SKI

Los données ne sont ici qu’approchées, mais les résultats sont exacts.

27g. L’éq. (3) donne

T’ rN1

•Jï

On pourra donc trouver par l’expérience du pendule, la valeur de la pesanteur, ou du nombre j, en un lieu déterminé. On comptera le nombre N d’oscillations que fait un pendule simple connu r, dans un temps donné T, et le calcul fera connaître g. S’il s’agit d’un pendule à secondes de temps moyen , lequel fait une seule oscillation en une seconde , T et N seront 1 , et l’on aura

C’est ainsi qu’on a trouvé qu’à Paris, on a

g = g™, 808672 = 3or;,i9546, e = 4- gt \

log g = 0.9916103. . . . 1.4799416, v — gt.

g est T accroissement de vitesse d’un corps gui tombe dans le vide pendant une seconde, ou le double de la hauteur de sa chute dans la 1™ seconde ; e est l’espace décrit en t secondes, et v la vitesse que le corps a reçue au bout de ce temps.

280. La pesanteur g varie selon les lieux, parce que celte force est la résultante de deux autres dont une seule est constante, savoir la gravité G , ou l’attraction qui tend à précipiter les corps au centre de la terre; l’autre force est centrifuge et produite par la rotation diurne, et variable avec les lieux.

Soit C (fig. 94) le centre de la terre ellipsoïdale, point où réside la force attractive de sa masse; M un point dont la latitude est l; NMZ la normale en ce lieu, dont le zénith est Z, direction du fil à plomb. L’attraction agit selon CM. Mais la rotation diurne de la terre imprime à tous ses points une force centrifuge, qui, en M , agit selon MF , prolongement du rayon OM = x , du parallèle à l’équateur décrit par le point M. Cette force centri-

fuge F est, comme on sait, F = — , v étant la vitesse de rota-

GE0M0RPI1IE.

tion de M. La rotation terrestre conserve en tout temps une vitesse constante ; mais, comme x décroît en allant vers le pôle, aussi bien que v, pour un autre point M, on aurait

F' — —, et x l x' Y. v l v' ;

donc

Ainsi la force centrifuge varie comme les rayons des circonférences décrites ; elle est maximum à l’équateur , nulle au pôle , et change avec la latitude. Nommons f la force centrifuge à l’équateur, nous avons

f cos l

\/( i — e2 sin1 /)’

à cause de la valeur de x', éq. (4) , p. 1 67.

Or , la pesanteur en un lieu M s’exerçant selon la verticale ZMN, est la résultante de la gravité G qui agit selon le rayon CM, et de la force centrifuge F selon MF. Décomposons ces puissances selon la normale MN et la tangente AMi : les premières composantes se retrancheront l’une de l’autre pour produire la pesanteur g, selon MN ; les deux autres , dirigées en MA et Mi, devront se détruire et seront égales. Ainsi , i étant l’angle CMN de la verticale MN avec le rayon MC (voy. n° 178) , on a

g = G cos * — F cos l, G sin i — F sin l. Éliminant G , il vient

g — F f ’n \ — cos = F ( — - — cos î) , y \tangi / \e2cosl J*

en remplaçant tang i par sa valeur e 2 sin l cos l (*) , limitée au 3' ordre, qui suffit à nos recherches.

(") En ne prenant que le premier terme de la vapeur développée de tang i

( p. 169 ), et remplaçant - par e1 (no 175), on trouve tang i = e» sin l co» l, aux termes prés du i« ordre eu e.

28 r. Substituant pour F sa valeur , et développant

( 1 — e3 sin3/ ) * ,

on obtient

9 = f (jt — «*’*),

ou g == f J^— • — 1-l-~ s*u3 * — £ «* sin3 * ( ^ — 7 S*Q’ ^ )• • • J*

En négligeant les termes où e2 est facteur, on a g=f{ H-f- fsin’/) : ainsi, la pesanteur g varie tr'es-sensïblement comme le carré du sinus de la latitude : il en est de même de la longueur r du pendule à secondes , puisque g — iV. On suppose ici les quantités g et r réduites au niveau des mers, comme il sera expliqué ci-après (n° 294).

282. La théorie de l’attraction (Méc. oél., T. II, p. 102) démontre que l’aplatissement du sphéroïde terrestre est lié à la longueur du pendule à secondes. Puisqu’on sait que cette longueur peut être exprimée par la formule r = A -}- B sin3 l , on pourrait trouver les constantes A et B en mesurant les longueurs r' et r" du pendule à secondes sous deux latitudes i et/", et l’on aurait deux équations entre les inconnues A et B :

r = A + B sin3 V, r" = A + B sia» l".

L’élimination donnerait ensuite A et B, et par conséquent la longueur de ce pendule à toute autre latitude l, r=A-j-Bsin’/, et la pesanteur g en ce lieu , puisque g = rV = *■’ ( A -j- B sin3 /).

283. Mais comme les erreurs d’observations influeraient sur les valeurs des constantes A et B , il faudra répéter les expériences en un grand nombre de lieux , et en déduire autant d’équations entre A et B , qu’on emploiera concurremment à leur détermination, par la méthode des moindres carrés. C’est ce qui est exposé dans notre Astronomie pratique, n° 2g5, un mémoire de M. Mathieu [Connais s. des l'ems de 1816) , la Géodésie de Puissant, T. II, p. 338, et 1 ’Astr. physique de M. Biot , T. III,

ât>4 GÉOMORPHIE.

p. 166. Nous donnerons plus loin les valeurs des constantes des éq.

r = A -{- B sinJ l, g = C -{- D sin’ l, . . . (7) dans lesquelles on a C = t’A , D = r’B. .... (8)

Comme l — o donne r — A, g — C, on voit que A est la longueur du pendule à secondes sous l’équateur , et C la pesanteur en ces lieux ; quand l — 90°, on a r— A -j- B, g =C -j- D : ainsi, B est l’excès du pendule polaire sur le pendule équatorial ; D est l’excès de pesanteur quand on passe de l’équateur au pôle.

284. II suit de la théorie de l’attraction (n° 34, T. II, Méc. cil.)

que l’aplatissement terrestre — = - du rapport de la force centrifuge tou* T équateur à la pesanteur , moins F excès B de la longueur du pendule polaire sur celle A du pendule équatorial, dioisé par cette même quantité A. Et comme la force centrifuge est démontrée être sous l’équateur le 289e de la pesanteur en ce lieu , on a l’éq.

-4 t = o,oo865o5 (9)

d’où l’on conclut que l’aplatissement terrestre sera connu, dès que, par des observations du pendule, on aura les valeurs des constantes A et B. C’est ce qui sera calculé plus tard.

285. Réciproquement, si l’aplatissement est connu, l’équation (9) sert à éliminer B de la valeur générale de r, où il ne s’agit plus que de déterminer la constante A , savoir :

r =» A |\ -j- ^ o,oo865o5 — — ^ sin1 /J.

Une seule expérience qui fera connaître r et l, suffira donc pour trouver A, et par suite B, C et D.

Prenons pour exemple le pendule de Borda (p. a5o) , et l’aplatissement - = ■=— ass 0,0032787. D’abord l’éq. ci-dessus

PENDULE

devient

r ss= A ( 1 -J- 0,0053718 sin1 J).

Or, l’expérience a été faite à l’observatoire royal de Paris, où la latitude est 48° 5o' i4 ", et à 63m au-dessus de la mer, on trouve que le rayon terrestre, pour cet aplatissement (p. 188), est R = 6 3 66 6g8m. Et comme il faut réduire la valeur de r(p. 254) à ce quelle serait au niveau des mers, par une théorie que nous exposerons bientôt, on trouve que r se réduit à om,994o234. On en tire donc ces valeurs

jog B — 3.7261962, log D = 2.7204959.

Ces résultats diffèrent peu de ceux que nous trouverons plus tard.

Au reste , on trouverait la valeur de A avec plus de sûreté , en faisant intervenir, dans le calcul, un grand nombre d’observations du pendule , par la méthode des moindres carrés.

Venons-en maintenant aux procédés suivis pour observer la longueur du pendule et lui faire subir les réductions exigées par les conditions mêmes des expériences.

286. Le pendule simple ne peut avoir qu’une existence théorique, puisqu’il est physiquement impossible de faire osciller un point matériel pesant , à l’extrémité d’un fil inextensible et sans poids, dans un arc infiniment petit et dans le vide. Le pendule est toujours un corps figuré , qdi se meut dans l’air à une densité et une température variables, et dans un arc fini. Voyons donc à dégager l’expérience des circonstances qui en altèrent les résultats.

On démontre (Voy. ma Mécanique, n° 261) que lorsqu’un corps de forme et de nature quelconques oscille autour d’un axe heriaontal , parmi les différents points matériels qui le composent, les uns se meuvent plus vite et les autres plus lentement que s’ils étaient isolés et indépendants de la masse ; mais il existe un point dont le mouvement n’est nullement altéré par sa liaison aux autres, c.-à-d, qui se meut précisément comme s’il était seul.

