SI

MOYENS D’AVOin I/IIEUDE.

moyenne entre les heures écoulées l et ( , ou — ( t' — t ) est — P r dp ■' ajoutant l'heure t de la ire observation, il vient d’abord p *= ( t -{- t — dp), puis l’heure de la pendule , à

l’instant du passage au méridien , est

en représentant — — dp par x.

Ainsi, lorsqu’on aura pris des hauteurs correspondantes du Soleil , l'heure du milieu aura besoin de recevoir une correction x ~—~dp, pour devenir celle du chronomètre à midi vrai, à raison du changement de déclin, dans cette durée.

Il s’agit donc de calculer cette correction x =«= — ~ dp.

Soient 2 = la distance zénithale du Soleil , l la latitude du lieu complément de l’arc PZ = 90° — l, D la déclin, de l’astre en A; le triangle sphérique PZÀ donne (éq. 3, p. 66)

cos z = sin / sin D -j- cos / cos D cos p ; . . . (3)

le triangle s’étant changé en PZC, la déclin. D et l’angle horaire p ont seuls varié : différentions donc en prenant ze.il constants:

( sin l cos D — cos l sin D cos p ) </D = cos t cos D sin p . dp ;

dp et </D sont de fort petits arcs exprimés par la même unité, par ex. en secondes de degré. Si v est la variation diurne de la déclin, du Soleil, et que 2 S — t' — t soit le temps écoulé, on a la partie de cette variation qui est produite dans cet intervalle, en posant 241' ; v ” 25 t </D ici 5 est rapporté à

l'heure , et v à la seconde de degré , ainsi que dp ; du reste , v et à sont connus. Tirons donc dp de notre éq. en y substituant cette valeur de c/D , et changeons en outre dp en i5 dp, pour que dp exprime des seconde t de temps (i5® valent ik, p. 344): on en tire

, 5r /tane l \

dp = — — ( -r-2 tang D cot p J ;

180 \ sin/r 0 t

582 GÉ0M0RPH1E ASTRONOMIQUE,

la correction — A dp est donc , en seconde de temps ,

Nous avons remplacé ici p par sa valeur 0, qui, sous les signes cot. et sin. , doit être exprimée en degrés.

4 1 1 . i° D est 1 a déclin. © à midi ; on prend D en—, quand le Soleil est dans les signes inférieurs : la latitude l est négative quand elle est australe.

2° v est la variation de la déclin. D en 24'* , exprimée en secondes de degrés : ce nombre est donné dans la colonne differ. de la Conn. des Tems. On prend ordinairement pour v la moyenne entre les deux variations des jours que le midi cherché sépare. On donne à » le signe — , quand l’astre va en s’éloignant du pôle boréal.

5° S = -f ( t' — t ) est la demi-durée écoulée , exprimée en heures de temps vrai ; on la traduit en degrés sous les signes sinus et colangentes.

4° Quand la i" observation est faite le soir, et la 2' le lendc-r main matin , le calcul dont il s’agit détermine l’heure de la pendule à minuit. D est la déclin, du © à cet instant, et il faut prendre le dernier terme de l'éq. (3) avec le signe -j- au lieu de — .

Ainsi dans l’ex. précédent , si l’on observe le © le 2 octobre i836, on a

et 360 Ü.44370 i

tang/. . . . 0.05540 moyenne. .... 11"48'17",30

cot $ 7.86305 sinS— Ï.90734 correction. . . . -1-20 ,23

tangD. .... 2.80937 — 1.29198-1- h. vraie . .... 11.48.37 ,53

-1-0, "65 .... 1 .81634-1- lcr H 0 C5 éq. temps . . . 11.49.16 ,51

correction 20,23 retard sur t, m. —38 ,98.

LATITUDE

Ce procédé est fort exact, et même le calcul en est très-facile, parce qu’on peut réduire la formule (3) en table, d’où l’on tire à vue la valeur des deux termes.

Mais on est fréquemment exposé à manquer, le soir, les observations correspondantes à celles du matin, parce que le ciel se trouve voilé par des nuages. On comprend que la correction étant en général fort petite, on a été en droit de substituer à D la déclin, du Soleil à midi,, dans l’éq. (3) , au lieu de la déclin, en A. La hauteur de l’astre observé n’est , comme on voit , nullement nécessaire à connaître.

Détermination de la latitude du lieu.

