CARTES MARINES

est l'espace décrit dans chaque direction. On calcule ensuite, par Téquation (4), l'espace composant décrit dans les directions cardinales, et l'on inscrit les résultats chacun dans la colonne qui lui est propre. Par exemple, pour la deuxième ligne du tableau, on a

sinz 7,70867

t 1 , 10661 f = 12', 78 dans le sens de Test.

tangv T, 77447

/— /' i,33ai4 / — /'= 2i',49 diff. des latit. vers le sud.

On fait la somme de chacune des quatre dernières colonnes et Ton retranche celles de N. et S., puis celles de E. et 0.; il en résulte que l'on a réellement fait le même trajet que si Ton n'eût marché que dans une seule direction, qui aurait produit ^y'e^" au S. et 65'37' à l'O. Divisant 65'3y' par le cosinus de la latitude moyenne 46'' 1 1 '10' pour rapporter cet arc à l'équateur, on trouve que la longitude de 40 degrés est augmentée de i°34'25'. Ainsi la longitude d'arrivée est 4i''34'25' 0., et la latitude 45'*52'ao'N. Le vaisseau, par une marche directe de 75' 44' sousTazimut constant 6o''3'i3^ aurait obtenu le même résultat, ainsi qu'on le reconnaît é l'aide du calcul des équations précédentes.

Des cartes marines,

482. Les marins préfèrent souvent les constructions aux calculs, pour ces routes de détail. Ce procédé est moins exact, mais plus facile, et ne donne pas lieu à des erreurs notables. D'ailleurs les approximations suffisent en pareil cas, parce qu'on corrige les résultats par les observations célestes, toutes les fois que cela se peut.

n est donc nécessaire de construire des cartes, d'après les formules (1) et (2). Le commerce fournit ces cartes aux marins, qui s'en servent comme on va Texpliquer quand nous aurons exposé la manière de les tracer.

483. L'équateur et ses parallèles sont représentés par des droites parallèles convenablement espacées ; les méridiens par des perpendiculaires i^ux premières, et celles-ci sont à distances égales les unes des autres,

pour des degrés égnux de longitude ou d*équateur, en sorte que la carie est dessinée dans un réseau de rectangles dont la base est la môme pour tous, mais dont la hauteur croit avec la latitude. Les distances entre les parallèles à l'équateur sont données par les valeurs de A, c*est-à-dîre des latitudes croissantes, d'où dérive cette dénomination. Telle est la carte réduite ou de Mercator,

En voici la construction, appliquée à une carte qui s'étend à ii*^ de longitude, et de 28*" 39' à 34"* de latitude. Après avoir tiré une horizontale AB (fi^, 146) sur laquelle on portera \i\ parties égales quelconques, on élèvera une perpendiculaire à chaque point de division, pour représenter les méridiens de la carte. Les cercles parallèles à l'équateur sont figurés par des perpendiculaires à celles-ci, mais leurs intervalles croissent comme les valeurs de A qui répondent à 28"* ag', 29*, 30*", . . ., 34**. On prendra donc ces nombres dans la Table des latitudes croissantes, et leurs différences successives, différences qui seront les intervalles entre les parallèles, en prenant pour échelle l'espace d'un degré de longitude divisé en 60 parties égales. Ainsi l'on trouvera :

28*39' A = i795',47.... différ. 23',97 = A6

29 1819,44 <>8i94 = Af

3o 1888, 38 69,63 = cd

3i 1968,01 70, 37 = etc.

Ainsi, après avoir partagé la ligne horizontale AB en parties ou degrés de longitude, et chaque degré en 60 divisions égales pour représenter les minutes, cette échelle sera celle sur laquelle on devra prendre 23,97pa^ ties pour porter de A en 6; 68,9$ de b en r, 69,63 de e en el, etc., pub par les points ^, r, ^, . . . , on mènera des perpendiculaires aux méridiens, lesquelles figureront les parallèles de 29*, 3o', . . . , 34'.

484. Mais, lorsqu'on veut faire usage de cette échelle AB sur le plan de la carte, il convient d*en analyser la construction.

NP (fif!' 143) étant un méridien, tirons par un point N la droite NM qui fait avec NP un angle N = Tazimut z de la route; prenons NM' « le

CARTES MARINES. 4ll

chemin a parcouru, en parties de Téchelle AB [fig, i46); abaissons de M' la perpendiculaire M'P' sur PN; le triangle rectangle MIT' donne NP' = £icos«, d'où, par l'équation (i), NP'=/— /' = le chemin décril en latitude. Mais M'P' n'est pas le chemin est et ouest.