286 GÉOMOllPHlE., *

Ce point , appelé centre d'oscillation, est donc un véritable pendule simple, et l’on peut, par la pensée, supposer que toute la masse du corps y est concentrée. Ce point est situé sur la ligne qui va du centre de gravité perpendiculairement à l’axe de rotation ; et il y est au delà du centre de gravité ou plus bas que ce centre. Quand le corps a une figure régulière et géométrique , on peut même , par le calcul , déterminer la place du centre d’oscillation : ainsi , quand le pendule est une sphère ou une lentille , suspendue à un fil, ou à une ou plusieurs tiges parallèles, on trouve, par la mécanique, la longueur r du pendule simple équivalant au pendule composé qu’on a mis en expérience : et cela quels que soient les métaux qui forment ce corps , pourvu que chacun soit homogène et de densité connue. On donnera bientôt le moyen de se rendre indépendant de cette dernière condition.

287. On risquerait beaucoup de se tromper si l’on voulait compter les oscillations une à une, sans parler de l’ennui d’une semblable pratique. Voici comment on opère : on fait d’abord en sorte que le pendule d’épreuve ait une telle longueur qu’il accomplisse les oscillations dans un temps peu différent d’une seconde. On dispose en arrière une horloge parfaitement réglée et à compensation , qui marque le temps moyen avec une précision presque rigoureuse , ou du moins dont la marche régulière soit assez connue pour qu'on sache combien son pendule fait d’oscillations en 24 heures moyennes. La lentille est vernie en noir, et porte au centre une mouche blanche en papier.

Les deux appareils sont disposés l’un en avant de l’autre, de manière que quand les deux pendules se trouveront ensemble dans la verticale , la mouche soit cachée par un index que porte le pendule d’épreuve. On dispose à quelques mètres en avant une lunette, qui permet à l’observateur de reconnaître cette coïncidence.

On met le pendule d’épreuVe en mouvement dans le même sens que celui de l’horloge, et l’on se rend attentif à l'instant où, retombant ensemble dans la verticale, la coïncidence a lieu. On note l'heure, la minute et la seconde que marque alors l’horloge. Comme les pendules marchent presque ensemble, ils ne parais-

PENDULE

sent se séparer qu’après quelques secondes : on prend pour le moment de la coïncidence , la moyenne entre les instants où on la voit commencer et finir.

L’un des deux pendules devance l’autre de plus en plus, et bientôt atteint sa limite d’excursion d’un côté, quand le 2e mobile atteint la sienne du côté opposé : ils marchent ensuite en sens contraire ; et quand ils retombent ensemble dans la verticale, l’un des pendules a fait une oscillation de plus que l’autre. On ne tient pas compte de cette observation , qui serait trop difficile à faire avec précision , à cause des vitesses en sens contraires. En laissant continuer l’expérience, il arrive un moment où une nouvelle coïncidence se produit , les pendules allant dans le même sens. On note l’heure , comme la 1 re fois ; alors l’un des pendules a gagné deux oscillations sur l’autre.

Ainsi l’horloge a fait n oscillations, et le pendule d’épreuve n ± 2 dans le même temps ; on fera donc cette proportion

si n oscil. répondent à n do 2, 864oo répondent à

864oo(n-{-a)

Telle est la quantité N d’oscillations du pendule d 'épreuve, pendant que l’horloge marque a4h (en supposant qu’elle marche comme le temps moyen) : et si l’horloge avance de » secondes

en a4h,

N = 2-ÏLÎ ( 864oo + «’) n

est le nombre d’oscillations du pendule d’épreuve en un jour de temps moyen. On fait t négatif dans le cas d’un retard.

Supposons que la coïncidence ait lieu à 1' 17" et à 9' 4o"; il y a 5o3" écoulées : pendant ce temps le pendule d’épreuve fait 5oi excursions, et si l’horloge retarde de 4", 5 en 241‘, on trouve que ce pendule, dans cette durée , fait 86o5i,g8 oscillations.

L’expérience doit être continuée en notant les heures précises des coïucidences ; et l’on en conclut d’autres résultats peu différents du précédent. Après avoir fait les corrections dont on va parler pour l’amplitude des arcs, la réduction au vide, etc., on gSodSsie. 17

288 GÉOMORPHIE.

prend une moyenne, et l’on obtient enfin le nombre d’oscillations du pendule simple dans le vide, en un jour moyen.

Il ne faut pas que la marche du pendule d’épreuve soit beaucoup plus lente ou plus rapide que celui de l’horloge ; on évalue à 53o" la plus grande durée entre les coïncidences. Comme les résistances diminuent beaucoup les arcs d’oscillation, on ne laisse durer l’expérience que 34 à 4o minutes sans l'interrompre (5 coïncidences). On a vu des pendules osciller encore après 5o heures d’observation , sans aucune force réparatrice des pertes, quoique l’excursion ne fdt pas de plus de 2 degrés dans l’origine. Mais il est tout à fait inutile de pousser très-loin l’expérience; l’excursion devient petite et lente, et il est difficile de saisir la coïncidence.

288. Voyons à réduire les oscillations à être infiniment petites. Soit f (fig. 91) le demi-arc décrit par le pendule dans son excursion ; b = AD; on a OD = r — b = r cos p, d’où b = r ( 1 — cos p ) = 2r sinJ-i-p. Ainsi , l’éq. (1) devient

Désignons par 0 le temps que le même pendule emploie à faire une oscillation infiniment petite,

on en conclut que

L’observation fait connaître t et p ,* on a donc 0.

Ou plutôt , n étant le nombre d’oscillations finies faites par le pendule, dans l’arc 2p, et n étant le nombre d’oscillations infiniment petites pendant le même temps, comme p est un petit arc , on a sin1 \ p = sin’ p , et

« = n( 1 +T6siaïp) (10)

Ainsi, après avoir mesuré l’arc d’excursion 2® d’un pendule, et compté le nombre d’oscillations accomplies dans un temps quel-

conque , et par suite celui n qu’il fait dans la durée des a4h , cette formule servira à calculer n , c.-à-d. combien le pendule en exécute d'infiniment petites dans le même temps. On voit qu’il ne s’agit que d’ajouter à « la quantité ~ n sin1 y.

Chaque période de coïncidence ne durant guère plus de dix minutes, l’excursion totale 2y se conserve entière: mais si l’on remarquait qu’elle fût 2y en commençant et ay' à la fin , et que ces deux arcs fussent peu différents , on supposerait l’excursion constante, et l’on pfendrait-f( y -(- y' ) au lieu de y.

Si l’expérience a quelque durée, les résistances diminuent continuellement les excursions du pendule, et même on reconnaît qu’elles décroissent en progression géométrique : elles sont donc ,

successivement . ? , , — étant la raison de

cette progression. La formule que Borda a donnée pour calculer les effets de ce décroissement a été démontrée par M. Mathieu ( Connaissance des Tems , 1826).

La durée de chaque oscillation étant un peu plus longue que si l’arc était infiniment petit, le nombre total, après un temps donné, serait n , dans ce premier cas , et dans le 20 il serait accru de -L- n y’, en remplaçant le sinus par l’arc, et supposant y constant. . Appliquons cette correction aux oscillations 1”, 2°, 5S * * 8... nc, successivement : la correction totale sera

S = J /„ 1 Jliîli =JL g” — 1

16 V ‘ ÿ’"1-?4 '**’ î”*-1/ ib ‘ (y’ — 1) y,"-*‘

L’observation donne les excursions terminales y et y'; y est

inconnu , et il faut l’éliminer à l’aide de

Le carré = ya donne d’abord

GÉOMORPH1E.

Or , ( p. 55 ) , i o‘ — 1 -f- kz -f- -j- A V ... Si z est le log de q', z == 2 log q, et qu’on se borne aux ire5 puissances de z , attendu que deux excursions successives du pendule sont presque égales, et q très-voisin de i , d’où log q très-petit ; on a

10* = q1 = 1 -f- 2 k log q ,

(l 4-2&logg)y3 — = M( y3— y'3 )

32 k log q __ 32 log q "* 16 ’

M étant le module qui = ( p. 35). Comme on a d’ailleurs

( n — i ) log q = log ? — log y,

on trouve

32 (log <f — log y' ) ' i6"

Or, y’ est la correction de la i™ oscillation; donc le i 01 terme est celle des n — î suivantes : changeons-y n — î en n , et ce terme comprendra toutes les corrections. De plus ,. pour la commodité des calculs, nous remettrons les sinus pour les arcs, et nous aurons enfin

g M« sin ( ? -j- y' ) sin ( p — p' )

32 ’ log sin y — log sin p'

Telle est la correction cT amplitude, ou la petite quantité qu’il faut ajouter au nombre n d’oscillations dans des arcs finis décroissants de p à p', pour avoir le nombre d’oscillations infiniment petites correspondantes.

