DÉTERMINATION DB LA LONGITUDE DL' LIEU

visible que ce nombre est précisément ce que nous avons appelé f dans l'équalion (7), et qu'il est rendu de la sorte indépendant de t, t' et a,

Tout étant ainsi connu dans l'équation (7), le calcul fait connaître la différence L des longitudes des stations, sans avoir besoin de connaître avec précision les erreurs de la pendule et de la lunette, ni les ascensions droites de la Lune et de l'étoile. On a seulement besoin des mouvements horaires du Soleil et de la Lune, qu'on tire de la Connaissance des Temps, Ainsi ce procédé est susceptible d'une grande précision.

438. 11 y a deux causes d'erreur : i"* le demi-diamètre lunaire n'est pas rigoureusement le mâme p aux deux méridiens, parce que, dans l'intervalle, la distance de la Lune à la Terre varie; ik"" le mouvemenl horaire do cet astre change sensiblement dans cette durée. Mais, en calculant d pour le temps du milieu entre les observations, dont l'heure L -h ^ est d'ailleurs à peu prèe connue, on n'aura à craindre aucune erreur sensible, quand la différence dee longitudes n'excédera pas a heures, ce qui suffit à tous les besoîDS de la Géodésie. Nous jugeons donc inutile d'indiquer ici comment on peut donner à ce procédé une extrême précision, qui serait inutile à nos recherches [voir V Astronomie pratique , p. 371).

439. Le 3 mars 1822, on a observé à Dorpat et à Manheim les culminations du bord ouest de la Lune et de 809 Gémeaux ; cette étoile est située à l'ouest : on a obtenu, pour différence des heures sidérales des deux passages,

à Dorpat. . . r = io'-j-î'jSô, à Manheim- . . r'^ iS^iS'.So;

On sait, d'après ce qu'on connaît d'ailleurs, que l'heure de Paris pour le milieu des observations est S'^iS" du soir. On tire de la Connaissance

des Temps qu'à cette heure d = 35'45',o, et en temps, -r «^ = a"»3',o.

Le mouvement du Soleil en ascension droite pour vingt>quatre heures, est 3'*43",4, et pour une heure vraie, m = 9*,3i.

3;6 GÉOUORPHIE ASTROXOMIQUF.

ff 2,2670543 i'*-H/« 60. 9, Si

facteur 3, 5398674 dénom. —= iL . —2.23,00

dénom — 2,i55336o facteur 67.46,31

L = i'' i3"' i',i3, longitude de Dorpat à l'est de Manheim.

Quand les pendules sont réglées sur le temps moyen, il faut réduire la durée / — r' en temps sidéral (Table V) pour avoir f .

440. Par les chronomètres. — On détermine à Tune des stations, par des observations astronomiques ( n~ 405 à 407 ), la marche de la montre, savoir : i"* son avance absolue A à une certaine époque; 2"^ son avance a de chaque jour, le tout réglé sur le temps moyen. On admet que la marche du chronomètre est uniforme dans Tintervalle de temps où on remploie à la détermination de la différence des longitudes des deux stations. Les données A et a suffisent pour assigner l'heure exacte H' de temps moyen sous le premier méridien, quand la montre indique une heure quelconque //, le nombre J de jours après celui où l'avance absolue est .4. Voici la formule :

Heure de temps moyen H' = /i — A — <7y ;

on prend en signe contraire celle des quantités A et a qui est un retard.

Gela fait, on se transporte à la deuxième station, et Ton y détermine, par des observations, l'heure H' de temps moyen du lieu à un instant quelconque, et on lit sur le chronomètre l'heure h qu'il indique à cet instant. On calcule l'heure correspondante U' de temps moyen sous le premier méridien, par la formule ci-dessus; et H' — H* est la différence des longitudes demandée (i).

