DÉTEHIIINATION DE LA LONGITUDE DU LIEU

h = 90*»— z 49. ia.36,5o

i*' terme correclit* — 0.20,24

latitude / 49.13.21,18

Détermination de la longitude du lieu,

425. Lorsqu'on ne peut faire usage de signaux de feu, comme il a été expliqué (n**21i), pour obtenir la longitude du lieu, il faut recourir aux observations astronomiques; mais, en Géodésie, on ne fait aucun cas des niolhodes qui n'ont qu'une exactitude douteuse; aussi les éclipses de Lune et des satellites de Jupiter ne sont-elles d'aucun usage. Les distances de la Lune au Soleil ou aux étoiles ne fournissent pas des résultats assez sûrs, et l'on n'y a recours qu'en mer, comme nous le dirons plus tard.

Mais les éclipses de Soleil et d'étoiles par la Lune sont toujours préférées, parce qu'elles offrent une grande précision. Malheureusement elles ne sont pas fréquentes et exigent des calculs assez pénibles. Voici la marche des opérations. On observe l'heure exacte d'une phase de l'éclipse, et par le calcul on en déduit l'instant où la longitude des deux astres était la môme, c'est-à-dire celui de leur conjonction. Supposez qu'on ait fait la môme opération en un autre lieu et qu'on ait l'heure de ce méridien lors de la conjonction, la différence de ces heures, exprimée en temps sidéral , est celle des longitudes dos stations ; et si l'on n'a pas cette seconde observation du phénomène, comme l'heure de la conjonction est connue, par les Tables de la Connaissance des Temps, pour Paris, on a du moins la longitude demandée relativement à cette ville.

426. Développons ce procédé en commençant par les éclipses de Soleil, On est censé connaître, à peu de chose près, la longitude demandée, et

Ton se propose seulement de l'avoir avec plus de précision. Ainsi l'on connaît l'heure approchée de Paris, pour l'instant où, de sa station, on a observé l'éclipsé; on tirera de la Connaissance des Temps les longitudes du Soleil et de la Lune; la latitude, la parallaxe horizontale équatoriale de la Lune; enfin les demi-diamètres et les mouvements horaires

368 GÉOMORPHIB ASTRONOMIQUE.

des deux astres (n* 381 ). Il faut dans ces calculs avoir égard aux différences secondes.

Avant tout, on doit chercher la latitude géocen trique /' du lieu (n'' il%) et la parallaxe horizontale P de la Lune en cet endroit, c'est-à-dire en ayant égard à Taplatissement terrestre fA [voir équation (5), n* 385, et les valeurs de i et /', n"" 178],

P=H(i-f*sin«/').

De là on tire la parallaxe tt de longitude L, et celle n' de latitude X, à l'aide des équations ci-après.

427. On appelle nonagésime le point de Técliptique qui est à 90 degrés des deux points où ce plan coupe l'horizon. Les équations suivantes font connaître la longitude N et la hauteur A de ce point, /' étant la latitude géocentrique, et s l'heure sidérale actuelle en degrés

tangf = cot/'sin^,

., tang.ysin(w-+-ç) tangN = ° ^ -^'j

cosA =

COSf

sin/'cosjw-Hjp)

cosy

sinN = cot/« tang(w -+- y), cotA = sinN cot(w -»- y).

u est l'obliquité de l'écliptique, f un arc auxiliaire que donne la première équation, et qu'on introduit avec son signe dans les suivantes, dont on choisit les plus commodes pour le calcul, selon les cas qui se présentent.

428. Une fois A et N connus, les équations suivantes donnent les parallaxes V de longitude L, et ir' de latitude X :

sinPsin/i a: = . - >

ces A

xsin(L — N) jf*sina(L — N)

longitude apparente L' = longitude vraie L h- tt, cos(L — N — |ir) tangA sinPcos/i

COt/ — i r^—^ Ï2 p = . ,

, <'sin(/ — X) «'•sinafr— X)

TT = : r 1 . = j • • • )

sini' asinr

latitude apparente X' = latitude vraie X — ir'.