Par exemple, si l’on a compté 9016,695 oscillations, et si les arcs ont été.

. . . sin . . .

. . . sin . , .

sin p. . . 2.75609

sin p' — 2.16441

dén. = 0.57168

log = 7.75715

num. , . .

dénom. . . .

Ainsi, la correction est 0.589. et le nombre des oscillations dans des arcs infini ment petits est 9017.284.

PENDULE

289. L’éq. (3) donne le temps T qu’un pendule simple met à faire N oscillations ; mais si ce corps est ramené à la température zéro, au lieu d’avoir r, il a r' pour longueur, et fait alors N' oscillations dans le même temps T. Ainsi ,

Soit a la dilatation linéaire du pendule pour un degré centigrade {00 y. p. 121), la longueur r' deviendra rW pour t degrés, et l’on aura r — r'-\- rat , d’où N' = N f/( 1 -j- al ). En développant et se bornant au icr ordre, attendu que a est très-petit, on trouve, pour la correction qui ramène N à des oscillations sous une température plus basse de t degrés,

290. La théorie démontre que la résistance de l’air retarde la descente du pendule , ce qui accroît la durée de la demi-oscillation. Mais la même cause s’oppose aussi à l’ascension , dont elle diminue la durée d’une égale quantité. Ainsi, l’oscillation s’accomplit dans le même temps que si elle se faisait dans le vide : seulement l’étendue des excursions décroît sans cesse. Mais d’un autre côté le poids du mobile est diminué dans l’air , du poids d’un volume d’air égal au sien. Il faut donc corriger la yaleur de g qui eutre dans nos formules.

Soit g' la pesanteur dans le milieu où l’on se trouve , et p le poids du pendule dans ce milieu : g la pesanteur et p le poids du mobile dans le vide, enfin tn la masse de ce corps. On a

p' = g'm , p = gm , p'g = pg , g =

Telle est la valeur qu’il faut prendre pour g dans nos éq. Ces formules donnent pour la longueur r du pendule à secondes , en fonction de la durée ou du nombre de ses oscillations infiniment petites, des expressions de la forme r = gK, qui deviennent ainsi

*■’ = jt'K = — K =

r étant la longueur du pendule r réduite au vide.

262 GÉOMORPlilE.

291. Soit v le volume du pendule , i et t' les poids spécifiques de l’air aux températures centigrades o et x, sous les pressions om,76 et h. Les lois de Mariotte et de Gay-Lussac, relatives aux densités des gaz, apprennent que sous la pression h mètres de la colonne de mercure, et sous la température a?, la densité de l’air qui était t à o degrés et à om,j6, devient

0,76 ( 1 -f- mx ) ’

en faisant m = 0,00575. Ainsi, le volume d’air v pèse ÿv dans les circonstances données , et le poid? p du pendule dans l'air, devient dans le vide p — p' -f- <?’v, d’où p' = p — J'v. Donc

Rapportons les poids spécifiques à celui de l’air qui est à o° et o“,76 pris pour unité. Le volume d’air qui pèse 1 dans ces circonstances est le même que celui de la matière dont est formé

cTp I

le pendule qui pèse *; on a — = — ; ainsi

0,7 b* ( 1 -J- mx )'

Telle est la formule qui indique de combien il faut augmenter la longueur d’un pendule ¥ oscillant dans l’air , pour la changer en celle d’un pendule oscillant dans le. vide.

292. On préfère souvent , pour combiner plus facilement les résultats, calculer le changement que produit, dans le nombre des oscillations du pendule, la diminution de poids causée par la présence de l'air. Voici comment on s’y prend :

Le pendule va plus vite dans le vide que dans l’air, et dans un temps t , il fait plus d’oscillations , puisqu’il pèse plus. Soient n le

PENDULE

nombre d’oscillations dans l’air , et n dans le vide , pendant la durée t , g et g les intensités correspondantes de la pesanteur ; les temps d’une demi-oscillation infiniment petite sont respectivement

ainsi , l'on a , dans le même temps t ,

d’où

Si v est le volume du pendule, D sa densité , Scelle de l’air , dans les circonstances où l’on opère; les forces g' et g étant entre elles comme les poids du pendule dans le vide et dans l’air, on a

» ( D — <r) En substituant ci-dessus , il vient

. «--«v/O + 0=7) ('+îw=ri)'

en se bornant au icr ordre qui suffit ici , parce que J1 est très-petit par rapport à D. Donc la réduction au vide est

C’est la quantité qu’il faut ajouter au nombre » d’oscillations dans l’air pour avoir celui n' des oscillations dans le vide , pendant le même temps.

Désignons , comme ci-devant , par h la hauteur du baromètre réduite à la température zéro, par x la température centigrade de l’air lors de l’expérience : la densité de l’air sera donnée par la valeur ci-dessus, * étant sa densité à zéro et om,76; ainsi, la

réduction au vide est

ÜÉOMORPHIE.

2 D — om,7 1> ( i — mx )

Comme J~— yÿy de la densité de l’eau dans les mêmes conditions en évaluant D par comparaison avec ce liquide, multipliant haut et bas par 770 , la réduction au vide est donc

On calculera donc cette expression en prenant pour D la densité du pendule comparée à celle de l'eau à zéro : on ajoutera à n le nombre donné par cette formule, et l’on aura le nombre n' d’oscillations qui seraient faites dans le vide, par le même pendule, dans la même durée que n.

Par ex. , un pendule en cuivre dont la densité est D = 8,287 fait 90173, 6oscillations infiniment petites dans l’air à i2°,66=;f, d’où 770 D — 1 = 638o; le baromètre est à om, 7.31 46 , d’où

numér. . . .

dénom. . . .

dénom

réduction = 6,671 ; ajoutant à n, on a n' = 90180,27.

C’est le nombre d’oscillations dans le vide faites en 24h moy.

Nous ne devons pas dissimuler que cette théorie conduit à des résultats qu’on ne trouve pas conformes aux faits observés. M. Bessel a le premier signalé ce désaccord , et même il en a expliqué la cause. Le pendule contracte une adhérence avec l’air qui touche sa surface , et une couche de cet air est entrainée par ce corps dans ses oscillations : la masse du pendule , et son moment d’inertie en sont changés, et la formule (12) manque d’exactitude. Ce savant trouve même que la couche d’air adhérent varie avec la figure et la substance du pendule , et qu’on ne peut nullement en calculer l’influence. Pour réduire les oscillations au vide, il propose de remplacer la correction (12) par la for-

l’ENDULE.

mule — ^ , C étant une quantité variable avec les pendules,

et dont on devra déterminer la valeur pour chaque corps oscillant. A cet effet, on fera mouvoir le pendule dans l’air , puis dans le vide, et comptant les oscillations dans les deux cas , on déterminera combien il y en a de plus en 24b, dans l’un des cas qûe dans l’autre : ce sera la correction dont on a donné ci-dessus l’expression algébrique; et comme les conditions de l’expérience ont fait connaître h et x , on en tirera la valeur de C : ce sera celle qu’on devra attribuer à ce coefficient dans toutes les expériences qu’on fera avec le même pendule, lorsqu’on voudra les réduire au vide. M. Bessel a reconnu que le facteur C peut donner une correction double de celle qu’indique l’expression (12) {Voy. un Mémoire de M. Baily , Traite. Philoe. i832).

293. Il suit de cet exposé que voici la succession d’expé- Ticnces et de corrections qu’exige la détermination qui nous occupe.

On fait osciller librement un pendule dans une cage de verre, où l’on mesure la température et la pression barométrique. Si ces données varient dans la courte durée de l’observation , on les suppose constantes, en prenant la valeur moyenne. On en fait autant de l’arc d’excursion du pendule. En comparant' le mobile à une horloge dont la marche sur le temps moyen est bien régulière et bien connue, on juge, par l’intervalle entre les coïncidences des deux pendules , du nombre n d’oscillations effectuées en 24h moyennes par le pendule d’épreuve; et il s’agit de réduire ce nombre , à la température o°, à des vibrations infiniment petites et au vide. Les éq. précédentes indiquent les corrections que doit éprouver n pour ramener ce nombre à cet état hypothétique. On connaît ainsi quel est le nombre d'oscillations que ferait le pendule en 2't1' moyennes dans le vide, si ses excursions étaient infiniment petites : il ne reste plus qu’à trouver la distance entre les centres de suspension et d’oscillation pour avoir les éléments du problème relatif à la figure de la terre.