Onareconnu, à la première station, que le 8 août 1877, à 6''I9"',lecllro■ nomètre avance de A = 3"" 17*, 6 sur le méridien du lieu, et que chaque

(*) On se sert indifféremment du temps moyen ou du temps sitlérsl pour trouver les longitudes, puisqu'on réduisant le premier temps au second, par lequation (3), n» 307, les heures H' et H" deviennent H'-+- AO et H'h-»0 qui ont encore H'— 11* pour différence.

AZIMUT d'un ASTEB ET D*UN SIGNAL. 877

jour moyen il retarde de a = — ii',34. Le i5 août suivant, à la deuxième station, on a vu que, le chronomètre marquant // = ig*" 37"! 2% il était alors, sous ce nouveau méridien, H*= i9'*43'"47'. Otant 6** 19" de /<, on voit qu'il s'est é<îoiilé depuis la première époque 7' 13"* 18" la* = 7^,5543 =y ;

dODC

— aj = -i- o. i.a5,7

Différ. des longi tude^ . — o . 8.20,8

Le signe — indique que la deuxième station est à l'orient de la première. Après avoir retranché 6" 19™ de /i, on n'a pas le temps écoulé, parce que le retard diurne de la montre est alors négligé; ce qui est ici sans inconvénient, l'intervalle étant très-petit. Mais si l'on veut y avoir égard, il faut recommencer le calcul en tirant du premier résultat une valeur plus exacte de ^' (n* 525).

Azimitt (Vun astre et d'un signal,

4i1. Gonnaissant l'heare et la latitude, trouTor l'azimut d'un astre. — Le pôle est en p [fig, 129), le zénith en z, ab est rhorizon, pvn le méridien, q un astre, zq son vertical, aq sa hauteur, qz sa distance au zénith, /Ti/ son cercle horaire, déterminé par Theure proposée (n° 402).

I* S'il s'agit du Soleil observé à l'ouest, Tangle p est l'heure vraie actuelle traduite en degrés : avant midi, cet angle est le complément de l'heure vraie à 12 heures.

2* Pour une étoile, on a

±:p^ heure sidérale — » îi^ = heure solaire -+- ai O — n i^- ;

on prend -h quand l'astre est à l'ouest, — dans Tautre cas.

Cela posé, dans le triangle sphérique pzq^ on connaît deux côtés et Tangle compris ; car, outre Tangle, on a la colatitude du lieu/^z = cp^ et la distance polaire de l'astre pq =» r/, complément de sa déclinaison.

37S 6É0M0RPHIB ASTRONOMIQUE.

Résolvons ce triangle, pour en tirer l'angle pzri = A, azimut de Vmtrt^ compté du nord vers le sud. Les deux dernières analogies de Neper, n* 85, deviennent ici

Ung-(A-h7) = cot-wx — î-H >

tang-(A — 7) = cot-DX-^f7-; -•

Le calcul fait donc connaître les arcs -(A-h^) et -(A — 7), dontla

somme est Tazimut cherché A : leur différence est ^, ou ce qu'on appelle Ya/igle de position, QuaLndVe&iTe observé est une étoile, il feul en obtenir Tascension droite et la déclinaison, en tenant compte des préoessioD, nutation et aberration, ce qu'on trouve tout calculé, dans la Connaissance des Temps, pour les principales étoiles. La réfraction et la parallaie s'exerçant en entier verticalemeni n'ont ici aucune inflaenoe; l'azinral n'en est pas altéré.

Exemple L — On demande pour le a3 Juillet 1878, à g*» 48" 5% 80 de temps moyen, l'azimut de 7 Pégase ^ à Strasbourg (longitude en Hmpi oSrSg* est, latitude 48*34' 56" nord),

Temps moyen 9.48. 5, 80

Temps sidéral à midi moyen à Strasbourg, a3 juillet 8. 4. 16, 56

Correction toujours additive. Table VI -4- i .36,6i

Heure sidérale 17.53.58,97

Angle horaire y» 17.46.58,70

ou 6. i3. 1 ,3o vers l'est.