4 1 2. Par deux passage s du méridien, F un supérieur, F autre inférieur. On observe les deux hauteurs LD, LC (fig. i3o) d'une • étoile circompolaire , lorsque dans son cercle diurne CD , autour du pôle P, elle entre dans le plan du méridien, et l’on corrige de la réfraction. La demi-somme de ces résultats est la latitude cherchée / = la hauteur LP du pôle : la demi-différ. de ces deux arcs est la distance PD de l’étoile au pôle , complément de sa déclinaison.

Ainsi , ce procédé est indépendant de cette déclin. , et la fait même connaître. Il est extrêmement précis, mais rarement praticable. D’ailleurs, il ne faut pas que l'étoile soit éloignée du pôle, parce qu’elle passerait en D trop près de l’horizon , où les réfractions sont incertaines, et en C trop près du zénith , où il est difficile d’observer. C’est la Polaire qui est ordinairement l’étoile qu’on préfère, ou quelque autre étoile de la Petite Ourse.

413. Par un passage au méridien. Qu’on mesure avec soin la hauteur ds (fig. i3a) d'un astre s, à l’instant où il est au méridien pzd ; z est le zénith , p le pôle , cd l’horizon , ce l’équateur. Après avoir corrigé de la réfraction — parallaxe, cette hauteur ds (ou la distance zénithale sz), on a ed = pz — go° — l — hauteur de l’équateur ou colatitude du lieu. D’ailleurs , se — D est la déclin, connue de l’astre , complément de sa distance au pôle «p. Ainsi, sd= ed es donne, en faisant h = hauteur

334 CÉ0M0RPH1E ASTRONOMIQUE.

sd, z — <Ji' t. zénithale sz (apres la correction),

l— z-J- D = 90' -j- D — h = go0-^- z — d= 1800 — (A r/). ( 1 )

Ces expressions conviennent aux cas où le partage te fait du côté du sud.

On prend D négatif, quand l’astre est en t sous l’équateur, c.-à-d. quand sa déclin, est australe.

Les circompolaires ont deux passages visibles du côté du nord, (fig. i3o); la formule doit être modifiée pour l'un et l’antre. En raisonnant comme on vient de le faire, on trouve

Postage entre le pôle et le zénith , l=h — d— D — z — 90° — (z - j- d) = h -{- D — 900.. . (2)

Passage entre le pôle et T horizon nord — ~ ( z -(- D )

f=A-j-rf=rgo<,-j-f/ — 'Z— 90“-]- h — D= 1800 — (r-f-D)...(5)

Bien entendu que la déclin, de l’étoile observée doit être corrigée delà précession, de la nutation et de l’aberration.

4 1 4. On a reconnu que les cercles répétiteurs à grands diamètres dont on se sert en géodésie pour les observations astronomiques, sont affectés d’une erreur qui leur est particulière; cette erreur, qui rend trop faibles les distances zénith, observées, provient en grande partie d’une flexion de la lunette supérieure, flexion qu’on attribue au poids de l’objectif.

L’erreur dont il s’agit est très-faible et varie avec les dist. zénith, à peu près dans le rapport de leurs sinus. Lorsque dans une station et pendant la durée des observations , le cercle répétiteur n’éprouve aucun déplacement, on est certain qu’alors son erreur particulière est constante pour une même dist. zénith. Il n’en est pas de même lorsque cet instrument est transporté d’un ] ieu à un autre , du moins à de grapdes distances : son erreur varie, et atteint quelquefois le double de ce qu’elle était d’abord. De nombreuses observations attestent ce fait.

Il suit de là que pour obtenir avec une précision rigoureuse la latitude d’un lieu , il faut observer des dist. zénith, méridiennes de deux astres, l’un au nord, l’autre au sud, distances qui doi-

LATITUDE

vent être à peu près égales , autant que possible, aGn que l’erreur de l’instrument soit la même , et que celle de la réfraction soit dans le même cas. La moyenne entre les deux résultats donnera la latitude avec toute l’exactitude désirable. La deroi-différ. de ces résultats sera donc l’erreur particulière de l’instrument pour la hauteur observée.

