Le secours du déclinatoire abrège beaucoup l'orientation
de la planchette : c’est une petite boussole , dans une boite en carré long, dont le bord extérieur sert de règle, et dont l’aiguille ne peut parcourir qu’environ 4o degrés. Lorsqu’à la première station on a orienté la planchette , ainsi que nous l’avons dit, on pose le déclinatoire sur la planchette , en faisant tourner la boite jusqu’à ce que l’aiguille se place suivant une droite longitudinale parallèle au bord, ou ligne de foi. On trace une droite , sur le plan, dans cette direction, le long du bord de la boite, lequel sert de règle. Quand la planchette aura été transportée ailleurs, on lui donnera l’orientation convenable, en posant le bord du déclinatoire le long de cette même droite, et l’on tournera la planchette jusqu’à ce que l’aiguille aimantée se place sur la ligne de foi. Dans cette position, on fixera la planchette, qui aura précisément la direction nécessaire pour procéder aux pointés suivants ; en sorte qu’elle se trouvera de suite dans la position qu’elle aurait reçue, si on l’eût disposée par un pointé sur la station précédente.
29. Ce que nous venons de dire pour expliquer la construction et l’usage de quelques instruments de topographie, suffit pour faire comprendre comment on peut tracer le plan d’une ville, d’une campagne, d’un parc, d’une forêt, et de toute localité peu étendue. Il existe beaucoup d'autre3 instruments destinés au même objet ; mais outre que ce qui vient d’être dit peut suffire pour en concevoir l’usage, la plupart de ces instruments sont peu employés, ou le sont seulement dans des circonstances spéciales.
Si l’on rencontre dans la nature quelques particularités qui ne se prêtent pas aux méthodes précédentes , on mesure certains angles avec le graphomètre , quelques distances avec la chaîne , et l’on se trouve conduit à résoudre des triangles pour obtenir la position des signaux sur le plan. C’est de cette théorie que nous allons nous occuper.
Les formules trigonométriques sont d’un usage perpétuel en topographie; il convient donc de les rappeler avant tout: mais comme ces équations sont établies sur des considérations purement
CÊOD&SIK. 3
géométriques, nous jugeons inutile de donner les démonstrations de ces formules, renvoyant, à cet égard, à notre Cours de Mathématiques pure».
On a des tables de sinus naturels des arcs, ou de valeurs des sinus, pour un rayon divisé en parties égales : mais on préféré se servir des logarithmes de ces nombres, tels qu’on les trouve dans les tables de Callet, parce que les calculs sont plus faciles à faire.
3o. sin ( A ± B ) = sin A cos B ± sin B cos A . . . (i) cos ( A ± B ) = cos A cos B zp. sin A sin B . . . (a)
sin a A = a sin A cos A (5)
cos aA = cos’ A — sin’ A
— 2 cos’A — i = i — 2 sin’A ... (4)
î -{- cos A = a cos’ [ A (5)
i — cos A = 2 sin’ 7 A (b)
tang 7 A tang ( 45° -f- ~ A )
/ /i — cos A\ \/ \ i -f* cos A/ î -j- sin A co s A
— cos A
sm
Si. Les équations suivantes servent à rendre propres aux logarithmes les formules qui contiennent des sommes et des différences de sinus et de cosinus, en y introduisant des produits et des quotients.
