PROJECTION DE LORGNA

ment. On tracera donc à volonté un cercle pour représenter la projection de l’hémisphère ; la sphère devra avoir pour rayon -r|/ 2, ou R = 0,7071 .r. Si l’on diviser en 1000 parties égales, la sphère aura pour rayon 707 de ces parties.

Soit CA = R (fig. 1 1 3) le rayon de la sphère , A le pôle , M'M un parallèle dont la distance au pôle est l’arc AM = A , compl. de la latitude de ce parallèle. La surface de la calotte M'AM est = 2tRA , en faisant la flèche AB — k: d’un autre côté si CI = p est le rayon de la projection du parallèle , sa surface = a?’. On veut que ces deux aires soient égales , savoir, />*= 2 RA. Ce rayon p est donc moyen proportionne} entre le diamètre 2R de la sphère et la flèche AB de la calotte sphérique M'AM. Et comme la corde AM est aussi moyenne proportionnelle entre AB et 2R , il s’ensuit que le rayon CI de la projection du parallèle MM' est égal à cette corde AM.

Donc les rayons des parallèles sur la projection sont les cordes des arcs terrestres qui en sont les distances polaires.

334. D’après cela , on décrira un cercle à volonté pour représenter la mappemonde; on cherchera ensuite le rayon R de la sphère qui est les 0,707 du rayon adopté : ou bien on tracera sur ce rayon r un triangle isocèle et rectangle ; l’hypoténuse sera R; on décrira , avec ce rayon R , un cercle CM' AM , dont on divisera un quadrans de 5 en 5 degrés , et l’on mettra aux divisions les nos 5, 10, i5 . . . à partir d’un point A pris pour pôle. Chacune de ces divisions aura une corde , et l’on tracera , avec des rayons égaux à ces cordes , une suite de cercles concentriques qui seront les projections des parallèles dont les distances polaires des colatitudes sont marquées par les n0ï correspondants. La corde de l’arc de go° sera le rayon de la mappemonde. Cid sera la projection du parallèle mm ; Cd = Am ; et ainsi des autres.

335. II est évident que les calottes sphériques étant égales en surface à leurs projections, les zones comprises entre les parallèles sont dans le même cas. Et comme les méridiens oqt leurs projections en lignes droites diamétrales , tout espace sphérique compris dans le quadrilatère curviligne formé par deux méri-

GÉ0M0RPH1E.

diens et deux parallèles sera égal aussi à l’aire de sa projection; c’est ce qu’on voulait obtenir.

336. La construction précédente est facile, mais elle a moins de précision que le calcul. Cherchons les valeurs numériques des rayons des projections , étant donné le rayon r de la mappemonde.

Pour un parallèle, celui de i5° de latitude par ex., l’arc AM

est de 7 5°, et sa corde est 2 sin ^ , prise dans le cercle de rayon R, ou sR sin ^ rayon étant î. Aiûsi , pour le pa-

rallèle dont la latitude est l, le rayon de la projection est

P=r|/ 3 . sin (45° — tO*

C’est ainsi que pour le parallèle de 4o°, on a l = 4o, et P = 0,59767 . r. Le rayon de la projection est donc formé de 398 parties de celui de la mappemonde divisé en 1 000. La table suivante donne les valeurs de p pour tous les parallèles de 5° en 5®, le rayon r étant 1 .

On remarquera que la projection du parallèle de 3o° de latitude a précisément pour rayon celui de la sphère.

337. Sur une carte ainsi construite , on peut aussi dessiner un pays, en plaçant au centre C, non plus le pôle, mais une ville quelconque. Car, en imaginant le diamètre de la sphère terrestre qui passe par cette ville , et une suite de plans perpendiculaires