294. Il y a encore une considération qu’il ne faut pas négliger. Comme la pesanteur décroît à mesure qu’on s’élève au-dessus

266 GÉOMORPHIE.

du sol, c’est toujours au niveau des mers que les expériences doivent être faites, ou réduites. Cette réduction se fait par le calcul suivant.

Soient g et g' la pesanteur au niveau des mers , et à une éléva-^ tion h au-dessus de ce niveau : comme la pesanteur varie en raison inverse des carrés des distances au centre de la terre, on a la proportion (où R est le rayon du sphéroïde)

Ainsi, = = 9 — Ifc) * • (,2)

en négligeant le 2° ordre de h , qui est toujours excessivement petit par rapport à R. Réciproquement

»-»(,+Tf)' (,3)

donne la pesanteur g au niveau des mers, quand on la connaît sur une sommité. Ainsi les durées d’une oscillation infiniment

petite sont * y/ — au niveau de la mer, et n y/ à la station. Les nombres correspondants N et N' d’oscillations dans le même temps t , sont donc

et comme

on a

< — NVi ] = wWr N-NVr

Réduction au niveau de la mer = -=A . . . (i4)

C’est ce qu’il faut ajouter au nombre d’oscillations observées pour trouver combien le même pendule en accomplirait au niveau des mers dans les mêmes circonstances.

PENliULE.

El si le pendule r au niveau des mers est synchrone avec le pendule r sur une sommité, c.-à-d. fait des oscillations de même durée, l’éq. (4) rNa = /N'1 devient

rN'a (i-j-A)’ = /N”,

d’où r(i -f-ÿ) =»', r = r'(i— (i5)

Ainsi , l’on peut toujours calculer la longueur r du pendule synchrone, au niveau des mers, quand on connaît celle r1 sur une sommité , et réciproquement.

Le Dr Young dans les Trans. phü. de 1819, considérant l’attraction des couches terrestres sur le pendule, introduit dans la formule (1 4) un facteur qu’il estime de o,5o à 0,75. M. Baily le fait de 0,666. Ce sujet mérite d’étre examiné avec plus d’attention. Il existe encore une cause d’incertitude sur l’influence des couteaux de suspension. Les petites corrections qu’appellent ces circonstances sont encore dans le vague.

295. Il nous reste à dire comment on trouve lu longueur r d’un pendule mis en expérience. Sans doute , lorsque la forme en est géométrique, on peut facilement recourir aux formules de la mécanique, pour assigner la position du centre d’oscillation. Ainsi, la distance entre ce centre et la suspension est un simple résultat de calcul.

Mais comme les pendules sont souvent d’une forme très-composée, que d’ailleurs les métaux dont on les fait sont rarement homogènes , on ne peut guère se fier à ce procédé pour déterminer une distance que la plus petite cause d’erreur peut altérer au point de jeter du doute sur les résultats. Ainsi , on a dû renoncer le plus souvent à ce procédé.

296. Pendule de Borda. Cet appareil consiste en une sphère de platine pesant environ 5,2 hectogr., suspendue à un fil de métal très-délié d à peu près 4 mètres de long , et battant presque la double seconde. La densité du platine étant très-grande, les pertes dues à la résistance de l’air sont faibles , et le mouvement oscillatoire se conserve très- longtemps. La correction due au

268 GÉOMORPHIE.

poids du fil , sur le lieu du centre d’oscillation est à peine sensible. Une calotte mince en métal, de même rayon que la sphère, adhère à la surface de celle-ci, par simple juxta-position, à l’aide d’une légère couche grasse qu’on interpose. Le fil tient au sommet de la calotte par une vis de pression. Comme on peut changer la calotte de place sur la boule, par la réitération des expériences , on se rend indépendant du défaut d’homogénéité du métal. On prend le fil très-fin pour diminuer la résistance de l’air, et l’on n’y emploie pas le fer, pour éviter les attractions magnétiques. On pèse une grande longueur de ce fil, et l’on en conclut le poids et le diamètre de la partie qu’on a mise en expérience.

La suspension se fait par un prisme triangulaire en acier, dont la tranche, ou couteau , pose sur un plan d'agate, qu’on a rendu très-solide, et qu’on a mis exactement horizontal, à l’aide d'un niveau à bulle d’air. Le support est fortement scellé dans la muraille. On donne à ce prisme d’acier la forme qui rapproche le plus possible son centre de gravité de l’arête servant de couteau ; et l’on fait en sorte que son centre d’oscillation soit tellement disposé , que la durée de ses excursions soit à peu près la même que celle du pendule même , afin que les mouvements de celui-ci n’en soient pas influencés.

Un arc gradué qu’on fixe vers le bas du fil , et dont le centre est sur le couteau, sert à mesurer l’arc u? d’excursion.

Lorsqu’on a compté le nombre d’oscillations accomplies dans la durée des deux coïncidences , pour en déduire ce nombre en ai h. moy. , on fait les réductions dont nous avons parlé , pour obtenir le nombre d’oscillations infiniment petites, dans le vide, pendant le même temps. Il reste à mesurer la longueur du pendule.

297. L’appareil est pourvu d’un plan d’acier horizontal , qui est mobile de bas en haut, par degrés insensibles, à l’aide d’une vis de rappel. On met le pendule en repos , on élève ce plan jusqu’à 'ce qu’il touche la boule , sans la soulever. Puis , avec le comparateur , on évalue avec une extrême précision , la distance D de ce plan au couteau de suspension. Si cette mesure est prise à

PENDULE

une température- différente de celle de l'expérience, on la réduit à celle-ci; comme aussi l’étalon du comparateur, qui a dû luimême être divisé à une autre température (ordinairement à zéro). Ce calcul se fait par la théorie du n° i3o.

Si de D on retranche le rayon p de la sphère, D — ^ est la distance de son centre au plan de suspension. Le centre d’oscillation de cette sphère est , comme on sait , au-dessous de ce point

de la quantité

Ainsi, en ne considérant que la boule,

le centre d’oscillation a , pour distance au couteau ,

mais le poids du fil et celui de la calotte ne doivent pas être négligés , ce qui apporte une petite correction à cette longueur du pendule simple synchrone. Le centre de gravité de la calotte étant fort près de sa surface se confond sensiblement avec son centre d’oscillation. Ce centre est pour le fil, qui est un cylindre, ou plutôt une ligne droite pesante de longueur A, son moment d’inertie par rapport au milieu, qui en est le centre de gravité, est A3 , et la distance de son centre d'oscillation à l’axe est

Or , on sait (voy. ma Mécanique , n° 364) que si trois poids P, P', P", liés ensemble, oscillent autour d’un axe horizontal , leurs centres de gravité respectifs étant aux distances respectives A , h', h", de cet axè, et leurs centres d’oscillation aux distances l, l , l", la distance du centre d’oscillation du système au même axe est

t PA/ + FAT -f Vh'T , P/t 3 1

L~ P/* + F/*' + Y'h' ~ , PW PT

1 "H PA + P/i

Ce 2° terme est la petite correction que doit subir la longueur / propre au centre d’oscillation de la sphère, pour avoir égard à la

270 GÉOMORPHIE.

calotte et au fil de suspension. On fait

298. Pendule invariable. Les petites incertitudes et les soins multipliés qui doivent accompagner les mesures et les calculs, ont fait préférer au pendule de Borda, un corps fondu d’un seul jet sous une forme très-simple , tel qu’une règle quadrangulaire et mince , à l’un des bouts de laquelle on fixe le couteau de suspension. Ce corps, d’un usage et d’un transport facile, offre beaucoup de facilité aux observations et aux calculs. Mais M. de Prony l’a perfectionné en lui donnant deux axes de suspension réciproques l’un de l’autre {Voy. fig. 96).

On connaît cette propriété du pendule composé, que les centres d'oscillation et de suspension sont réciproques ; c.-à-d. , que si l’on fixe des couteaux à ces deux points, la durée des oscillations sera la même exactement, qup l’on prenne l’un ou l’autre pour axe de rotation. Cela a lieu quelle que soit la figure et les substances qui composent le pendule. C’est le pendule invariable réciproque qui a servi à faire les belles observations les plus récentes.

Ainsi , l’on fait fondre d’un seul jet , on écrouit et l’on répare une règle de cuivre , et l’on y fixe , vers l’un des bouts , un couteau en acier. Puis au centre d’oscillation , on en adapte un semblable; un petit mouvement ménagé à ce dernier couteau permet de lui assigner , par des expériences , la place nécessaire pour la réciprocité de ces deux axes de suspension. On conçoit que rien n'est plus aisé que de mesurer exactement l’intervalle des couteaux , qui est la distance des centres de suspension et d'oscillation.

299. Maintenant que nous savons trouver la longueur du pendule simple à secondes, dans le vide, à oscillations infiniment petites, en un lieu quelconque, et réduit au niveau des mers, appliquons les nombreuses expériences qu’on a faites à la recherche des constantes des éq. (7) et (8) et de l’aplatissement de la terre. Les plus exactes de ces expériences sont rapportées dans la table VI , à la fin de l’ouvrage, extrait d’un travail étendu que M. Saigey a inséré dans le Bulletin mathèm. de M. Férussac, p.32, T. VII.