et en arc 93' i5' i9",5o

AZIMUT D*UN ASTHB ET DDH SIGNAT^ $79

d'où

I 0 f If

d'-c= 34. 4.20,8 -(rt — c)=si7. 2.10,4

r/H-c= 116.54.28,8 i(r/-4-r) = 58.27.i4,4 col-p T, 9753109 î,9753io9

C06-(f/— r) T,98o5i22 sin i(f/--c) ï, 46(58323

comp.cos -(f/-+-c)... 0,2813464 comp. sin -(r/-Hc)... 0,0691181

ta!ig-(AH-7) 0,2371695 tang-(A — 7) î,5ii59i3

À 77.54.47,9 azimut compté du nord vers Test.

Exemple II. — On demande l'azimui du Soled, le matin du 18 octobre 1878, à 7*55"" 3i*,46 de temps vrai mi Caire (longitude en temps i" 55'"4 1* est, latitude 3o*2'4' nord).

L'angle horaire du Soleft est égal au complément du temps vrai à 12 heures, c'est-à-dire à 4" 4" 28', 54 vers Test; en convertissant en arc,

on a îyt? = 30" 33' 34*. On a ensuite

Temps vrai astronomique an Carre, le 1 7 octobre. . . 1 9 . 55 . 3 1 , 46

Longitude orientale — 1.55.4 1 ,00

Temps vrai correspondant à Paris 17.59.50,46

La Connaissance des Temps fera trouver la déolinaison du Soleil pour cetinsftftnt,AtronauraDO» — 9'*34'53',o; il viendra donc:

38o GBOMORPHIE ASTRONOMIQUE.

fl= 99. 34. Si c= 59.57.53

cot-/i 0,2288218.

cos -W—^» f, 9735129

sin-(<^/--c)

Î,53oo3o4

comp. cos i (f{-+- r)... 0,7507028

comp. sin-(//-i-f )...

tang^(A-7)

lang- (A -h 7). 0,9530375

II 3. 53. 32, 9, azimut O <^""Pt<^ ^^ ^^^ vers Test.

442. Étant donnée la distance zénithnle d'un astre trouper son azimut. — Dans le triangle pqz (fig, 129), on connaît les trois côtés, savoir pz =: c = ^o"" — l^ zq = z^ pq == d. On trouve V azimut A compté du nnrd par l'équation (17 ) du n** 76, qui devient ici

. I . sinX sin(X — d)

cos« - A = -. — ^ ,

2 sinssinr

%k=zz-^d-k-c\

on corrigera la distance zénithale observée de réfraction — parallaxe pour avoir z; et cela pour que l'azimut A n'en soit pas influencé, attendu que ces effets dénaturent le triangle spbérique pzq.

Si l'astre observé est une étoile, on peut ne pas s'occuper de l'heure de Tobservation, car la déclinaison apparente ne change pas sensiblement dans une journée; -si Ton observe le Soleil, il faut connaître approximativement l'heure de l'observation, afin de calculer sa déclinaison pour cet instant.

Le 7 octobre 1 877 , dans le lieu de latitude / = 4 8" 4 0' 5o' nord, la moyenne ^ corrigée de la réfraction ^ de plusieurs observations d^Arcturus vers l*ouest a donné pour distance zénithale vraie z = 65* 58' 37', 2; on demande quel était l'azimut de l'astre.

AZIUUT d'un astre ET Dl'N SIGNAL. 38 1

Od trouve dans la Connaissance des Temps la déclinaison apparente do réloile pour le 7 octobre 1877 •

rf = 9o'-Di^. =7o"io'47*,4.

z=: 65.58.37,2 comp. sinz 0,0393475

c=4i«i9*io,o comp. sinr 0,1802878

X= 88.^.17,3 sin/- 1,9998947

A — d= 18.33.29,9 sin (/—*'/) î, 5027951

co8»-A 1,7223246

^.4= 43.24.59,2 cos-^A ï,86ii623

A ^ 86.49.58,4, azimut compté du nord vers Touest.