sin A ± sin B = a sinj( A±B) . cosj( A=pB) (io)
cos A -f- cos B = a cos~( A-f-B ) . co«7( A — B) (i i)
cos B — cos A = 2 sin ■ ( A - j— B ) . sin j ( A — B ) ( i a)
sin’A — sin'B = sin ( A -j- B ). sin ( A — B)... (i3)
tang A — tangB sin ( A — B )
tang A -(-tangB sin(À-j^B) *
sin A -f- sin B ^ lang-^ A -{- B ) f ^
sin A — sin B tang A — B) ’ '
5a. Le rayon étant 1 , on a les séries suivantes: A3 . A5 A'
sin A = A —
co s A = i —
arc A = sin A -{-
tang A = A + ^
■6 + etc
sin3A ,
5 sin5A ,
. 3.5 sin’ A ,
etc
etc. (16)
arc A = tangA — -^tang’A -f* jtang5A — {lang’Aetc. (20)
log(i-fz)— M(* — — •îz4 + etc0 (22)
Dans ces séries, A désigne la longueur d’un arc pris dans le cercle dont le rayon est 1 ; M est le module ou le logarithme tabulaire de la base e du tyttème népérien; c’est-à-dire que M est le facteur constant qui , multipliant tous les logarithmes népériens , les change en logarithmes tabulaires ; la est le logarithme de la base a pris dans le système dont la base est e ;
on a la = Pour les logarithmes de Briggs et de Callet ,
dont la base est 10, on a les valeurs :
M = o,43i29 44819 o325i 82765 log. M — 1.60778 43 r 1 3 oo556 77817 e = 2,71828 18284 5go45 23536
33. Enfin x désignant la demi-circonférence du cercle dont le rayon est 1, ou le rapport de toute circonférence à son diamètre, on a
x — 3,i4i59 26535 898, log. x = 0.49714 98726 g4r.
34. Soit a la longueur d’un arc de cercle dont le rayon est R,
ôG
(an) son nombre de degrés ; (a) , («') le nombre de minutes et de secondes de cet arc ; fi" le nombre de degrés de l’are égal au rayon ; fi, fi" les nombres de minutes et de secondes de cet arc; on a la proportion R \ /i° \\ a \ («"); d’où l’on tire R(a°) = ^0a; on aurait de même R (a') = fia, R («'')= /'a; ainsi, dans tout cercle de rayon R,
R (a0) = fina, R (a') = fia , R (a") — fl' a ,
et le rayon du cercle étant pris égal à l’unité linéaire , ou R= 1 , '
on a
arc i
arc 1
fi =•
arc 1
On tire de là, en considérant que les arcs de i' et 1" sont sensiblement égaux à leurs sinus, et en faisant R = 1 et (a°)=l8o°, a = r,
fi° — = — 57°, 29578,
^ T arc 1° ' 7 3 ' ’
648ooo"= mCM,M3r
a- SU1 I 7 7
log fl° = 1,75812 26024 09172, compl' log fi° = 2,24187 73675 90828, log fl =m 5,55627 38827 92816, compl' log fi' = 4,46572 61172 07184 = log. sin 1', log fi’ — 5,5i442 5i55i 76459, compl' log fi' — 6,68557 48668 2554i = log. sin 1".
Donc quand une équation contient un arc déterminé par ta longueur a, le rayon étant 1 , on changera a en (a") sin i", et cet arc sera exprimé par son nombre de secondes (a").
35. Soit K la corde d’un arc dont (a°) est le nombre de degrés, on a
K = 2 R sin -j (a0).
36. La surface S d’un triangle rectiligne dont a, b, c sont les
trois côtés, R le rayon du cercle circonscrit, r celui du cercle inscrit, est telle, qu’on a
S 2 = p(p — a) [p — A)(p — c), 4RS = abc, S — rp, en posant 2p — a -j- b -J- c.
07. Résolution des triangles rectangles. Dans les équations suivantes, A désigne l'angle droit , a l’hypoténuse, b et c les deux autres côtés, B, C les angles aigus qui sont respectivement opposés à b et c (fig. 33) :
b = a cos C = a sin B , \
c — b tang C = b cotB, l (20)
38. Résolution des triangles obliguangles. On a les équations
sin A sin B sin C
a’=A3-{-e’ — ’ibc cos A (23)
A , B, C représentent les trois angles du triangle; a, b, c les côtés qui sont respectivement opposés à ces angles (fig. 32).
x" cas. Étant donnés deux côtés et un angle opposé à l’un d’eux, l'équation (24) donne le 2° angle opposé : et comme le sinus de cet angle répond à deux arcs supplémentaires, on a, en général, deux solutions, à moins que les conditions ne rendeut l’une inadmissible.
^2° cas. Étant donnés deux angles et un côté , on connaît le 3“ angle, et l’équation (24) fait connaître les deux côtés.
3° cas. Connaissant deux côtés A et c et l’angle compris A , on a
tang - ( C — B ) = — - — - . cot - A :
d'où = 90° — 7 A, i(C-B)
et enfin C = m-\-n, B = w» — n.