Si l’on veut obtenir une seconde détermination de la latitude du même lieu par l’observation de deux autres astres soumis aux conditions énoncées, mais à des dist. zénith, très-différentes des précédentes, on trouvera une latitude très-concordante avec la i10, en admettant que chaque détermination ait été faite par des séries de 20 et 3o répétitions , aGn de compenser les erreurs d’observation. Mais l’erreur particulière à l’instrument qu’on déduira de ces nouvelles dist. zénith, ne sera pas la même que celle qui a été obtenue dans le icr cas. On verra si la variation de cette erreur est dans le rapport des sinus des dist. zénith. ; dans le cas contraire , on cherchera une formule empirique propre à exprimer approximativement la loi de cette variation.

Quand l’heure n’est connue que par des dist. zénith, absolues (p. 344) , il importe alors de connaître l’erreur particulière au cercle répétiteur dont on a fait usage , afin d’appliquer aux observations qui ne seraient faites que d’un seul côté du méridien une correction nécessaire à la précision. Si l’on a la précaution de déterminer le temps par des observation» de dist. zénith, absolues faites à l’est et à l’ouest, la moyenne entre les heures obtenues par ces deux déterminations sera dégagée de l’erreur du cercle. Mais il arrive souvent que , par un prompt changement dans l’état de l’atmosphère, une observation faite d’un côté du méridien , ne peut plus être corrigée par celle de l'autre côté, parce que le ciel s’étant couvert, cette dernière n’est pas possible. Il convient alors d’appliquer à cette détermination unique, la correction due à l’erreur de l’instrument , afin de détruire l’influence quelle exercé sur le résultat.

Nous donnons ici un ex. de ces calculs que M. Corabœuf a bien voulu nous communiquer. Ce savant faisait usage d’un cercle de Gambey de 33 centira. de diamètre , et voulait obtenir

386 GÉOMORPHIE ASTRONOMIQUE,

la latitude d’Angers : il a trouvé

Étoiles observées.

Dist. zénith.

Latitude.

Erreur.

e Petite Ourse

Arcturuj

moyenne . .

Polaire (pass. sup. )

» moyenne,

• 1er résultât 47.28.6,18

latitude définitive d’Angers , . 47.28. 6 ,75.

Les remarques précédentes doivent être faites pour toutes les méthodes d’observation de temps, de latitudes, etc., lorsqu’on prend pour base des calculs les dist. zénit. des astres.

4 j 5. Par de* hauteurs d’un astre observé près du méridien {fig. j 3 1 ). Les méthodes qu’on vient d’exposer ont l’inconvénient de ne pas se prêter à la répétition fréquente, pour affaiblir les erreurs d’observation en les multipliant ; l’astre doit en effet être observé une seule fois à l’instant où il traverse le méridien. Le procédé suivant est dû à Delambre ; il permet de réitérer les me- . sures un grand nombre de fois en peu de temps : c’est ainsi que ce savant a opéré dans la grande triangulation française.

p est le pôle , z le zénith , pzmo le méridien , s un astre voisin de ce plan , ps son cercle horaire , rn le point où l’astre passe au méridien , et par conséquent ps — pm = = qo° — D. Du

zénith z pour centre , traçons l’arc so , et nous aurons zs — zo, s et o de même niveau. Faisons le petit arc mo — x, et calculons-en la valeur. Dans le triangle sphérique pzs , on a (éq. 1 5 , page 7 3)

cos zs = cos (ps — pz ) — 2 sin pz . sin ps sin* -f p : or, sz — oz— zm -j- x ; le i" membrê devient cos zm . cos x — sinzm . sin ar = cos zm ( î — -i-at1) — x sin zm; car , x étant fort petit, on peut négliger les 3e’ puissances de

LATITUDE

cet arc, dans les développements de sin x et cos x , (éq. 1 6 et 1 7, page 55).

Quant au 2® membre, comme pz — go0 — /, c\.ps — go° — D, il devient

cos ( l — D) — 2 cos / cos D sin’ p.

Donc, à cause de zm — pm — pz = ps — pz = D — l , on trouve

f x ’ cos (/ — D) -f- x sin (/ — D) = 2 cos l cos D sin’ ~ p... (A)

Telle est la relation qui est destinée à donner le petit arc x. Pour cela, appliquons le procédé exposé dans la note p. 201 , en y faisant

2 cos l cos D sin’ sin ( / — D )

■jcot(/ — D), ettangar = a?.

4 16. Au reste, on parvient au même résultat par le moyen, suivant, qui montre mieux comment l’approximation se développe , et n’est au fond que le procédé de la note citée.