443. Trouver Vazimut d\m astre à son lever et à son couc/ier, on son amplitude ortive et occase qui en est le complément, — Cette question est un cas particulier de la précédente. Ouand Tastre parait être à Ihorizon, la réfraction et la parallaxe en changent le lieu réel : la distance zénithale, au lieu d*étre de 90 degrés, est 90"* + K, en prenant :

K = réfraction horiz. — parallaxe horiz. = 33'45''— parallaxe horiz.

Pour les étoiles, la parallaxe est nulle; elle est de 8', 8 pour le Soleil, savoir K= 33' 36', 2, z = 9o"'33'36*,2. Enfin, s'il s'agit de la Lune, on calculera la parallaxe équatoriale qui convient à l'heure du lever ou du coucher, qu'on évalue à peu près d'abord en prenant z = 80" ; on cherchera ensuite cette parallaxe pour la latitude du lieu. Ces opérations étant semblables aux précédentes, nous n'en donnerons pas d'applicalion, d autant plus que, les réfractions étant incertaines près de l'horizon, les résultats sont peu sûrs.

444. Trouver l'azimut d'un xignaL — Nous avons dit que cette mesure est une des plus importantes opérations de la Géodésie, puisqu'elle fait connaître les directions des côtés des triangles du réseau, et qu'une fois l'un de ces azimuts connu les autres s'en déduisent par de

382 GÉOUORPIIIB ASTRONOMIQUE.

simples calculs, en procédant de station à f^Ution, sauf cependant les vérifications indispensables qui obligent à mesurer çà et là d'autres aâ* muts, pour les comparer aux résultats des calculs (n"" 234).

Un observateur est placé au centre C de la sphère céleste (fig. 137), d'où il envoie des rayons visuels CM à tous les objets remarquables qui l'environnent. Il fait le relèvement des signaux, c'est-à-dire qu'il en trouve les azimuts, ou angles que font avec le méridien les plans verticaux passant par les objets M. Ainsi il s'agit de trouver l'angle du méridien de G avec le plan CZM passant par l'objet M et le zénith Z.

Soient S un astre quelconque en un point de son cours, CZS son vertical. La réfraction change les lieux apparents de M et de S, qui sont jugés en m et 5, sur les mêmes verticaux ; et même, si S est le Soleil ou la Lune, la parallaxe abaisse ces points, en sorte que cependant celle-ci soit plus basse que son lieu réel, parce que la parallaxe lunaire surpasse toujoun la réfraction. Ainsi l'on juge la Lune plus basse qu'elle ne le serait si on la voyait du centre de la Terre et qu'il n'y eût pas d'atmosphère.

On observe, à un Instant quelconque, avec un instrument, la distance angulaire du signal m à l'astre 5, ou l'arc sm = ^', en même temps, on prend ici la distance zénithale de l'astre, et celle du signal, savoir sZ = <, m Z = î'. Ces distances sont apparentes, c'est-à-dire affectées par la réfraction et la parallaxe ; pendant qu'on mesure ^, une autre personne mesure z, pour que ces valeurs variables soient contemporaines. Quant à z\ on prend cet arc à loisir, attendu qu'il ne change pas.

On pourrait d'ailleurs calculer la valeur de z (n'*408) d'après l'heure à laquelle on a pris l'arc ^; mais il faudrait corriger cette distance zénithale vraie de la réfraction — parallaxe, en sens contraire de ce qu'on a dit, n* 381 à n* 383, afin de changer l'arc vrai en apparent.

445. Dans le triangle sphérique Zsm [fg, 187), on connaît les trois côtés sZ = z, mZ = z\ sm = ^, et Ton en tirera l'angle mZs = a, angle qui est le même que SZM. Les équations du n"* 76 deviennent

^ I sin/ sin{/— 0)

2 suizsmz

Or, l'heure de l'observation étant connue, il est facile d'en conclure

AZIMUT d'un astre ET d'VN SIGNAL. 383

l'azimut A, qai est l'angle que le méridien lait avec le vertical CSZ, et

par suite l'azimut du signal

X = Ah-o.