Autrement. On pose tang 7 = 2 j‘n * ^ y/(bc).
Celle équation donne l’arc auxiliaire $>, et ensuite on a
cos f
4e cas. Connaissant les trois côtés a, b, c, on trouve un angle A par les équations suivantes , dans lesquelles
sin
cos
iA = N/((ürrl)M),
Autrement. On trouve les deux segments a? et y formés sur la base a par la perpendiculaire abaissée du sommet A (fig. 32), par les équations
les angles B et C résultent ensuite des équations c cos B = x, b cos C = y.
5° cas. Triangles isocèles. En faisant b — c et B = C, la base est a, l’angle du sommet A; on a
b sin j A = A a = p — b, p « l a + b.
Comme on donne deux des quantités B, b et a, la 3® résulte évidemment de l'une de ces deux équations.
3g. Comme il faut être exercé aux applications des formules de la résolution des triangles , nous donnerons ici les valeurs des côtés et des angles de triangles , auxquels on pourra appliquer ces équations. On prendra pour données les parties élémentaires qu’on voudra ; les autres seront les inconnues que le calcul doit faire trouver. En variant les éléments donnés, on se proposera divers problèmes qui seront résolus par les formules qu’on a exposées , et ce seront autant d'exercices utiles de ces sortes de calculs.
Triangle rectangle (T épreuve.
log == t. 7553030 1.6583930 1.5334543
log lia B =9.9030900, cos B ... 9.7781512, long B ... 0 . 1249389.
Triangle obliquangle d épreuve.
COtés. Logarithmes.
a = 57™, 770, log =r 1 . 7617094, b = 71 ,577, log = 1 . 8647735,
C = 87 ,811, log = 1.9435489,
Angles. Log sin.
4o. Trouver la largeur dune rivière, d un étang, etc., et en général la distance à un point inaccessible. Supposons qu’on ne puisse atteindre le point C (fig. 34), et qu’on veuille trouver la longueur AC: on mesurera une base AB, et les angles A et B du triangle ABC; puis en résolvant ce triangle, on obtiendra le côté AC.
Observez que si l’angle A est droit, et l’on peut souvent le construire tel à l’aide de l’équerre ou du graphomètre, etc., le triangle ABC est rectangle , et le calcul devient très-facile, car on a AC= AB tang B;et même si l’angle B est de 45 degrés, comme AB = AC, l'opération se réduit à mesurer la base AB. Ainsi , en s’éloignant de A, dans la direction AB perpendiculaire à AC, jusqu’à ce que l’on trouve, avec l’équerre, que l’angle B = 45“, on a de suite la distance demandée AC.
4 j. Trouver la distance AC (fig. 54) entre deux points A et C, quand un obstacle interposé empêche de voir t un lorsqu on se trouve à F autre. On stationne en deux points B et D sur une direction rectiligne BAD passant en A , et l’on choisit ces points tels , que l’on puisse voir C lorsqu’on est en B et en D : on mesure les distances AB , AD , et les angles B et D. Ensuite on ré-
log p — 2.0357459, log (p — a) == 1.7059406, log ( p — b ) = 1 . 5682252, log (p — c) = 1.3173947, Log cos. Log long.
sout le triangle BDC dans lequel on connaît le côté BD et les angles, et l’on calcule le côlé BC; enfin on résout le triangle ABC, où l’on connaît les côtés AB , BC et l’angle B compris , et l’on obtient la distance demandée AC.
42. Trouver la dû tance entre deux point» A et C, l’un et F autre inaccessibles (fig. 55). On suppose , par exemple, qu’une rivière passe entre le champ BD où l’on se trouve , et les signaux A et C; il s’agit de connaître AC sans traverser la rivière. On mesurera une base quelconque BD et les angles que font , en B et D, les rayons visuels dirigés aux points A et C; on résoudra les triangles ABD, CDB,où l’on connaît un côté BD et les angles adjacents, ce qui donnera les distances BA, BC du point B aux deux signaux inaccessibles; enfin résolvant Je triangle ABC , où l’on connaît les deux côtés B A , BC et l’angle B compris , on trouvera la distance demandée AC.