DÊTEUUI NATION DB LA LONGITUDE DU LIEU. SGq

X, / et t' sont les arcs auxiliaires qui sont chacun donnés par une équatioo, et l'on en introduit les valeurs, avec leurs signes, dans les expressions de rr et n'.

429. Il faut aussi trouver le demi-diamètre R' de la Lune, pour la hauteur inconnue où elle se trouve, connaissant le demi-diamètre R vu du centre de la Terre, tel qu*on le tire de la Connaissance des Temps : car on sait que, plus la Lune s'élève sur Thorizon, plus elle se rapproche de l'observateur, ce qui accroît les dimensions apparentes de cet astre (voir D* 386); on trouve, pour cet accroissement, en secondes,

ur= R(7r'sini'jcot(j — X)~.lR(ir'sini'')«, x = R'~R, R'=R-Hx.

430. Pour avoir égard commodément à la parallaxe du Soleil, qui est à peine de 8 secondes à l'horizon, on la suppose nulle; mais on diminue, dans les calculs précédents, celle P de la Lune de la parallaxe solaire, qui d'ailleurs ne varie pas avec la station. On est de la sorte dispensé de calculer les parallaxes du Soleil en longitude et en latitude.

Nous renvoyons, pour les démonstrations, à V Astronomie pratique , p. i3o, pour ne pas nous écarter de notre but; une simple récapitulation de ces formules suffît à notre objet.

431. Supposons donc qu'on connaisse les longitudes vraie et apparente O et O' du Soleil, celles C et C' de la Lune, la parallaxe ir de longitude lunaire, celle it' de latitude, les demi-diamètres apparents r et R' des deux astres.

On distingue, dans une éclipse de Soleil, doux phases principales, X immersion et Vémersioriy lorsque les bords opposés sont en contact extérieur avec la Lune. La première arrive au bord droit ou occidental du Soleil; la deuxième au bord gauche ou oriental; mais, en outre, il peut y avoir deux contacts du côté intérieur. Si le diamètre lunaire est plus grand que celui du Soleil, on a une éclipse totale, et, s'il est plus petit, une éclipse annulaire.

Les nombres de la Connaissance des Temps supposent le spectateur placé au centre de la Terre : les calculs préparatoires qui précèdent sont destinés à donner les déplacements apparents en longitude, latitude et

F. — Géodésie, '^4

370 GÉOHOBPHIE ASTRONOMIQUE.

demi-diamètres, qui résultent de la parallaxe, lorsque les deux astres sont observés de la surface de la Terre, en ayant égard au lieu de Tobsen-ateur, et même à l'aplatissement terrestre.

432. Soient donc P le pôle de Técliptique, dont ÂB [Jiç. 1 35) est un arc apparent ; A le centre du Soleil ; C celui de la Lune ; A = AC leur distance apparente, à l'instant d'un contact extérieur ou intérieur; BC est la latitude apparente X' de la Lune; AB = a est la différence de leurs longitudes apparentes. Comme ces arcs sont fort petits, le triangle ABC peut être regai-dA comme plan et rectiligne, rectangle en B. On a donc

d'où

(i) a = v^(A-hÀ')(A-X') .

Or A est la somme ou la diiïérence des demi-diamètres apparents, selon l'espèce de contact : en exprimant les arcs en secondes, le deuxième membre sera connu, et l'on trouvera a.

Pour l'entrée occidentale, ou premier contact extérieur, on a

d'où

pour le deuxième contact extérieur, ou la sortie, C > 0> ^t ^ ^^^ prendre ici C — O'» l'expression est la même, en donnant le signe — à t: "-p. Ainsi, pour les deux cas, A étant la somme des demi-diamètres apparents, on a

DUTérence des longitudes vraies = adz(7r— ;?)=^,

en prenant + pour le commencement et — pour la fin de réclipse.

Le même calcul convient aux contacts intérieurs ; mais alors A représente la différence des demi-diamètres apparents.