PENDULE

La ire page contient les lieux d’observation, leur altitude ou l’élévation au-dessus de la mer, la latitude, la longitude, enfin les noms des observateurs ; la ac page donne les longueurs du pendule simple à secondes réduit au vide et è des oscillations infiniment petites; la colonne suivante, la réduction au niveau des mers; puis celle qui vient après , le résultat du calcul donné par la formule générale que nous allons exposer.

Enfin la dernière colonne M indique le nombre de secondes de temps moyen dont le pendule observé avance ou retarde en ai h. moy. sur le pendule calculé.

Quant à la réduction au niveau des mers, elle n’a point été faite par les formules qui ont été données ci-devant, mais par celle du cap. Kater {Tram. phil. 1819). Ce savant veut qu’on ' tienne compte de l’attraction de la couche terrestre comprise entre la station et le niveau de la mer , ce qui le conduit à cette formule de réduction

ahr ( 1 -j- c sin’ l ).

/» est l’altitude , r le pendule , l la latitude du lieu , a et s des coeff. constants : log a — y .497 1G79, log£ = 3 .49230-28.

Les résultats numériques obtenus par les savants anglais ont été ramenés aux mesures françaises en prenant le mètre = 39,37079 pouces anglais (Transac. phil. , 1 8 1 8), et la longitude de Greenwich a° 20' 24" à l’ouest du méridien de Paris.

3oo. M. Saigey a traité tous les nombres précédents par la méthode des moindres carrés, et est arrivé aux conséquences suivantes.

La longueur r du pendule * impie à secondes sexagésimales de temps moyen dans le vide , par oscillations infiniment petites, réduit au niveau de la mer, et la pesanteur g, en un lieu quelconque dont la latitude est 1 , sont données par les équations suivantes :

272 GÉOMORPHIE.

r = A -|- B sin’ l ,

g = C D sin’ l .

en(*) ( A = ora, 99 102557,

log B = 3.7061690 ,

mètres ) C = 9” 78 1097,

logD = 2.6994687,

en l A = 3ri, 060817,

log B = 2. T935oo3,

pieds j C = 3opi,i io35 ;

log D = 1 .1878000.

Donc pendule à T équateur

= om, 99 102557 = A

pendule au pâle

= om,996o9745 = A-{-B,

gravité, ou force d'attraction au pôle

= 9m,83io89 = C -f- D,

pesanteur à F équateur

et, puisque

force centrifuge à F équateur

en admettant , avec Delambre , que le rayon équatorial . . .

= 6 3j6 984™ , et que le jour sidéral soit composé de 861 64" de temps moyen ; on a

gravité , ou force d’attraction à l’équateur = 9m,8i493g. Rapport de la force centrifuge, sous l’équateur à la force

d'attraction = — — 1 •

D'après le théorème de Clairaut (éq. 9, p. 254, n° 284)

1 5 0,0339097 o,oo5o7r88

? = i 1 peu

O On trouve dans le Philos. magaz., décembre 1822, p. 123, sept à neuf expériences du capitaine Lcutke , qui conduisent à un résultat un peu différent de celui-ci.

PENDULE

Telle est donc, la valeur de l’aplatissement donnée par les nombreuses expériences du pendule. Alors, en prenant

rayon -équatorial = 6 376 984” = i43a lieues ,

le rayon polaire est *= 6 354 34gm = 1427 lieues,

ce qui donne l'aplatissement de 2Sf635m = 5 lieues.

Soi . Pour trouver la longueur du pendule en un lieu désigné, on emploiera la formule ci-dessus , qui repose sur les observations les plus certaines ; et bien que l’aplatissement soit un peu

trop fort pour l’usage de la géodésie , qui doit préférer - — — ,

D OUjU J

ou de l’astronomie , où il est , cependant on devra prendre

—g— , quand il s’agira du pendule. Mais , après avoir appliqué

ces éq., on n’aurà pas encore la longueur demandée, et il faudra faire les corrections inverses dues à l’altitude du sol , et à ce que les oscillations ne sont ni infiniment petites, ni dans le vide.

5o2. On peut remplacer dans nos éq. sin* l parÿ( 1 — cos 2/) et l’on a

r — om,9g356i5i — ÿ B cos il, g = 9™, 788904 — 7-Dcos 2/.

3o3. Cependant si l’on préfère l’aplatissement ^ , on trouve

en ! A == om,99o83io, log B = 3.7259738,

mètres j C = 9™, 779109, log D = 2.7202737,

r = om, 9934914 — 7 B cos il, g = 9m,8o5366 — fD cos il.

3o4. On avait présumé que les deux hémisphères boréal et austral ne soient pas symétriques. On a donc calculé à part l’aplatissement qui résulte des observations du pendule dans les régions australes , et l’on a trouvé p — 3i 1,6, valeur aussi voisine

GÊUUÉSI*. 18

GÊ0M0RPÎ11E.

qu'on peut l’espérer de — -. Il n’y a donc pas lieu d’admettre un

aplatissement différent pour les deux pôles ; et si l’on considère que les erreurs d’observations du pendule se reportent fortement sur la valeur de p, et que les attractions locales doivent exercer une grande influence , on est fondé à conserver l'aplatissement

—r que donne la théorie de la lune, et que confirment souvent 3o5

les opérations géodésiques.

3o5. Si un pendule de longueur R fait (N-j- «) oscillations, réduites au vide et à l’infiniment petit, et qu’on veuille que, dans le même temps, il n’en accomplisse que N, il faut porter sa longueur à r , en se conformant à l’éq. (4) qui devient

rNa = É ( N -j- w )%

d'où r — R = R . . . (16)

Telle est la correction qu’on doit faire subir à un pendule pour lui faire battre la seconde de temps moyen, lorsqu’il avance sur ce temps, et qu’il l’indique à peu près. Par ex., on trouve qu’il faut allonger le pendule de omm,023 pour chaque seconde d’avance. On néglige toujours les n *, qui sont insensibles. Dans le cas d’un retard il faut au contraire accourcir d’autant le pendule.

M. Poisson a examiné , par l'analyse , l’influence de la résistance de l’air et de l’extensibilité infiniment petite du fil de suspension, et comme il a trouvé que l’effet en était insensible, nous ne nous en sommes pas occupés. Il en faut dire autant d’un mouvement de rotation que la boule peut prendre sur le fil de suspension.

5o6. Dubuat, par une série de belles expériences, et depuis lui, dans les derniers temps , M. Bessel, ont prouvé que la perte de poids que la présence de l’air faisait éprouver nu pendule était soumise à une correction trop faible, en se servant de l’éq. ( i a). M. Bessel a reconnu qu’une couche notable d’air reste adhérente au mobile, accroît le volume, diminue la densité moyenne, et

augmente le moment d’inertie. En aorte qu’il faudrait, selon ce savant, multiplier le 2e membre de l’éq. (12) par un coefficient qu’il évalue, par sa théorie et ses expériences, à j ,946, et à i,625 [A cad. Berlin , 1826).

Dans les Transactions Philosophique* de i832, M. Baily fait l’examen d’une multitude d’expériences qu’il a suivies , dans le vide et dans l'air, sur environ 80 pendules , de formes et de natures différentes ; et il prouve que le vêlement d’air que le pendule entraîne dans sa marche, dépend , non pas de la substance et de la densité du mobile , mais de sa forme. D’où résulte que le facteur de la formule ( 1 2) varie avec les pendules mis en expérience de j, 5 à 2,8, selon les cas. Les corrections s’élèvent jusqu’à 52" en un jour. Ainsi, pour obéir aux conditions du problème, lorsqu’on veut réduire un pendule au vide, il faut, ou soumettre le pendule d’expérience aux épreuves propres à en déduire le coefficient qui convient à ce mobile en particulier, ou du moins chercher parmi les pendules que M. Baily a mis en expérience celui qui est analogue au pendule proposé , et employer le facteur que ce savant a obtenu par ses expériences.

307. Les Anglais, pour fixer les bases de leur système métrique, ont voulu les tirer de la nature, et ont pris pour terme de comparaison la longueur du pendule à Londres. Mais ce terme, quoique plus facile à trouver que l’arc de méridien, est moins propre à cet usage : car

i° On y fait entrer le temps qui est une considération étrangère;

20 On suppose le jour moyen divisé en 24h, l’heure en 60', la minute en 60", circonstances tout à fait arbitraires;

5° On ignore si la pesanteur n’est pas variable avec les siècles ;

4° Des mesures prises à Londres ne sont pas propres à fixer les incertitudes des autres nations , que leur orgueil doit repousser (voy. Si/st. Métr. , T. III , p. 46 1 ) ;

5° Les mesures qu’on fait du pendule à secondes exigent des expériences très-délicates ; mais il faut ensuite y appliquer les calculs de réduction. Or, les auteurs, fondés sur des expériences

S7G GÉ0M0RPII1E.

attentives, ne sont pas d’accord sur la quotité rigoureuse de ces réductions. Non-seulement celle du vide est douteuse ; mais M. Sabine a montré que la réduction aux arcs infiniment petits n’est pas exacte : les attractions locales jouent ici un rôle aussi important, qu’il est étranger à l’objet.