Négligeons le terme en x pour une iro approximation, et changeons x en x sin 1", afin d’exprimer l’arc x en secondes de degré : nous avons

cos / cos D sin ( /— D)’

en posant

2 sin’ | P sin 1"

On a donc ainsi le nombre x de seconde» dont T astre doit monter de s en m , pour entrer au méridien , dans le temps marqué par l’angle horaire p.

Soit H la hauteur de l’astre en s , Z sa distance zénithale (corrigée deréfractioni — parallaxe ), valeurs obtenues l’uneou l’autre d’après une observation : soient h et z les valeurs de ces arcs quand l’astre sera en »i au méridien ; d’où

h = II -{- x , z = Z — x (D)

388 GÉOMORPHIE ASTRONOMIQUE.

Une Fois qu’on a z ou h, l’éq. (1), p. 354 , fait ensuite connaître la latitude l, comme si l’astre eût été observé au méridien même.

Mais comme, dans tous les instants voisins, soit avant, soit après le passage , on peut obtenir différentes hauteurs ou distances zénithales successives, savoir H', H",.... ou Z', Z",.... en notant les heures p' , p", . . . correspondantes, on obtient, pour chaque observation , une valeur de % ou de z. Toutes celles-ci / devront être les mêmes , parce que les xros ont chacune leur correction propre x’, x”, ... ; et les petites différ. des résultats devront être attribuées aux erreurs d’observation. Et puisque ces erreurs se compensent par leur nombre, la moyenne donnera une latitude fort exacte. Tel est l’esprit de cetlé ingénieuse méthode , dont il nous reste à développer tes conséquences.

417. Les hauteurs méridiennes sont H' -|- x\ H" x", ... ; la moyenne entre n observations donne

= la moyenne H entre les

hauteurs -j- la moyenne x entre les corrections ;

de ces deux parties, la 1” H est celle qu’on lit sur l’instrumént après toutes les observations dont il donne la somme , et qu’on divise par n .• ensuite on corrige de la réfraction — parallaxe. Quant à la 2ro” x, comme dans l’éq. (B), le facteur k varie seul avec p, il faudra prendre pour k la moyenne entre les nombres

cos I cos D

attendu que est un facteur constant.

cos A

4i8. En conséquence : i° on mesurera diverses hauteurs successives d’un astre non loin du méridien , tant avant qu’après son passage, et l’on notera les heures de chaque observation.

a0 On cherchera l’heure que doit marquer la pendule à l’instant du passage, et les différ. entre ces heures et celles des observations, différ. qui sont p1, p", .... en temps.

3° Chaque durée répond à une valeur de k qu’on calculera par l’éq. (C) ; et pour abréger ce travail , on formera une table

LATITUDE

donnant les nombres k pour chaque angle horaire p , p”. . . . C’est ce qu’on appelle des réductions au méridien (voy. table de XAstron. pratique) ; on a ainsi à vue les nombres h, k" . . . .

4° On prendra la moyenne k entre tous ces résultats, et on l’introduira dans l'éq. (B) , qui donnera la correction x que H ou Z doit éprouver pour devenir h ou z (éq. D).

5° On connaîtra donc la hauteur h de l'astre au méridien ou sa distance zénithale z, comme si elle eiït été observée n fois, et qu’on eût pris la moyenne de ces résultats. Enfin l'éq. ( i ) donnera la latitude l avec une grande précision. Mais avant il faudra corrigér h ou z de réfraction — parallaxe.

II faudra aussi corriger l’asc, dr. et la déclin, de l’astre de la précession, nutation et aberration, s’il s’agit d’une étoile pour laquelle ce travail ne soit pas tout fait dans la Conn. des Teins.

4 19. Ces calculs ont une exactitude suffisante ; mais il faut se mettre en garde contre diverses causes d’erreur.

Il n'est pas indispensable que l'heure de la pendule soit trèsexactement connue pour l’instant du passage, pourvu qu’on prenne autant de hauteurs avant qu’après celte heure supposée.