433. On est en droit de regarder le Soleil comme immobile en un point

DETERMINATION DE LA LONGITUDE DU LIEU. Syi

de récliptique, pendant la durée de Téclipse, pourvu qu'on suppose qu*au lieu de son mouvement horaire M la Lune a la différence M — m des mouvements horaires des deux astres. Ainsi la marche de la Lune en longitude, ou dans le sens de Fécliptique, est M — w, en i heure ou 36oo secondes de temps vrai. On trouve le nombre T de secondes nécessaires pour parcourir l'arc X-, distance des deux centres en longitude, en posant cette proportion.

Si M — m est décrit en 36oo secondes, l'arc k Test on T secondes

Celte équation donne le temps écoulé entre la conjonction vraie (la néoménie) et celui de la phase d'éclii)se observée, en prenant h- quand il s'agit d*un contact du bord ouest du Soleil et — pour le bord oriental. Mais c'est le contraire quand les longitudes vraies du Soleil et de la Lune sont < N, attendu que ir el /? sont alors négatifs.

Nous avons dit qu'il faut diminuer la parallaxe horizontale P de la Lune, pour le lieu d'observation, de celle 8',8 du Soleil, et qu'ensuite on considère celle-ci comme nulle : mais alors la valeur tt calculée tient lieu de TT —/?; ainsi l'équation (3) se réduit à

Si Ton appelle / l'heure de I observation du contact, celle de la conjonction vraie est / ± T, en prenant + pour un contact occidental et — pour un oriental.

Nous ne ferons pas ici d'application numérique de ces équations. Ces calculs sont longs sans être difficiles. Mais il est évident que, si Ton observe le même contact en deux pays, les opérations donneront les heures de la conjonction vraie pour ces deux stations, et que la différence des heures est celle des longitudes en temps, lorsqu'on l'a exprimée en temps sidéral.

434. Quant aux occultations d'étoiles par la Lune, comme les étoiles n'ont ni diamètre apparent ni parallaxe, il suffît de supposer oes quantités nulles dans nos formules. Mais les étoiles ne sont pas sur l'écliptique

372 OiOMORPHIE ASTRONOMIQUE.

comme le Soleil, et BC {Jig, i35) est la difTérence entre la latitude 9 de rétoile et la latitude apparente V de la Lune : AB n^est plus Téclipliquc, mais lui est parallèle, et l'arc de ce grand cercle, compris entre les cercles PA, PB, est égal à a cosp. La distance AC, à l'instant d*un contact, est le demi-diamètre apparent R' de la Lune^ Ainsi, faisant ^ = t» — ).\ k triangle ABC donne

d'où

^ ' COSP

et comme lo mouvement propre de l'étoile est nul, m = o; donc

en prenant -h pour l'immersion, et — pour Témersion.

435. Ainsi, après avoir noté l'heure exacte de l'occultation, on aara l'heure sidérale du lieu, puis l'heure vraie de Paris contemporaine. On tirera de la Connaissance des Temps les données lunaires qui sont nécessaires; nos équations feront trouver la parallaxe horizontale P de la Lune, celle tt de la longitude et it' de la latitude, après avoir calculé N et A, longitude et hauteur du nonagésime; en sorte que l'on connaîtra la longitude, la latitude et le demi-diamètre apparent de la Lune, pour l'instant de l'immersion ou de l'émersion.

On cherchera ensuite la longitude et la latitude de l'étoile; on entrera dans la formule (5) avec la différence $ des latitudes apparentes, et l'équation (6) donnera l'heure T, et par suite l'heure / ± T de la conjonction vraie.

Ces calculs étant effectués pour un autre lieu où la môme phase a été observée, on aura l'heure de cet autre méridien où la conjonction arrive : la différence de ces heures est, en temps sidéral, celle des longitudes.

Et si l'observation conjuguée n'a pas été faite ailleurs, on calculera l'heure de la conjonction vraie pour Paris. Alors la longitude du lieu sera rapportée au méridien de Paris {j>oir X Astronomie pratique ^ où l'on trouve des exemples où ce procédé est appliqué).

Il ne faut pas oublier que, lorsqu'un même phénomène instantané a éto