3o8. Nous terminerons celte exposition en parlant d’un trèsbeau travail de M. Baily , sur les expériences du pendule faites par feu le capitaine Foster ; ce mémoire est inséré parmi ceux de la société astronomique de Londres , T. VII. Ce mémoire du plus haut intérêt rapporte les diverses expériences faites par l’illustre voyageur en i4 lieux différents du globe; la durée des heures d’observations est de 3 1 84. Le soin particulier qu’il a mis à les faire, leur nombre , l’habileté du calculateur, tout se réunit pour donner un grand poids aux résultats. M. Baily, par une discussion éclairée des diverses expériences, est conduit à trouver, pour l'aplatissement de la terre,

M. Baily analyse aussi les observations de MM. Kater, Goldingham, Hall, Brisbane, Sabine, Fallows , Freycinet, Duperrey et Leutke; il conclut enfin de tous ces travaux, l’aplatissement

— — l — -. On remarque combien ces résultats sont voisins de 7—-. 285.26 1 5o5 *

nombre déduit des observations lunaires, et qui doit inspirer

plus de confiance que toutes (es autres déterminations.

ClIAP. VI. — CARTES GÉOGRAPHIQUES.

309. La surface terrestre n’étant pas développable , on n’en peut représenter sur un plan la disposition des lieux , qu’en altérant plus ou moins leurs distances , l’étendue des surfaces , les valeurs angulaires des lignes , la figure des rivages , les crêtes des montagnes, les sinuosités des routes, etc. Tantôt on en fait la pertpective , c’est-à-dire qu’on imagine l'œil d’un spectateur placé en un lieu arbitraire, mais déterminé, duquel il envoie des

MAPPEMONDES. 877

rayons à tous les points qu’on veut figurer : une glace, interposée entre l’œil et les objets, coupe œs droites en des points qu’on suppose conserver l'empreinte des lieux ; celte glace offre leur image, telle que les voit le spectateur dont il s’agit. Tantôt on choisit, sur un plan, un système arbitraire de lignes droites ou courbes pour représenter les méridiens et les parallèles , et l’on place chaque localité sur ce réseau , au point qui a la longitude et la latitude convenables : c’est ce qu’on appelle une projection. Les cartes des royaumes sont construites de la sorte ; les mappemondes sont de3 perspectives.

3 10. Lorsqu’on veut tracer une carte par projection, l'art consiste à choisir pour méridiens et parallèles des lignes faciles à tracer , et dont l’ensemble altère peu les distances des lieux , et les surfaces. Il y a mille manières de varier le système de projection; nous nous bornerons à décrire ici celles qui sont en usage, les seules qu’il soit nécessaire de connaître , renvoyant pour le surplus au Traité de Topographie de M. Puissant, p. 6i et 99, et à X Introduction de M. Lacroix à la Géographie de Pinkerton. De plus, l’aplatissement terrestre est trop faible pour être pris ici en considération , en sorte que la terre sera censée sphérique.

Mappemonde t.

3n. La mappemonde est la perspective d’un hémisphère terrestre, sur un plan passant par le centre, l’œil du spectateur étant situé au point de la surface où elle est rencontrée par le rayon perpendiculaire au plan central. Cette perspective est appelée projection stéréographique.

Ainsi , l’on suppose l’œil du spectateur placé en un point quelconque de la surface, et qui en voit toutes les parties à travers la masse, comme si elle était transparente. Le plan de perspective passe par le centre de la sphère, et est perpendiculaire au rayon qui va à l’œil. C’est l’hémisphère opposé à ce plan qu’on représente. On imagine des lignes dirigées de l’œil aux différents points remarquables de cet hémisphère , et que ces droites laissent leurs empreintes sur le plan central. L’ensemble de tous ces

GEOMORPHIE.

points sera la projection stéréographique, ou la mappemonde.

Ainsi, dans la fig. 97, le demi-cercle AOB est horizontal, et AQB relevé verticalement au-dessus de AB. L’œil est en O , CO étant perpendiculaire sur AB se rabat au centre C. Le demicercle AQB tournant autour de AB se rabat sur l’horizon, et complète le cercle AOB : et de même AOB tournant autour de AB, va continuer , sur le plan vertical , le demi -cercle AQB. Un point P' de l'horizon a sa projection en p' sur la direction du diamètre AB. Le point P a de même la sienne en p : en sorte que si PP' est l’axe terrestre, P et P les pôles, situés sur le cercle horizontal , p et p’ en seront les projections.

5 1 2. Avant tout , il faut démontrer ce théorème fondamental : quelles que soient les positions d'un cercle tracé sur la sphère , et de F œil situé en un point de la surface , la perspectioe sera toujours un cercle , sur le plan perpendiculaire au rayon mené par F œil.

En effet , si le plan du cercle NN' (fig. 97) est perpendiculaire éu plan horizontal AOB , contenant l’œil O , les rayons visuels menés à cette courbe formeront un cône oblique NON' à base circulaire , dont l’axe Oc aboutit au centre c de ce cercle. Le plan vertical AB coupe ce cône selon une courbe nn’ , qui est la perspective demandée , et qu’il s’agit de prouver être un cercle. Or, si l’on fait tourner les lignes NO, N'O, autour de l’axe Oc, elles reproduiront ce cône NON', passant successivement par tous les points du cercle NN'etde sa perspective nn'. Une demi -révolution amène le point n en tn, et v! en m, en sorte que la droite nn’ prend la position mni qui est l’axe de la section transposée. Mais l’angle N= puisque l’un a pour mesure -j-AN' -}--f AO, et l’aulre4-AN'-j--f OB, valeurs égales : ainsi, l’angle N'N0=mm'0 ; inm est parallèle à NN', et le cône est coupé par un plan parallèle à sa base ; la section mm' , et par conséquent aussi nn , est donc un cercle (*).

(*) Lorsqu’un cône oblique NON', à bâte circulaire NN', est coupé par un plan nn', tel que l’angle N' = n, la section appelée anti parallèle ou tout-contraire est on cercle, t'oyez mon Court de Math, puret, n» 640.

MAPPEMONDES

5i3. La ménue chose arrive quand le plan du cercle NN' a une direction quelconque par rapport au plan horizontal AOB (fig. 98). En effet, menons au centre c du cercle NN' la droite Ce ; celte droite sera perpendiculaire à son plan et en mesurera la distance au centre C de la sphère. Le plan COc, mené par l’axe Oc du cône et la droite Ce , est perpendiculaire au plan NN', puisqu’il passe par Ce; il coupe la sphère suivant l’arc QL , et le plan de perspective selon CL; cette perspective est la courbe nn. On voit que le cercle NN' et sa perspective nn sont, à l’égard du plan OCc, précisément dans les conditions de la fig. 97. Il suffira de faire tourner le plan QNO autour de QO, et de le rabattre sur QOA, pour ramener tout au même état que ci-devant.

3i4. Exprimons analytiquement les relations du cercle NN' (fig. 97) et de sa perspective nn. Soit l’arc PN = A , distance de ce cercle à son pôle P, et l’arc PQ = D , distance de ce pôle au point Q diamétralement opposé à l’œil. La perspective sera le cercle nn dont le centre est en i, le rayon ni — p, la distance Ct = a des deux centres C et *. La construction qui donne ces éléments est fort simple. On mène les droites ON, ON', qui coupent AB en n et n , et donnent le diamètre nn! , dont le milieu * est le centre du cercle de projection.

Cherchons les valeurs des quantités a et p ; car cette construction cesse d être possible, quand le cercle NN' est situé de manière à donner des lignes ON, ON', si divergentes, que les points n et n sortent des limites de la feuille. Or , on a

N'Q •= N'P -j- PQ = D -{- a, NQ = D — a,

le rayon CO étant = r , C», C n , sont les tangentes des angles CO/i, COn', mesurés par les moitiés des arcs NQ, N'Q , d’où

C«' = tang j ( D -j- A ) = S’, Cn = tang~(D — a)=C, (1) <*— C* = 7 ( Cn' -{- Cm ), f — f ( Cn' — Cn ) ;

or, Cn'±Cn =

sin 4 ( D -)-a) sin4-(D — A)

cos i* ( D -J- a J cos^-(D — a)’

ff,±f ^sin^D-fAjcos^D— A)±sin;(P— a^s^D-H1)

cosi(D-j-A) . cosx(D — a)

280 GÉOMORPHIK.

Lorsqu'on préfère le signe -{- , le numérateur se réduit à sin D ; dans le cas du signe — , il devient sin a : quant au dénominateur,il est = 7 ( cos D -{- cos A ), en vertu de leq. (n) p. 34. Donc

sin D sin D

cos D + cos A -2 COS 7 (D-f-A)cosf(D — a y ■ * '■a'

sin a sin A

e COS D -[- COS A 2 COS j ( D -J- A ) cos f(D A ) ’ * ‘

d’où a : p sin D ; sin a.