Si la marche de la pendule ne s’accordait pas avec celle de l’astre, avant d'entrer dans la table des réductions au méridien, il faudrait corriger les distances horaires p' , p" , . . . mais cette opération peut être très-simplifiée,’ comme on va le voir. En effet , désignons par a l’avance de la pendule , et par — a le retard , en n4k, sur la durée de la révolution complète de l’astre; si a exprime des secondes de temps, et qu’on représente 86±oo" par A , on a la proportion ;

Si A -j- a doit être réduit à A, le temps p le sera à

Aj>

et comme o est toujours fort petit par rapport à A, ce 4e terme

p — o,oooo« 16 . up ;

faisons donc 7 = 1 — 0,0000 116 a, chaque durée écoulée p devra être changée en yp; sin1 ^ p le sera en sin’ x?P> ou, si

360 GÉOMORPHIE ASTRONOMIQUE.

l’on veut, en ■>’ sin’ ~p , attendu que l’arc est fort petit. Et comme ce facteur est constant pour toutes les durées p', p", . . . il suffira, pour tenir compte dans. Ic calcul, de l’avance diurne de a secondes de la pendule, d’introduire dans la formule (B) ?’ pour facteur, ou

donc ,

i — o,oooo23 . a ;

ak X

cos l cos D cos h

' Celte correction est principalement utile quand la pendule marque le temps moyen, et qu’on observe une étoile; ou réciproquement lorsque la pendule est sidérale et qu’on observe le Soleil. Dans le 1" cas la pendule retarde de 23 5", 909 par jour (roy. p. 335), ou a = — 235", 909, et

a = 1,005482, log a = 0,0023746.

Dans le 20 cas, il y a une avance a, qui est la différ. entre deux asc. dr. O consécutives de la Conn. des Tems , prises à la date de l’observation.

Du reste , si la marche de la pendule s’écarte sensiblement du temps moyen ou sidéral , il faut calculer la valeur de «qui doit tenir lieu des précédentes d’après la grandeur de son avance diurne.

Après le passage au méridien , les angles horaires p sont négatifs; mais comme les sinus sont au carré, aucun nombre k ne prend le signe — ; tout se passe comme si les observations étaient faites d’un même côté du méridien.

420. Lorsqu’on prolonge les observations à plus de 6 ou <7 minutes de temps du méridien , il n’est plus possible de négliger le terme en x1 dans l’éq. (A). Changeons-y x en x sin 1", puis mettons dans le ier terme transposé le carré de la valeur (F) au lieu de x ’ : il viendra cette éq. qui suffit à tous les cas :

x = ka .

cos l cos D sin (l — D )

• mcot

avec

2 sin’ 4 P 2sin^-j-p

sin 1 sin 1

LATITUDE. SOI

On compose aussi une table des valeurs de m[Voy. XAetr. pratique, p. 210).

42 1. Jusqu’ici nous avons supposé que l’astre passe au méridien du côté du sud ; pour appliquer cette théorie aux. étoiles de la Petite Ourse, pour lesquelles D > /, il faut modifier les ' résultats.

La marche des circompolaires est si lente qu’on peut prolonger les observations pendant une demi-heure à l’est , et autant à l’ouest du méridien , et par conséquent le3 rendre plus nombreuses; ce qui donne beaucoup d’utilité à la méthode. Ainsi, quand l’astre est observé au nord,

Entre 1e pôle et le zénith, changez dans leq. (G) / — D en D — l; Entre le pâle et Ihorizon, remplacez — D par D ,

et comme / -{- D est go”, le dernier terme de l’éq. (G) devient positif.

La correction x donne

A = H-{-ar, z — Tj — x;

seulement, dans le 1®' cas, l’astre descend pour arriver au méridien, et il faut prendre x en signe contraire.

Les éq. (2) et (5), n° 4i3, donnent enfin la latitude l.

422. Par exemple , pour avoir, en un lieu dont la latitude est à peu près de 4 1 0 2 3', une valeur exacte de cet arc , le 17 avril 1806, on observe S Gémeaux près du zénith : la pendule marche sur le temps moyen, et retarde de 8", 76 par jour; en sorte que le retard sur le mouvement sidéral est — 244", 66, d’où a = i,oo5383.

D’après la Conn. de* Terne, on a

Æ * =7k35'i6",i5, D = 28° a5' 6", 00; on en conclut l’heure mo.y. du passage eu temps de la pendule,

GÉ0M0RPB1E ASTRONOMIQUE, que nous supposons être

5*48'»", 7 Heurs moyenne du passage.

— 17.17 ,4 retard de la pendule sur le temps moy.