PROJECTION FRANÇAISE

sauf à effacer ensuite ceux des arcs qu’on ne croit pas nécessaire de conserver.

34g. A proprement parler, l’espace ab du méridien, qui sépare deux parallèles est arbitraire; il n’est déterminé que lorsque le rayon sa l’est lui-méme : mais, comme ce rayon est donné par la cot l, on a coutume de prendre à volonté l’arc ab, qui représente une longueur métrique connue; on prend cette distance sur une échelle de parties égales , appropriée à l’objet. Mais ensuite le rayon sa est déterminé, et = cot /, qu’on trouve sur la même échelle , d’après la valeur numérique de ce rayon.

Pour tracer une carte selon la projection de Flamsteed modifiée , il est bon de calculer l’amplitude de l'arc moyen AB , par la formule angle S = D sin l, p. 297 , D étant le nombre de degrés de longitude que la projection doit embrasser , et fia latitude du parallèle moyen dont il s’agit ; et l’on divise ensuite cet arc en parties égales , pour obtenir les points de section des méridiens. On évite ensuite les petites erreurs dues à ce qu’on regarderait l’arc de i° comme égal à sa corde. Au reste, ce qu’on va dire de l’application du calcul à cette projection lève toutes les difficultés.

35o. On est arrêté dans ces constructions par l’impossibilité de décrire des cercles d’un très-grand rayon; car les régions qu'on veut figurer sont si étendues , le plus ordinairement , que le centre S se trouve trop éloigné pour que les plus grands compas puissent y suffire; cet inconvénient se rencontre surtout dans les basses latitudes. Il est donc préférable de déterminer les arcs de cercle par points , à l’aide du calcul : c’est ce que nous allons exposer.

On tracera, au milieu de la feuille, les perpendiculaires indéfinies CA , N’N (fig. 1 1 9) ; N' AN représente le parallèle moyen de la carte; on connaît le rayon CA = R cot/, R étant le rayon terrestre, et l’on suppose que la distance CA = r est trop grande pour que le parallèle puisse être décrit d’un mouvement continu. La carte doit embrasser D degrés de longitude; ainsi, l’angle N'CN = C est connu et == D sin /, l étant la latitude du parallèle N' AN. Faisons la corde N'N = 2a, et la partie CI = £ > ces lignes

sont connues , car le triangle rectangle NCI donne

NI = a = rsin-fC , CI — rcos-i-C = £, AI=r(i — cos-J-C), AI = 2r sin’ŸCC^q. 6, p. 34).

On a donc les limites N , N' de l’arc en longitude , et son point A de rencontre avec le méridien principal. L’éq. du cercle dont l’origine est en C est x1 -}- y1 = r1 ; pour la porter en I , il faut changer x en x -j- S , et l’on trouve (#-}-£)’ — »■’ — y%

x = p/(r-fy)(r — y) — C

Pour un point M de l’arc , IP = y , PM — x. On divisera IN en parties égales, et pour chaque point de division, on trouvera Xx correspondant ; en sorte qu’on obtiendra autant de points qu’on voudra de l’arc AN, et par conséquent de AN', qui lui est symétrique.

35 1. Si l’on veut tracer les droites NC , N'C tendantes au point éloigné C , on se servira du théorème suivant :

Lorsque deux lignes ha, de ( fig. t ao) concourent en C, on peut, sans connaître ce point C, tirer d’un point f donné, une droite fg qui concoure en ce même point C. En effet , menez ac, bd, parallèles quelconques, puis la droite fd, et par le pointe, sa parallèle indéfinie ch ; vous aurez les proportions

Cd l Ce II bd l ca, C d ; Ce ;; df \ cg ;

on a donc hd l ca II df \ cg. Portez donc sur ch la longueur cg , quatrième proportionnelle à bd, ca et df; la ligne fg ira concourir au point C.

35a. Il ne reste plus qu’à diviser en parties égales l’arc NAN' (fig. 119) pour avoir les points de section des méridiens avec ce parallèle; et même s’il s’agissait ici de la projection conique, on tracerait ces méridiens, puisqu’ils sont, dans ce cas, des droites concourantes en C. Il en est autrement dans la projection de Flamsteed modifiée.

A partir de A , milieu de la carte , on portera sur AC , tant en haut qu’en bas, des longueurs égales à l’arc de i° de méridien, et il restera à tracer, par points, chacun des parallèles passant

PR0JFXT10N FRANÇAISE. ÔOS

par ces divisions et dont les rayons r', r", . . . sont visiblement connus. On pourra donc, pour chacun de ces arcs , se servir des mêmes formules , en y prenant r , r", ... au lieu de r.

Mais comme nous faisons abstraction , dans ce qui précède , de l’aplatissement de la terre, il convient de généraliser cette théorie.

353. Étant donné s la longitude A et la latitude A tPtm lieu , trouver les coordonnée* rectangles x et y du point de la carte où ce lien est situé (fig. 121).

Soit C le centre de la projection , AK le parallèle du milieu dont la latitude est/; BM un autre parallèle dont la latitude est A ; M le point dont il s’agit , dont les coordonnées sont AP = x , PM = y, AX étant tangent en A et perpendiculaire au méridien principal GA, on a AB = s — distance en latitude des deux parallèles ; celle longueur * est connue par l’éq. (19), p. 1 8 1 , et représente un arc de méridien de (a — /) degrés. Le r^yon CA = r du parallèle moyen est aussi connu : c’est la longueur KM (fig. 78) qui, dans le triangle rectangle KMN, où MN = N est la normale , a pour valeur r = N cot /.

Soit encore 0 l’angle ACM que font les deux rayons CB , CM, le triangle CQM donne, en faisant CM = p,

QM — x — p sin 0, CQ = p cos 0, y = PM = BQ -j- s = s BC — CQ = s -j- p — p cos 0; donc #=/jsin0, y = s-\-p( 1 — cosâjssj-j-s/jsin’-f 9. On peut même éliminer p de cette dernière éq. à l’aide de la iro

. . . x — cos 9

X = psm6, y = s 4- x . ; — - — = S 4- X tang - «.

• sin 0 1 s *

p est connu , puisque p — r — s; ainsi , il ne reste plus qu a trouver 0, et l’on aura pour chaque point M de l’arc BM les deux coordonnées x et y. Bien entendu qu’il faut prendre s en signe contraire pour les parallèles situés au-dessous de AK , c’est-àdire quand la latitude A du point M est <( /.

La longitude donnée est A, c’est un arc d’équateur. Si l’on