Soit fait NP = A' — A*» différence des latitudes croissantes, et menons PM parallèle à P'M'. Le triangle NPM donne MP = (A'— A') tengz, d'où, par l'équation (a), MP= P= différence des longitudes.

483. Ainsi, dans la carte que nous donnons (Jig, i46), les méridiens sont des verticales équidistantes ; les parallèles à l'équateiir, des horizontales espacées de distances croissant de bas en haut, comme les nombres A : toute oblique nm fait des angles constants avec les méridiens, et eât le développement d'une route loxodromique, qui fait avec ces cercles un angle azimutal constant z = nwp,

i"* Si /i est le point de départ et m le point d'arrivée, mp sera la diff^érence des longitudes, np celle des latitudes.

ik* nm mesuré sur l'échelle AB ne sera pas la longueur de la route en miUes : pour obtenir cette distance, on prendra sur l'échelle AB une longueur d'autant de milles ou minutes qu'il y en a dans la graduation en latitude de la ligne np. On portera cette longueur de n en p\ et l'on mènera l'horizontale p'm'\ nm' évalué en minutes sur l'échelle AB donnera le nombre de milles parcourus suivant nm.

Cette construction très-simple présente de grands avantages, lorsque l'on considère que jamais on ne va directement du point n de partance au point m d'arrivée; on n'atteint le terme du voyage qu'en faisant une suite de lignes brisées dans des directions diverses que commandent les circonstances. Notre construction s'applique à chacune de ces lignes en particulier.

486. Voyons maintenant à résoudre graphiquement les six problèmes de la réduction des routes, sur la carte de Mercator [fg. 146).

I. On (tonne te chemin a et l'mimttt s, et il faut trouver la différence des latitudes et celle des longitudes, / — /' et P.

Après avoir marqué le point n de départ sur la carte, on tirera la droite indcQuie nm, faisant avec les méridiens l'angle pnm == z : on prendra sur AB une ouverture de compas d'autant de minutes que le chemin a

contient de milles, et on la portera de n en m* : on tirera m'p' parallèle à AB, et Ton aura le point ;>'', np' seront les milles parcourus en latitude. Prenant sur AB une ouverture d'autant de minutes, on la portera de n enp\ on mènera l'horizontale pni, qui coupera nm au point m d'arrivée : pm sera la différence P des longitudes, et np ou ci sera celle / — /'des latitudes.

n. On connaù i*azfmtU z et ta différence i — /' des latitudes; il faut trouver le chemin parcouru a^ et la différence P des longitudes.

Marquez le point n de départ, et tirez la droite indéfinie nm faisant l'angle z avec les méridiens. La latitude d'arrivée / étant donnée, on connaîtra le point m d'arrivée, qui est situé sur le parallèle cmp. La roule parcourue nm' se trouve comme ci-dessus, en prenant np* d'autant de minutes de l'échelle AB que la différence des latitudes en contient, etc.

in. On donne les latitudes l et l' des extrémités et le chemin a\ il 'agit de trouver l'azimut z et la différence P des longitudes.

Le point n de départ et le parallèle cp du point d'arrivée sont connus. On prendra sur l'échelle AB une ouverture d'autant de minutes qu'il y en a dans la différence des latitudes, et l'on portera cette distance de n en p'\ puis on mènera l'horizontale indéfinie p'm'. Du centre /?, avec an rayon d'autant de minutes de l'échelle AB que la route a contient de milles, on décrira une circonférence qui coupera p'm* en un point m'. Enfin, tirant la droite nm'm, on connaîtra l'angle n qui est l'azimut z, et le point d'arrivée m qui est à Tintersection de nm' avec pm.

IV. Connaissant 1rs points de partance et d'' arrivée n et m^ trouver le chemin parcouru a et son azimut z.

On tire la droite nm^ et l'angle /? = z est l'azimut. On prend sur Téchelle AB une ouverture d'autant de minutes qu'il y en a dans la différence des latitudes, et on la porte en np'\ par /^', on mène l'horizontale p'm'\ et nm\ mesuré sur AC, donne le nombre a de milles parcourus.

V. On connaît la différence P des longitudes et V azimut z\ pour trouver a et / — /', comme la direction mn est donnée ainsi que le méridien Il d'arrivée, le point m est connu, puis la longueur ci\ et enfin on trouve a, comme dans le problème précédent.