446. Mais, dans cette équation, il faudra attribuer aux lettres des signes propres aux positions relatives de l'astre et du signal, d'après les règles ordinaires des signes en Géométrie. Les azimuts A et x sont das arcs de distance au méridien, comptés du nord ou du sud; ils ont des signes différents, quand ils sont de côtés opposés du méridien. L'arc a est positif lorsqu'il est situé au delà du méridien par rapport à A, et négatif quand au contraire il s'en trouve rapproché.

C [fig, 1 38) est le lieu d'observation, CN la méridienne, S l'astre, M le signal, l'angle SCN = A, SCM = a, NCM = x. Tout est ici positif. Mais si le signal est en M', de l'autre côté de CS, a prend le signe — , x = A— â ; et, si le signal est en M' de l'autre côté du méridien, on a a> A, et X = A — a donne x négatif, pour indiquer que cet arc est du côté opposé du méridien par rapport à A.

Du reste, les azimuts positifs peuvent être pris indifféremment vers l'est ou l'ouest, pourvu qu'on observe la règle ci-dessus.

447. Quand l'astre est le Soleil, la distance angulaire observée est celle de l'un des bords au signal, et pour avoir ô il faut y ajouter ou en retrancher le demi-diamètre solaire, selon le bord préféré. Mais on aime mieux prendre successivement les distances des deux bords au signal, puis la moyenne entre elles ; et même, pour éviter les petites erreurs d'observation, on prend quatre ou six de ces distances ; on note les heures vraies de chacune, et l'on regarde la moyenne entre les heures comme répondant à la moyenne entre les distances du centre au signal ; puis on calcule, pour ceUe heure du milieu, la distance zénithale apparente de l'astre

Pour l'exactitude des calculs, il convient que l'arc SM (fig. 187) soit peu incliné; ainsi c'est un astre voisin de l'horizon qu'on doit observer. Il importe en outre que l'arc a ne s'écarte pas beaucoup de 90 degrés.

Le 3o mai 1877, à Dublin (longitude o**34"43* ouest, latitude 53^23'i3' nord), à 5** 18" Sa' temps vrai, on a mesuré les distances des deux bords du Soleil à un signal; la moyenne ^, qui est la distance du centre de l'astre au signal, a été trouvée égale à io3'39'7'',o. On a mesuré direc-

384 GÉOMORPUIB ASTRONOMIQUE.

tcment la distance zénithale apparente du signal, et Ton a trouvé z' = 89*58'2o',2. On a ensuite calculé les coordonnées azimu taies (azimut et distance zénithale) du Soleil, au moyen de sa déclinaison interpolée pour Tinstant de l'observation et de Tangle horaire; ce calcul, effectué à l'aide des formules des n^ 408 et 442, a donné les résultats suivants :

Distance zénithale vraie Q 66 . 33 . 34 , 5

Réfraction — a. i3 ,8

z = Distance zénithale apparente Q • • 66 . 3 1 . 20 , 7 Â = 84'*25'2o',a, azimut Q compté du nord vers Toucst.

On a ensuite les calculs suivants :

z= 66. 3 1.20, 7 comp. sin.... o, 037528 {

z'= 89.58.20,2 comp. sin.... 0,0000001 ^ = io3.3f). 7,0

/ = i3o. 4.24,0 sin 1,8837869

/• — (î= 26.25.17,0 sin T,64833o3

-a= 52.27.43,0 cos-r/ 1,7848229

<7 = 104 .55.26,0, signal situé à gauche du Soleil,

Â= 84.25.20,2, azimut du Soleil, compté du nord versToucst.

X = 189.20.46,2, arc allant du nord au signal.

