°; Pour la zone tempérée .... I — 66°. 3 2';
mais du résultat, on doit retrancher l’aire de la zone torride. Enfin, on retranche ces deux zones de l’hémisphère pour avoir la zone glaciale.
Quand on suppose la terre sphérique, les formules 1 à 4 deviennent, en faisant A=B, ete = o,
A’L . , A3 Lt sin l
u — sin l = et
4*Aa.
Dans cette hypothèse, et prenant pour le rayon A de la sphère la moyenne entre le grand et le petit axe, c.-à-d. entre les nombres (i 3y5 73ym et 6 356 649™, pour l’aplatissement savoir, en faisant A = 6 366 194”, on trouve les résultats suivants :
Les deux zones glaciales valent
ensemble
Les deux zones tempérées . .
La zone torride
Surface entière du globe terrestre Le calcul direct donne 4tAj ==
42122 72206 hectares.
234 GÉOMORPUIE.
e.-è-d. 76 hectares de moins , ce qui provient des erreurs dues aux log des grands nombres.
CHAF. IV. — NIVELLEMENT.
Nivellement géodétique.
254. Deux points M et N (fig. g3) sont de niveau quand ils sont situés sur une même surface MAN, concentrique au globe terrestre man, que nous supposerons être une sphère. Si l'on compare quelque sommet O au point M , la différence NO de niveau est mesurée sur la verticale ou le rayon CN prolongé. Il s’agit de trouver NO = x.
Du point M , d’où l’on voit le sigaal O , on mesurera l’angle OMP qu’on appelle la dittance zénithale de O. Observons que la réfraction atmosphérique fait voir ce point O plus élevé qu’il ne l’est réellement, en sorte qu’on juge ce sommet O en et que l’angle mesuré est, non pas OMP, mais *MP = z, plus petit que le 1" ; la différence est tMO = r. La véritable distance au zénith est donc OMP — Z'-\-r, z étant l’angle qu’on mesure actuellement, et r la réfraction inconnue.
Quant à l'arc MAN, il est toujours fort petit; nous verrons qu’on peut lui substituer sa corde MBN = k (voy. n° i5 1).
a55. Dans le triangle isocèle CMN, l'angle NMC = 90° — C ; la corde MBN — A = 2Rsin C, R étant le rayon terrestre, ou plutôt la normale en M, pour avoir égard à l’aplatissement terrestre. Donc , en exprimant l’angle C en secondes , et substituant le petit arc -j-C à son sinus (on remplace sin C par C sin 1", voy. p. 36) on a k = RC sin 1".
(|^Le triangle OMN donne sin O ; MN ou k " sinOMN ; ON ou#;
d’où
sin OMN "sin O
or OMN = 1800 — OMP — NMC = 90° — z — r -f- f C, NOM = O = OMD — OMP — C =* * + r — C.
donc
avec
NIVELLEMENT GEODÉSIQUE.
w c°g(g4-r-—fC).
sin ( z -f- r — L) k = RC sin j"
Celte éq. (a) où la dislance k est connue , donne l’arc C en secondes : ainsi , il ne reste plus pour avoir la diflérence x de niveau des stations M et O, que de trouver la réfraction r.
En prenant R— 6366 iç)8mctres, on a log ^ „ = a. 5 1 0544 tj.
Il peut arriver que l’angle C soit assez petit pour qu’on ne change pas sensiblement la valeur (i) , en remplaçant C par C dans le dénominateur , attendu que l’arc z 4~ r — C étant peu différent de 90°, son sinus varie à peine pour un petit changement de l'arc : alors l’éq. (1) devient simplement
ar = *Xco*(*r-{-r— -tC)* . . . (5)
256. Pour trouver la réfraction r, ou en éviter l’emploi , on prend des distances zénithales réciproques et simultanées : un observateur placé en O (fig. q3) mesure l’angle MOZ, distance zénithale de M vu de O, en même temps qu’une autre personne prend l’angle OMZ. Soit MOZ — z' -\-r, z étant l’angle observé, et r la réfraction qu’on suppose la même en O qu’en M. En effet, la trajectoire de la lumière est la même courbe pour les deux observateurs; du moins on admet que, dans les mêmes conditions atmosphériques , le sommet O vu de M est autant élevé par la réfraction , que l’est le point M vu de O.
On a MOZ OMP = z -{- z' -f- 21-. Mais d’un autre côté ces deux angles étant extérieurs au triangle MOP, sont l’un MOZ = OMC -f- C , l’autre OMP = O -J- C; la somme de ces angles se compose des trois angles du triangle MOC, plus de l’angle C : aiasi cette somme = i8o° G, et l’on a
180° -j- C = z -j- z' 4* 2 r; .... (4) d’où r » -J- C — - 7 ( z -j- *■' — 1800). . . . (5)
236 GÉOMORPHIK.
Introduisant celle valeur dans l'éq. (t) , il vient , sin 4 f z — z )
cos -j- ( z — z - {— C )
L’éq. (3), qui n’est qu’approximative, mais qui suffit le plus souvent, devient
x = k X tang ~(z' — z) = ±k(z’ — z)sin i", ... (7)
en exprimant en secondes le petit arc z' — z. Lorsque z et z' ne sont pas à peu de chose près égaux , et que k est de quelque étendue , on doit se servir de l’éq. (6) de préférence.