VI. Lorsque V et a sont donnés, on peut trouver » et / — /' par une

CARTES MARINES. 4l3

eoDSiruction apprpchée, qui consiste à supposer que la longueur m/?, mesurée sur la verticale ct\ a autant de milles que a ou nm' mesuré sur AB. On connaît donc ainsi le point n et le méridien d'arrivée ii : du centre //, avec un rayon pris sur A/, vers l'espace ftin occupé par la route, on trace un arc de cercle qui coupe ce méridien ii au point m; on tire ntn.

487. Nous avons dit que le défaut de précision des observations en mer conduisait à considérer la Terre comme sphérique. Mais rien n'oblige à se soumettre à cette condition, quand on construit les cartes marines. Voici comment on y a égard à l'aplatissement.

Soit s un arc de méridien terrestre compté depuis Téquateur jusqu'au point dont la latitude est /; s' Tare qui le représente sur la carte. Comme, par les conditions prescrites, les degrés de longitude sont tous égaux, mais que ceux de latitude croissent en conservant avec les premiers les rapports vrais, deux éléments ds et cL' doivent être entre eux comme le rayon A de Téquateur est au rayon ^ de parallèle,

x':A::ds:(is'= —r-

En subbCituant ici les valeurs (4) et (i6), n"" 176 et i 85, on a ^^ A(i — g«)<// ^kfU d(e9\xil)

cos/(i — tf«8in*/) cos/ * I — tf*sin*/

en décomposant la fraction. Intégrons et remplaçons s' par A, qui est la somme des latitudes croissantes, dans le cas d'un sphéroïde aplati, et nous aurons

..*[^^(4r.i,)-i...g(i±iS-;)].

On n'ajoute pas ici de constante, parce que, A commençant à l'équateur, A et / sont nuls ensemble. Développons le dernier terme, par la formule (22), n* 32; puis divisons le premier terme par le module M, pour convertir les logarithmes népériens en tabulaires, il vient

4l4 NAVIGATION.

Comme il convient d'exprimer A en minutes, ainsi qu'.on Ta fait n* 470, nous diviserons le second membre par sin i'.

Observons d'abord que le premier terme du second membre de celle équation est indépendant de ^, et est le même que lorsqu'on néglige Taplatissement : les autres termes sont donc la correction relative à celte circonstance.

Le calcul donne enfin, pour la somme A des latitudes croissantes,

A = 791 5', 704674 log tabul. tangU5° -+- i /) — ao', 5545 sin/ — o', 041 sin*/ — ...,

en prenant jjr pour valeur de l'aplatissement. C'est la formule de Delambre qu'on emploiera à la formation des Tables de A, au lieu de celle du n"" 470, et qui sert ensuite aux constructions des cartes marines. Les Tables des auteurs ne tiennent aucun compte de l'aplatissement.

Quelques instruments de calcui.

488. Comme les marins ne sont pas toujours très-habiles aux calculs logarithmiques, aux combinaisons des signes trigonométriques, etc. , que d'ailleurs ils sont perpétuellement en lutte contre les éléments et que la fatigue prive souvent les plus instruits de l'attention nécessaire aux opérations, on conçoit qu'il ne faut pas dédaigner les procédés qui peuvent, jusqu'à un certain point, dispenser des calculs. Les constructions graphiques sont donc fort employées; mais on fait aussi souvent usage de deux instruments que nous allons décrire.

489. Les régies hgarUhtmques, nommées par les Anglais sliding raies, règles à coulisse, sont composées d'une règle en bois, où est pratiquée une coulisse longitudiûale,dans laquelle on fait glisser une réglette. On divise chacune de ces deux règles, par des traits, en parties inégales déterminées par les logarithmes des nombres naturels. Ainsi, après avoir adopté unb échelle de parties égales, on porte sur chaque règle, à partii d'un bout où est le zéro (logi), des ouvertures de compas égales aux logarithmes des nombres 2, 3, 4, etc. Lorsqu'on veut le produit ou le quotient de deux grandeurs, au lieu d'en ajouter ou soustraire les logarithmes, on fait cette opération sur les longueurs qui les représentent,

INSiAUMENTS DE CALCUL. 4l5

opération très-facile, puisqu'elle se réduit à mettre en coïncidence, en faisant saillir la réglette glissante dans sa coulisse, les traits qui portent pour indicateurs chiffrés les nombres proposés.

Ces règles donnent aussi les logarithmes des sinus, tangentes, etc., et se prêtent, par conséquent, aux opérations géométriques.