315. Ces éq. renferment toute la théorie des projections sté— réographiques. Pour projeter un cercle donné sur la sphère, il ne s’agit que de prendre les valeurs de D et a qui résultent de la position de ce cercle sur la sphère. Et quand le cercle NN' (fig. 98) qu’on vent projeter n’est pas perpendiculaire au plan horizontal AOB, la section n est encore circulaire; mais son centre «est situé sur la droite CL d’intersection du plan vertical AQ8 avec le plan CQN’O. C’est ce qui sera développé.

3 1 6. Projection ttéréographique sur l’horizon. Si le centre C de la carte (fig. 9 5) est la place d’une ville, telle que Paris, ce lieu occupera sur la sphère le point Q diamétralement opposé à l’œil O; l’axe PP' de la terre fera avec AB l’angle PC A égal à la latitude l du lieu ; PQ sera la colatitude. Le plan vertical élevé sur AB sera celui de la perspective; et comme le plan tangent en Q est parallèle à celui-ci et est l’horizon du lieu , on conçoit la cause de la dénomination de cette projection.

Tirez de l’œil O (fig. 97) les droites OP , OP' , aux deux pôles P et F, vous aurez en p , p, intersections avec AB , les projections p et p de ces pôles , et celle pp de l’axe PP'.

Les parallèles à l’équateur sont des cercles, tels que NN' perpendiculaires à PP' et au plan AOBQ; leurs projections sont des cercles dont on obtient le diamètre nn' en tirant les droites ON , ON' ; le milieu i de nn est le centre ; in = in est le rayon de ce parallèle. Ainsi, dans la figure g5, qui est celle de la mappemonde dont il s’agit, après avoir tracé le cercle AOBQ, les

MAPPEMONDES

diamètres rectangles AB, OQ, l'axe PP' faisant l’angle PCA égal à la latitude / du lieu , on marque les projections des pôles en p et p, en tirant OP et OP'. Le pôle p est ici seul utile , parce que la mappemonde ne représentant qu’un hémisphère, ne montre qu’uu seul pôle p.

Les lignes ON, ON', menées à des points N, N', à égales distances de P donnent le diamètre nri d’un parallèle, dont NP est la colatitude. La figure montre tous ces parallèles tracés pour des latitudes croissantes de 1 5 en 1 5 degrés. Q&O est l’équateur qui passe évidemment par les points Q et O, car ce cercle étant perpendiculaire à PP', et passant en C, sa circonférence perce le tableau en O et Q. La difficulté de concevoir les constructions tient beaucoup à ce qu’ici le demi-cercle AQB représente à la fois le plan vertical de perspective, soit debout sur AB, soit recouché sur l’horizon, et aussi le prolongement du demi-cercle horizontal AO B.

3 1 7. Lorsque les rayons deviennent très-grands, comme pour les latitudes australes, cette construction devient très-incommode ; elle est d’ailleurs sujette au défaut de précision dû à l’obliquité des ligues menées de O sur AB. Calculons donc pour chaque parallèle le rayon p de sa projection , la place qu’occupe son centre i, a — Ci, et les distances " et s' du centre C aux points d’intersection n et ri des cercles.

Faisons , dans les équations (2) et (3) ,

D == PQ = colatitude du lieu central de la carte (fig. 97 et gô), D = 90° — latitude l, constante pour tous les parallèles :

puis donnons successivement à â les valeurs de PN, ou les distances polaires des divers parallèles , mesurées sur PN'AOB ; d’où

cos l

sin l -J- cos a

sin a

e sin / -}- cos A C = tang ( 4î° — ~l — Ÿ a ).

GÉ0M0RPH1E.

Et d’abord , si l’on fait a = o ou = i8o°, les petits cercles se réduisent à un point p ou / ; on a p = o , et l'on trouve , pour les projections des pôles ,

= tang — D = Cp ,

sin D

cos D -j- i

sin D i ,

=r = — cot - D — C» .

cos 1) — 1 2

Ea projection de l'arc PP’, ou la distance pp entre celles des pôles, est

sin — D

, i , î sin ~ D , cos f D

pp = tang — D cot - D = — -1

sin’ f D -}- cos3 -i- D 2 sin — D cos D sin D ’

donc, le milieu F de pp' est donné par

CF=pF-FC=-L--tangiD= —

sm D °2 2smTDcosTD

sinfD

coséü

î — 2 sin3-i-D 2 sin f D cos 7 D

— — — = cot D = tang 1. . . . (6) sin D

3 1 8. En faisant croître a de o à »8o°, on obtient les valeurs de a, p et S propres à déterminer la projection de chaque parallèle. Pour la partie australe , A yo°, et cos A prend le signe — ; a et p sont très-grands, les cercles ont peu de courbure. Ces formules sont assez commodes à employer. Au reste, nous donnerons pour ces cercles un procédé plus facile encore. Pour l’équateur a = 900, et l’on a

— = tang D = cot l,

cos D

cosD sin l '

Si l’on veut marquer les tropiques et les cercles polaires , on fera A = 25° 28' , 66° 32'. Ainsi, le tracé des parallèles n’oflre plus aucune difficulté. On a coutume de diviser la circonférence

MAPPEMONDES

AOBQ de 5“ en 5° : nous avons pris ici des arcs de i5®, pour éviter la confusion.

3 1 (). Venons-en aux méridiens. Ces cercles passent tous par les pôles P et P' (fig. 97), et leurs projections parp et p ; pp est une corde qui leur est commune, et leurs centres respectifs sont par conséquent situés sur li'FH , perpendiculaire au milieu de pp'. Ce point F vient d’étre déterminé (éq. 6) : il est d’un usage plus commode que le point p, qui est souvent trop éloigné du centre C de la figure. Tous les points de H'FH sont les centres de circonférences passant en p et p, lesquelles sont les projections d’autant de méridiens terrestres. Déterminons celui de ces cercles qui est la projection du méridien incliné de 6 sur le plan OBQ, c.— à-d. dont 6 est la longitude.

Le cercle NN' (Gg. 98) dont le pôle est en R , est situé d’une manière quelconque sur la sphère ; les éq. (2) et (3) s’y appliquent, dans le plan OCc perpendiculaire au cercle NN'. Ainsi, la perspective est un cercle nn, dont le centre * est sur la ligne LC oblique à AC : la distance C< = «, et le rayon p = in, sont déterminés par la position de NN' sur la sphère, c’est-à-dire par la distance RQ de son pôle R au point Q , et par l’angle AQL que font les plans RCO et AQBO. Pour que ce cercle NN' devienne un méridien, il faut faire A = 90°, parce que tout grand cercle est à yo° de son propre pôle R. Quant à D , qui représente l’arc PQ (fig. 9") , cette lettre n’a plus la valeur 90“ — l, car le cercle ou méridien NN' (fig. 98) n’est plus perpendiculaire à l’axe terrestre, et passe au contraire par cet axe. Remplaçons D par 41, qui représente cet arc RQ, attendu que nous voulons conserver à D la valeur 90° — l.

Ainsi , a = tang 4,, (9)

P = = sec : . . . . (10)

cos ’4j

donc, le centre 4 du cercle de projection est, sur la droite CL , distant de a du centre C, L étant le point où l’arc QRL , de 90®, coupe le plan horizontal AOB, cet arc passant par le pôle R du cercle NN'. On décrira de ce centre * un cercle avec le rayon p.

284 GÉOJIOftPHlE.

Mais il faut connaître AL = f qui détermine la direction de CL et l’arc RQ = , en fonction de fl.

520. Le cercle PMP' (fig. 99) est un méridien vu en perspective; TT' est l’équateur. En faisant tourner PMP' autour de PP', le méridien prend toutes les inclinaisons fl sur le plan AOB , le pôle R de ce cercle le suit dans sa révolution et décrit l’équateur, parcourant des arcs égaux à ceux de ce méridien : le triangle sphérique RQT, rectangle en T, comprend

TR — 90° — fl, RQ = ïi, QT — 90° — D, et AQL=p,

puisque Q est le pôle de l’arc AL. Ainsi , l’on trouve

cos = sin D sin ô, cot f — tang 3 cos D. . . (11)

Chaque méridien a sa longitude fl, inclinaison de ce plan sur AOBQ ; on en tire les valeurs correspondantes de 4' et de f. La ir* donne , et par suite, les éq. (9) et (10) donnent a et p, qui déterminent le cercle de projection , dont le centre est sur la droite FH (fig. 97). La 2e éq. (1 1) donne la direction f du rayon Ct sur lequel on doit porter a.