4 18. Une partie des opérations dont on vient de parler, celle qui donne l'arc a, est inutile quand on se sert d*un théodolite, parce que cet instrument réduit à l'horizon l'angle niZs = a, sans aucun calcul; et môme on choisit l'instant où l'astre S est précisément au méridien, parce qu'on a tout de suite l'azimut du signal. Au reste, il su£St de faire robscrvatiou quand l'astre est près du méridien, parce que alors sou mouvement azimu tal est proportionnel aux temps, et que le calcul se réduit à corriger la moyenne entre les distances a observées, mais réduites à l'horizon, d'après le rapport des vitesses horizontales de l'astre, telles que les don-

AZI&irT D*UN ASTRE ET D'UN SIGNAL. 38S

nent les observations mêmes. C'est une interpolation facile, dont Tobjet est de ramener les mesures de Tare ^ à ce qu'elles eussent été si on les eût prises, Tastre étant au méridien. On peut aussi se servir de la boussole comme approximation ( n" S34 ) .

449. Relever un signal par les digressions de la Polaire. — Cette étoile décrit, chaque jour, autour du pôle />, un petit cercle nin'f [fis- iSg). Sa marche est très-lenle. Il est facile de trouver les instants ou elle atteint le point i vers Test, et le point /' vers Touest, où elle est à sa plus grande élongalion. En effet, Z étant le zénith, Tangle pZi devient alors un maximum, et le triangle sphérique;>Zi est rectangle en /. On trouve l'angle horaire /?, la distance zénithale z et l'azimut A de cette (toile, à cet instant, en résolvant ce triangle.

Faisons Yp colatitude c^go*—/, pi distance polaire f/ = 9o*— D, Z/= distance zénithale z, l'angle /^Z/ = azimut A, l'angle Z/7/= angle horaire p de l'étoile. Les équations du n"" 70 deviennent

cos/7 = tangr/ cote = cotD tang /, cosc = sin/ = cosz cosr/ = cos» sinD, cos/ sin A ss sin// =s cosD.

La première de ces équations donne l'angle horaire p de l'étoile à sa plus grande élongation, d'où résulte l'heure sidérale ou'moyenne correspondante (n* 402); et selon qu'on prend p en + ou en —, dans l'équation citée, on a l'heure de Télongation à l'est ou à l'ouest.

La deuxième équation donne la distance zénithale vraie s de la Polaire; en retranchant la réfraction, on en tire la distance zénithale apparente.

Enfin la troisième équation donne l'azimut A contemporain.

4S0. A l'instant de l'élongation, le changement en hauteur est le plus rapide, et le mouvement azimutal nul ; et dans les instants voisins, soit avant, soit après, ce mouvement est insensible, et il est permis de n'y avoir pas égard. On a donc le temps de mesurer l'arc qi = ^, distance apparente du signal 7 à la Polaire. On prend pour 9 la moyenne entre plusieurs mesures successives.

Les trois cètés du triangle qli sont connus, savoir, qi=^ 9, Z/= s,

F. — Géodésie. 20

386 GROMOIIPIIIB ASTIIONOUIQUR.

yZ a s' = distance apparente du signal au zénith. On trouvera donc Tangle qZi^a que font entre eux les verticaux du signal et de Fétoilc, en se servant des équations qui précèdent (n* 445). Ensuite la fonnul.^ x=i k-\-a donne l'azimut x du signal, en prenant A en h- on en —, selon la règle prescrite n"" 446.

Ce procédé est extrêmement usité, parce qu*i[ est d'un emploi fodie et que les résultats en sont très-exacts.

Le 7 décembre 1876, on a pour coordonnées apparentes de la Polaire

On observe à Toulon, dont la latitude / = 43" 7' 20' nord, et Ton s*esi préparé aux observations par le calcul suivant :

tang/ T,97i5i3o

cotD* 2,3093765

cos/i 2,3408896

/^ = 88" 4 4' 37', 8 à l'ouest.

et en temps 5.54.58,52

n * -h /^ 7 . 8 . 47 , 95 temps sidéral à l'inst. de la digression.

— 17. 6 . 22 , 20 temps sidéral à midi moyen. 14. 2.^5,75 Correct. (Table V). —2.18,01