Les résultats donnés par ces règles ont peu de précision; mais on n'en tire pas moins un très-utile parti. Les marins anglais en font surtout beaucoup usage. Il existe une Instruction développée de M. Arthur, pour apprendre a s'en servir.

490. Voici la construction du quartier de réduction [fig. i5o).

Après avoir tracé deux lignes AB, AC, à angle droit, on porte sur chacune des parties égales. Par les points de division, on mène des suites de parallèles et de perpendiculaires formant un réseau de carrés égaux, tous fort petits ; car le degré d'approximation de cet appareil dépend surtout de cette condition. Du centre A, on trace des séries de quarts de cercle qui joignent les points de division de même rang pris sur AB et AG. En6n on numérote ces points, et l'on marque sur le quadrant extérieur les 90 degrés.

A l'aide de cette construction, on peut trouver, sur la figure, l'une de ces quantités : le rajtm d\in arc, le sinus de cet arc, son cosinus, sa tangente, sa coiangente, etc., quand l'une de ces grandeurs est connue. Si, par exemple, on demande ces lignes pour l'arc de 56 degrés dont le rayon est Aao, on tracera le rayon du 56* degré, lequel coupera en un point q le cercle n"" 20 : les deux perpendiculaires giy qtf sont l'une le cosinus, Tautre le sinus de 56 degrés, le rayon étant A 20. Et comme ici le point f/ ne se trouve point situé juste sur l'un des angles de nos petits carrés, mais seulement fort près de l'un d eux, le cosinus et le sinus diffèrent peu des lignes que la figure contient ; on peut au reste tracer facilement cfê» cosinus et sinus.

Comme on est obligé de varier les directions du rayon selon les graduations proposées, on trouve commode de fixer au centre A une soie qu'on tend dans la direction voulue. La figure est construite sur une grande feuille, afin que les dimensions puissent conduire à des valeurs numériques assez approchées. Le commerce fournit de ces quartiers de réduction coUés sur carton.

4l6 NAVIGATION.

On est dans Thabitude d*y tracer les rayons selon ies huit rumbs de vent de chaque quart, de 1 1* } en 1 1* t (n^ 433).

491. Supposons qu'un navire soit parti d'un lieu à 23'' 47' de latitude N. et ii7''a8' de longitude E. de Paris, et qu'il ait couru 63 lieues dans la direction du N.-E. iE4''N. (ou Sa^'iS' d'azimut du N. à l'E.) et qu'on demande quelle est la route parcourue dans le sens, tant du nord que de l'est. Je tire le rayon kn qui va à 62° 1 5', et je cherche celui des arcs qui porte le n*" 63. Lorsque la figure a l'étendue convenable, ce quadrant s'y trouve; mais, la nôtre étant très-petite, je fais valoir 3 lieues à chaque division de AB, et je prends le quadrant n"* 21, tiers de 63.

Du point /i, où le rayon est coupé par l'arc 21*, je tire les deux perpendiculaires /?/n, /?/, et je trouve que ces lignes vont couper Âfi et AC aux poinU m et /, répondant à peu près aux n** 12 1 et 16 } : ce qui m'apprend, en triplant ces nombres, que le navire a décrit 38 1 lieues vers le nord et 5o vers l'est. Pour réduire ces lieues en milles, je triple, et j'ai 116 milles ou 116', et i5o' : savoir, en latitude i^56', en sorte que la latitude est devenue 25° 43'.

Quant aux i5o milles décrits à l'est, il reste à trouver de combien la longitude a varié. Le parallèle moyen est à 24** 45', et l'on veut connaitre combien de degrés valent i5o' de ce parallèle. Le rayon dirigé à 24*4^ coupe la perpendiculaire n"* i5 (nous supposons ici 10 parties dans chaque division de ÂB) en un point qui répond à l'arc n*^ 16-; : ainsi i65 milles de l'équateur ou 2** 4^' sont le changement en longitude. De ii7*'28'E. qu'était cette longitude, elle est donc devenue ]2o''i3'.

En effet, il est très-aisé de voir que le quartier de réduction sert à trouver toutes tracées les longueurs qui ont pour expression numérique

acos/, 6 tang/, --3L et autres de même nature, et que cet appareil est

propre à résoudre tous les problèmes des routes. U est même évident qu'on t'emploierait a\ ec le môme avantage à traiter tous les problèmes de Trigonométrie rectiligne qui ont pour solutions des valeurs de la forme ci-dessus [voir les équations (23) et (24), n^'S? et 38].

SBXTANT. 4i;