Le rayon étant i, on a les séries suivantes : A» A» A
... sin'A 3sin»A 3.5sin'A
(i8) arcA=8inA-! r-H ;— ^h r-^ h...,
... A» 2 A» 17 A' (,9) tangA = A + -3-^3-5^j-^^...,
(20) arcA = tangA — ^tang»A-4- -lang»A— lang'A-h... ,
(aa) log(i-+-3)=M(z z*-+- -z» — -z*H ...j.
Dans ces séries, A désigne la longueur d'un arc pris dans le cercle dont le rayon est i ; M est le module ou le logarithme tabulaire de la base e dn système népérien; c'est-à-dire que M est le facteur constant qaî, multipliant tous les logarithmes népériens, les change en logarithmes tabulaires : 1. a est le logarithme de la base a pris dans le système dont la base est e\ on a
Pour les logarithmes de Briggs et de Galiet, dont la base est lo, on a les
valeurs
logM = 7,63778 431 13 oo536 77817, «s a, 7 1828 18284 59045 a3536,
M==log^=^.
33. EnGn ^r désignant la demi-circonférence du cercle dont le rayon est 1 , ou le rapport de toute circonférence à son diamètre, on a •
ir= 3,14159 a6535 838, logir = 0,49714 ^^'}^^ 941.. F. — Giodéiie. 3
34. Soit a la longueur d'un arc de cercle dont le rayon est R, (a*) son nombre de degrés; (a'), (a') le nombre de minutes et de secondes de cet arc; fA"" le nombre de degrés de Xarc égal au rayon; \i.\ p' les nombres de minutes et de secondes de cet arc; on a la proportion
R:fx-::«:(a-), d'où Ton tire
on aurait de même
ainsi, dans tout cercle de rayon R,
et le rayon du cercle étant pris égal à l'unité linéaire, ou R = i, on a
MO -- tj^ -. j J4* __
arc I ' arci
On tire de là, en considérant que les arcs de i' et i" sont sensiblement é^ux à leurs sinus, et en faisant R = i et ( a<> ) = i So*", « «^ tt,
f* = -4? ^ inrP = î*o6264%8o6a5,
logf*"= 1,75812 26324 09172, compl.logfA»= 2,24187 73675 90828,
logp' = 3,536«7 38827 92816, compl.logfA'= 4,46872 61172 07184 = logsini',
IogfA*=5,3i442 5i33i 76459, compl. logfA"» 6,68557 48668 2354i « logsin i*.
Donc, quand une équation contient un arc déterminé par sa longueur ol,
TRIGONOBIÉTRIB RECTILIGNE. 35
le rayon étant i , on cimngera cl en a." sin", et cet arc sera exprimé par son nombre de secondes (a').
35. Soit K la corde d'un arc dont (a"*) est le nombre de degrés; on a
K= 2Rsin-(ao).
36. La surface S d'un triangle recUligne dont a^ b^ c sont les trois côtés, R le rayon du cercle circonscrit, r celui du cercle inscrit, est telle, qu'on a
eo posant
37. Résolution des triangles rectangles. — Dans les équalions suivantes, À désigne l'angle droit, a l'hypoténuse, 6 et c les deux autres côtés, B, C les angles aigus qui sont respectivement opposés à 6 et c [fi^. 33), R = I :
Ib = a cosC = a sinB^ r = ^tangC = 6cotB,
38. Résolution des triangles obliqnangles. — On a les équations , ,, sinA sinB sinC
(25) rt* = ^«-+- f*— a^ccosA.
A, B, C représentent les trois angles du triangle ; a, 6, c les côtés qui sont respectivement opposés à ces angles {Jig, 3a).
Premier cas. — Étant donnés deux côtés et un angle opposé à l'un d'eux ^ l'équation (a4) donne le deuxième angle opposé; et, comme le sinus de cet angle répond à deux arcs supplémentaires, on a, en général, deux solutions, à moins que les conditions ne rendent l'une inadmissible.
Deuxième cas, — Étant donnés deux angles et un côté, on connaît le troisième angle, et l'équation (a4) fait connaître les deux côtés.
Troisième cas, — Connaissant deux côtés 6 et r çt l'angle compris A, on a
^«Ï(^-»)-?tI^^->>
d'où
et enfin
Autrement : On pose
tang? = 73:y vT^).
Cette équation donne Tare auxiliaire o, et ensuite on a
cosy
Quatrième cas. — Connaissant les trois côtés a, b^ c^ on trouve un ang^e A par les équations suivantes, dans lesquelles 2/? = û-»-ô-f-c,
tangiA»./'^-f^'^-:^>
Autrement : On trouve les deux segments x et/, formés sur la base a parla perpendiculaire abaissée du sommet A [fig. 3a), par les équations
les angles B et C résultent ensuite des équations c cosB =» X, b cosC = /.
Cinquième cas, — Triangles isoscèles. — En faisant 6 = r et B = C, la bise est a^ l'angle du sommet A ; on a
6 sin - A = -/? = ;>-— ^, a a ' '