43. Un triangle ABC (fig. 35) étant donné, trouver le lieu d un point D, en connaissant les angles ADC = f, ADB =•?. Ce problème trouve son application dans un cas qui se rencontre quelquefois en faisant un levé topographique. Trois points A, B, C sont marqués sur un plan où l'on voudrait fixer la place d’un quatrième point D qu’on a oublié dans l'opération. On stationne en D et l’on y mesure les deux angles S et y; les valeurs de ces angles suffisent pour déterminer le lieu du point D.
Donnons d’abord une construction graphique qui a presque toujours l’exactitude suffisante. On décrit sur le côté AC un segment de cercle capable de l’angle S; puis sur AB , un segment capable de l’angle y ( Cours de Math, pures, n° 208, IV). Le point D demandé est à l’intersection de ces deux arcs de cercle. Il pourrait arriver que l’un de ces cercles passât à la fois par les trois points A, B, C ; alors le problème serait indéterminé ou absurde, selon que l’autre cercle serait ou non dans le même cas.
Le procédé analytique que nous allons donner a plus de précision. Soient a, b, c les côtés; A, B, C les angles donnés du triangle ABC; désignons par a: et y les angles inconnus ABD , ACD ; il s’agit de trouver ce3 deux angles , et le problème sera
TRIGONOMÉTRIE RECTILIGNE, résolu. Les triangles ABD , ACD donnent (éq. a4):
h sin y sin S
c sin x sin y '
Soit calculé un angle y, tel qu’on ait tang
c sin S b sin?’
sin y „ . ..
on aura tang y = . , d ou 1 on tire (eq. 7 et 1 5)
sin#
ou
j -j- tang y sin x -{- sin y
1 — tang f sin x — sin y ’
tang ( 45° -f y)
to»g;(* + y)
tang l (x y j’
Faisons, pour abréger , m = \ ( x -}- y ), n = ~(x — y); on connaît m, puisque la somme des quatre angles du quadrilatère valant 36o°, on a a m — x -j- y = 3Go° — ( A -f- CDB ), savoir ,
Ainsi, l’équation ( 1 ) donne l’arc auxiliaire ?, (3) l’arc m, et enfin on tire de (2)
tang n = tang m . col ( 45° -j- y ) (4)
Une fois m et n connus, on & x=m-\-n, y=m — n, ce qui complète la solution du problème. On peut même calculer les longueurs AD , CD et BD.
44. Trouver la longueur BD = x (fig. 36) et un des segments de la droite AH , connaissant les deux autres segments AB = a , DH = b , ainsi que les angles a, S, y, sous lesquels, d’une station quelconque C, on voit les longueurs AB, AD, AH, distances des points B, D, H à t extrémité A.
L’angle extérieur d'un triangle étant égal à la somme des deux intérieurs opposés, on tire des triangles ABC , ACD , ACH, angle CBD = A -j- « , angle CDH = A s, angle CIH =?= A ?•
Mais les triangles ABC, ADC donnent (éq. 24)
BC sin A CD sin A
a si n a ’ a x sin £ ’
d’où, en divisant membre à membre,
BC a sin £
CD ( a -f- x ) sin *
De même, les triangles BCH , DCH donnent
BC sin ( A -{- y ) CD sin ( A -{- y )
b -{- x sin ( y — <* ) ’ b sin ( ? — £ ) ’
BC ( b -j- ^ ) sin ( y — £ )
CD b sin ( 7 — a ) ’
d’où, égalant ces deux valeurs, il vient
a sin £ ( b -{- x ) sin (? — £ )
( a — j— x ) sin x b sin ( y — a) *
ab ,Sin ”3in( 7 ~~a) =(« + *) (&-f g) =gi-f-(a + *)* + *’•
sin a sin ( ? — £) v r 1 ’ 1 ' 1 ' '
Pour résoudre par rapport à x cette équation du a® degré, on
pose
4 ab sin £ sin (? — a)
<*"8>=“(^îÿ • -T) <■>
et l'on a x' -j-(a-J-i)a>=-j(a — b y tang’ ? — ab , x = — ï(a + *)±j(a — è)V/(‘ +taag’?)-
L’équation ( i ) fait connaître l’arc auxiliaire y, et l’on a enfin
2 2 COS f
On ne prend que celle des deux racines qui est positive. Notre solution suppose que le segment inconnu x est intermédiaire entre a et A: s’il en était autrement, on prendrait soit a, soit b, pour inconnue dans l’équation ci-dessus, qui ne serait plus que du ier degré.