L’éq. (7) peut aussi servir à trouver l’une des distances zénith. z et z' quand on connaît l’autre et la différ. x de niveau.
267. Comme il est pénible de doubler ainsi le nombre des observations dans le seul but de trouver la réfraction r , on a fait des tentatives multipliées pour éviter les distances zénithales réciproques, et déterminer r à priori; car alors on pourrait se servir des éq. (1) ou (3). Mais ce petit arc r est variable , par les circonstances atmosphériques , et l’on n’a pu réussir à lui trouver avec certitude, dans tous les cas , une valeur constante.
Supposons que, par des observations très-soignées, on soit parvenu à trouver diverses valeurs de r, correspondantes chacune à un angle C bien connu (fig. g3). En divisant ces valeurs par les angles C qui leur appartiennent , on a remarqué que les quotients diffèrent peu de 0,08. Ainsi, dans les circonstances atmosphériques ordinaires, si l’on n’a pu obtenir des distances zénithales réciproques, on pourra poser approximativement
L v, cos(z — o,42C)
x K X ~ — 7 JTT1*
sm(z — 0,92 C )
Cette éq. donnera la différ. x de niveau entre les deux stations, à fort peu près , et par des distances zénithales simples z.
258. Mais les variations qu’éprouve l’atmosphère, dans ses diverses couches, changent notablement la réfraction, et l’on ne peut avoir une confiance absolue dans l’éq. r = 0,08 X C.
NIVELLEMENT GÉODÊSIQUE.
Rigoureusement, on devrait poser r = wiC, et choisir pour m la valeur qui convient aux circonstances atmosphériques où l’on opère.
La variable m est appelée le coefficient de la réfraction ; elle change avec la température , la pression atmosphérique, et mille causes locales presque insaisissables par le calcul. Delambre ( Attron . , T. III, p. 575) a trouvé m de o,o5 à 0,06 en été; rarement de o, 1 4 à o, 1 5 par un temps brumeux d’hiver ; et presque toujours m = 0,08, avec 0,02 de variation en moins pendant l'été, et en plus dans les temps froids.
La moyenne de 17 observations de la mer (n° 264) faites en été et en automne, est 0,0783. On trouve, p. a34 et 366 du 6' vol. du Mémorial du dépôt de la guerre , un grand nombre de déterminations du facteur m, plus ou moins différentes de 0,08 , et qui prouvent la variabilité de ce coefficient.
Concluons de là qu’il faut , autant qu’on le peut , mesurer des distances zénithales réciproques de tous les sommets dont on veut avoir le nivellement avec précision. Mais comme il n’est pas toujours possible de le faire au même moment , et que lorsqu’on le peut, les difficultés et les frais d’exécution obligent souvent à renoncer à cet avantage , les distances zénithales sont alors réciproques , sans être simultanées. Et quand elles ne le sont ni l’une ni l’autre , faute de mieux , on prend m = 0,08 , ce qui donne encore des résultats très- satisfaisants, du moins quand l’atmosphère ne se trouve pas dans des conditions exceptionnelles de température , pression , humidité , etc.
Une simplification qu’on se permet , quand , d’une même station, on peut apercevoir plusieurs sommets environnants, consiste à mesurer , pour l’un seulement , des distances zénithales réciproques et, s’il se peut, simultanées, afin d’en conclure la valeur actuelle de m, qu’on fait ensuite servir à la détermination des hauteurs des autres sommets, pour lesquels on se contente de distances zénith, simples. On se sert de l’éq. (1) en y faisant r = wiC , avec la valeur de m qu’on vient d’obtenir , parce que l’on admet que l’état de l’air restant le même , ce coefficient conserve sa valeur.
838 GÉOMOftPIUE.
a5g. Au reste, l'éq. (1) peut être développée, dans ce cas, d’une manière commode pour le calcul. Posons r =» mC dans celle éq. , et faisons , pour abréger, J/ = z — ( -j — m ) C ; nous aurons
^ cos ^ k cot 4j
* sin ( ^ • — ;C) cos 7 C ( 1 — cot ^ tang jC)’
en développant le sin ( — 4 C ), et divisant haut et bas par
sin cos ~ C. Faisons la puissance — i de(i — cot \p tang-J-C); et comme <P est très- voisin de x (et de 90° ) , cot i> est fort petite , ainsi que C ; négligeons le 2® ordre ;
k cot ^ k
... *S3 mm .
cos 4 C cos-rC
cot
k cot z -j- tang ( -j m) C
cos 7 C ' 1 — cotztangÇ^ — m )C ’
faisons la puissance — 1 du dénominateur, et négligeons toujours le 2e ordre, puis remplaçons la tangente par le petit arc
[. fi NAcosec'ri
COS 7 C
à cause de l’éq. (a) , k = RC. Enfin
COS7C ‘ R cos {C sin* x '
Le plus souvent on prend cos 7 G = 1 , et même sin’ x =* 1 , et l’on a
x = k cot * -j- ^ (“ — “ • (9)
Nous donnerons plus loin un exemple de celte formule, lorsque nous aurons déterminé k avec précision.
260. L’éq. (6) exprime la différ. de niveau x = ON (fig. 95) des deux stations M et O , d’où l’on a mesuré les distances iénith.