521. Mais ces éq. fournissent une construction très-simple. Dans le triangle pFa (fig. 101), où a est le centre de l’une des projections de méridien , et pa son rayon p , on a

»F = p X cos Jfpa , cos Fpa = — = = sin fl.

P sin D

Ainsi , l’angle Fpa est le complément de la longitude 3 du méridien , dont la projection a son centre en a. Donc , du centre p , décrivez un quart de cercle FS avec un rayon arbitraire (on l’a pris ici égal à F p) : divisez ce quadrans de 5° en 5° , par ex. , à partir de S (on n’a pris ici les arcs que de 1 5° pour éviter la confusion); et marquez les divisions des n°* 5, 10 , i5. . . de S vers F. Pour chaque point , tel que a, tirez pa , qui marquera le centre a sur FH du méridien dont la longitude est Sa = 90° — Fa.

La droite AB doit visiblement couper la projection en deux parties symétriques ; chaque centre a, b’ . . . a son correspon-

MAPPEMONDES

dant a", b" ... à même distance de F , du côté H' , et a en outre le même rayon.

La figure 102 est la mappemonde complète formée de la réunion des figures g5 et joi; l’une représentant les parallèles, • l’autre les méridiens.

322. On est dans l’usage de tracer aussi l’écliptique sur les cartes de géographie : mais c’est faire une chose vide de sens, et propre à donner des idées fausses de ce cercle. Si l’on voulait composer une carte céleste, alors il faudrait le marquer. Cette projection s’obtiendrait facilement par les principes qu’on vient d’exposer. Les astres seraient rapportées à leurs ascensions droites et leurs déclinaisons. Quand on veut que les coordonnées soient les longitudes et les latitudes, l’écliptique tient lieu d’équateur dans la projection , qui d’ailleurs s’obtient par les mêmes principes.

523. Lorsque les centres des cercles sont très-éloignés, les plus grands compas ne suffisent plus pour décrire les arcs. On se procure alors trois de leurs points A, B, C (fig. io4) et l’on trace la courbe, soit par un système de coordonnées rectangles (voy. n° 35o), soit par la propriété de l’angle inscrit. L’arc, dans ce dernier cas , est décrit par le sommet B d’un angle constant ABC, assujetti à passer sans cesse par deux points A et C, et qu’on fait tourner ; le sommet devant passer par B dans l'une de ces positions, cette condition détermine cet angle B mobile. Comme alors les arcs ont peu de courbure , il suffit d’en marquer quelques points.

324. La recherche des trois points A , B, C sc fait comme il suit :

i° Pour /es parallèles. Soit NN' un arc perpendiculaire à l’axe terrestre PP' (fig. 106); le centre de la projection est supposé très-éloigné de C. Le plan NN' rabattu donne la circonférence N17N', et élevant la perpendiculaire fg sur le diamètre NN', fg est l’ordonnée verticale du point de la projection qui est soit au-dessus , soit au-dessous de f. Ainsi , portant fg de f en h et en h', h et K seront deux points de la projection circulaire ; et comme on a déjà le point n, par la valeur (1) de Cm = C. ou par

28G • GÉOMORPIIIE.

la construclion indiquée, les trois points h, n et h' sont ceux qu’on demande pour tracer l’arc de projection.

2° Pour le s méridien s. Le grand cercle qui est incliné de 9 sur le plan horizontal AOB (fig. io3), et va de P en P' dans l’espace, est celui qu’on veut mettre en perspective. L’œil est en O et le plan vertical élevé sur AB est celui de projection. Or, ce cercle PGF va percer le plan AGB en deux points qui sont leurs perspectives particulières : cherchons ces points. L’un d’eux , tel que G, détermine un triangle sphérique AGP' rectangle en A; on y connaît l’angle P' qui est celui d’inclinaison , ou la longitude du méridien P'GP, AP'= iUo° — l; AG = x est l’arc demandé. Ce triangle donne

tang x = sin l tong 9.

On peut donc trouver par le calcul l’arc x qui va de A (fig. 101 ) aux points G et I ; où chaque méridien GI coupe en G et I le cercle AOBQ dans lequel la mappemonde est enfermée.

325. On en tire une construclion fort simple pour trouver ces points G et I de chaque méridien. D’un point quelconque F de AB (fig. 107), celui, par exemple, dont on s’est déjà servi (fig. 101), abaissez la perpendiculaire FM sur l’axe PP’ de la terre, et portez FM de F en K ; faites l’angle FKL = 9 , et la droite KL coupera la verticale FH en un point L, par lequel tirant le diamètre LCG, cette droite coupera le cercle de projection aux points cherchés G et I , auxquels il est croisé par la projection du méridien dont la longitude est 9.

En effet, on a FM = CF . sin / = FK ,

FL — FK . tang 9 — CF . sin l tang 9 ,

FL

d’où , tang LCF = — = sin / tang 9 = tang x,-

donc x — LCF. On décrit du centre K un quadrans qu’on divise de 5° en 5° , et l’on mène par ces points des rayons KL , dont chacun est incliné sur FK d’un arc 9, et donne un point L, un

MAPPEMONDES. 287

diamètre LG } et les points G et I. La droite GI est une corde de la projection du méridien dont la longitude est ô.

3a6. Projection sur le méridien. Appliquons notre théorie au cas où l’œil O (fig. 97) est en un point de l’équateur, et où par conséquent le plan du tableau de perspective AQB est un méridien : le plan vertical QO est l’équateur ; et le plan de projection , tournant autour de AB, de vertical qu’il était, se rabat sur AOQB. Dans le cas actuel , l’axe PP' des pôles se confond avec AB.

Projection des parallèles (fig. io5). La construction indiquée p. 2B0, s’applique ici. PIy est l’axe des pôles ; l’équateur est projeté selon le diamètre OQ;, divisez le demi-cercle OPQ de 5” en 5°, et opérez pour chaque point de division, comme nous allons le faire pour les deux points correspondants N et N' (nous n’avons pris ici que des arcs de 1 5°, pour éviter la confusion des traits). Tirez ON et ON', qui coupent l’axe PP' en M et M' ; MM' est le diamètre de l’arc NMN'qui figure un parallèle. El si l’on ne veut pas se servir du point M', qui peut être fort éloigné , on trouvera le point M, et l’on fera passer une circonférence par les trois points N , M et N', ainsi qu’on l’a expliqué n° SaA.

On peut encore trouver le rayon p de chaque cercle , et les distances du centre C au point M et au centre du cercle de projection , savoir , S et a, en posant D = 90° dans les éq. ( 1 ) , (2) et (3),p. 279 et 280,

tang a — cot latitude l du parallèle,

— — ï> f = tang - /.

sin l 2

cos a

Nous donnons ci-après ces valeurs. On peut faire résulter la construction précédeute’de ces éq. : car, on a

l’angle NOQ =~l, CM = tang ~ l,

CM' = tang -f ( 1 80" — Z ) = cot -j- l,

d’où, CM' 4- CM = 2« = -A,. •'

sin /

288 GÉOMORPHIE.

La symétrie des cercles de part et d’autre de l’équateur OQ , fait trouver à la fois les deux parallèles à même latitude , boréale et australe.

327. Projection de* méridien* ( fig. 106). On se sert des mêmes divisions de la circonférence, et l’on raisonne comme nous allons le faire pour N et N' , la longitude du méridien étant donnée par les arcs QN , ON'. On tire le diamètre NN’, et du pôle F, les cordes P'N, P'N', qui coupent l’axe QO en f et f ; //'est le diamètre du cercle , passant en P et F ; le milieu * de ff est le centre. Un autre cercle, symétrique à celui-ci , a même rayon , et son centre en *" à même distance que i. Cette construction est une modification de celles de la p. 280. On peut d’ailleurs la tirer des éq. suivantes :

- On fait 4 = 90°, et D = fl, dans les équations 1, 2,3, pages 279 et 280, et l’on a ,

e = C/= lang ( 4i° — j fl ), f' = Cf = tang(45° -f -H),

co s fl

a—p — Cf — p Cf = tang fl.

La figure 109 est une mappemonde complète, formée de la réunion des parallèles de la figure io5 et des méridiens de la figure 106. C’est celte espèce de mappemonde qui est la plus usitée.

MAPPEMONDES

Table des valeurs de a, de p et de S, tant en longitude qu'en latitude, de 5° en 5°, le rayon de la mappemonde étant î.