45. Rédutre un angle , un point ou une distance à r horizon. Il est rare que les signaux soient dans un plan horizontal ; alors ce ne sont pas les angles observés, les distances mesurées qu’il faut porter, avec le rapporteur et le compas, sur la feuille du plan qu’on veut tracer, mais bien leurs projections horizontales (n° 1). Ainsi, lorsqu’un signal D (fig. 3i)est observé des stations B, C, qui sontdansunplan horizontal au-dessus duquel D est élevé, comme lorsque D est le sommet d’un clocher , d'un arbre ou d’une montagne, il faut substituer, sur le plan , au point D, et aux angles DCB, DBC, leurs projections horizontales A, ACB, ABC. De même, lorsqu’on a mesuré une longueur CD sur un terrain en pente, il ne faut porter sur le plan que la longueur AC qui en est la projection horizontale.
Et d’abord , dans ce dernier cas , le triangle rectangle CAD donne les équations CA = CD cos DCA, ou x — a cos 4, en désignant par a la longueur mesurée, par x sa réduction à l'horizon, et par 9 l’inclinaison delà pente. Four mesurer cet angle fl, il n’est point nécessaire de voir le point A; projection de D, attendu qu'on tourne le graphomètre sur son genou pour mettre le limbe vertical , à l’aide d’un fil à plomb; puis on pose un petit niveau à bulle d’air (n° 5i)sur le diamètre principal de l'instrument, afin de disposer ce diamètre verticalement (fig. 22). Dans cette situation, on dirige l’alidade ou la lunette au signal D, et on obtient l’inclinaison 6 [Voy. p. 19).
Le plus souvent , l’angle fl n’est que d’un petit nombre de degrés , et la valeur x =a cos fl ne se trouve pas avoir assez de précision. On préfère calculer la correction que a doit subir , c’està-dire l’excès de a sur x; savoir z=a — x=a — a cos fl; car on a
z — a { 1 — cos fl ) = 2a sin* \ fl,
à cause de l’équation (6) (p. 34): et comme l’arc f ô est très-petit et de diffère pas sensiblement de son sinus , on peut remplacer ici le sinus par l’arc , sans que la construction qu’on en déduira puisse altérer le résultat; ainsi z — ~aô*. Enfin, remplaçant la longueur de l’arc fl pris dans le cercle dont le rayon est 1 , par
le nombre de minutes ô' de cet arc , (n° 34) , ou 9 par 9 sin i', il vient
z = i o5’ sin’ i\
Telle est la quantité qu’il faut retrancher de la longueur mesurée a pour la réduire à l'horizon ; mais il faut que l’angle 9 de pente ne soit que de 3 à 4 degrés au plus, et exprimé en minutes : on a log ^ sin’ i' = 8.6264232. On abrège les calculs en formant une table des valeurs de z , où l’on trouve à vue ces corrections pour toutes les inclinaisons de minute en minute. Nous retrouverons plus tard une occasion d’appliquer celte théorie (n° 127).
46. Supposons que des stations G et B , on ait observé un signal élevé D (fig. 3 1 ) avec un instrument impropre à réduire les angles à leur projection horizontale ; comme c’est le point ordinairement invisible A qui doit être marqué sur le plan, le triangle CDB doit être remplacé par CAB. En se plaçant successivement en C et en B , on mesurera , avec un graphomètre dont le limbe est vertical , les angles DCA , DBA : on mesurera aussi la base BC, ainsi que les angles DCB, DBC, en disposant le limbe dans les plans respectifs de ces angles.
On résoudra le triangle obliquangle BDC, où l’on connaît un côté CB , et les angles adjacents C et B , et l’on en déduira les longueurs CD , DB. Alors , dans les triangles rectangles verticaux ADC , ADB , on aura les longueurs AC et AB , qui détermineront le triangle BAC , et par suite la projection A. Nommant B , C , D les angles du triangle DBC , dans l’espace ; d la base BC,
on a d’où •
et
sin D ; d sin C : BD G sin B : CD,
