ANOLE8. LOG SIN. LOG COS. LOG TAN
A==4o»56'oo',oo 9, 8163609 9,8782186 9,9381423 8 = 54.16.8,48 9,9094319 9,7663981 o,i43o338 C = 84.47-51 ,52 9>998ao73 9ï95748o5 11,0407268
40. Tromper la largeur d'une ritfière, d'un étang, etc., et en général ta distance à un point inaccessible, — Supposons qu'on ne puisse atteindre le point C {fig. 34) et qu'on veuille trouver la longueur AC : on mesurera une base AB et les angles A et B du triangle ABC; puis, en résolvant ce triangle, on obtiendra le côté AC.
Observez que, si l'angle A est droit, et l'on peut souvent le construire tel à Faide de Téquerre ou du graphomètro, etc., le triangle ABC est rec-
38 TOPOGRAMllC.
tangle, et le calcul devient très-facile, car on a AC=ABtangB;
et môme si Tangfe B est de 45 degrés, comme AB = AC, ropération se réduit à mesurer la base AB. Ainsi, en s'éloignant de A dans la direction AB perpendiculaire à AC, jusqu'à ce que Ton trouve, avec Téquerre, qne l'angle B = 45**, on a tout de suite la distance demandée AC.
41 . Trouver la distance AC {/!g. 34 ) entre deux points A c/ C, quand un obstacle interposé empêche de voir V un lorsqu'on se troupe à Vautre, — On stationne en deux points Bet Dsur une direction rectiligneBAD passant en A, et Ton choisit ces points tels, que l'on puisse voir C lorsqu'on est en B et en D : on mesure les distances AB, AD et les angles B et D. Ensuite on résout le triangle BDC, dans lequel on connaît le côté BD et les angles, et l'on calcule le côté BC ; enfin on résout le triangle ABC, où Ton connaît les côtés AB, BC et l'angle B compris, et l'on obtient la distance demandée AC.
42. Trouver la distance entre deux points A et C, l'un et l'autre inaccessibles (^g. 35). — On suppose, par exemple, qu'une rivière passe entre le champ BD où l'on se trouve et les signaux A et C ; il s'agit de connaître AC sans traverser la rivière. On mesurera une base quelconque BD et les angles que font en B et en D les rayons visuels dirigés aux points A et C ; on résoudra les triangles ABD, CBD, où l'on connaît un côté BD et les angles adjacents, ce qui donnera les distances BA, BC du point B aux deux signaux inaccessibles; enfin, résolvant le triangle ABC, où l'on connaît les deux côtés BA, BC et l'angle B compris, on trouvera la distance demandée AC.
43. Un triangle ABC (^. 35 ) étant donné, trouver le lieu d*un point D, en connaissant les angles ADC = 6, ADB = 7. — Ce problème trouve son application dans un cas qui se rencontre quelquefois en faisant un levé topo* graphique. Trois points A, B, C sont marqués sur un plan où Ton voudrait fixer la place d'un quatrième point D qu'on a oublié dans l'opération. On connaît les deux angles 6 et 7; les valeurs de ces angles suffisent pour déterminer le lieu du point D.
Donnons d'abord une construction graphique qui a presque toujours
TRIGONOMETRIE RBGTILI6NE. Sq
Pexactilude suffisante. On décrit sur le côté AG un segment de cercle co" pabie de Tangle 6; puis sur AB un segment capable de l'angle 7 [Cours lie Mathématiques pures, n° 208, IV ). Le point D demandé est à Tintersection de ces deux arcs de cercle. Il pourrait arriver que Tun de ces cercles passât à la fois par les trois points A, B, G ; alors le problème serait indéterminé ou absurde, selon que Tautre cercle serait ou non dans le môme cas.
Le procédé analytique que nous allons donner a plus de précision. Soj^t a, b^ c les côtés ; A, B, G les angles donnés du triangle ABG ; désignons par or et/ les angles inconnus ABD, AGD; il s'agît de trouver ces deux angles, et le problème sera résolu. Des triangles ABD, AGD donnent [équation (24)]
... Asmr csinj-
VA = . • = — : j
sm6 SI 11 7
d'où
csinp ^
sinjr
6siu7
smx
Soit calculé un angle f ,
tel qu'on ait
tang(p =
csînS 6sin7
et, par suite,
tangip =
sin.r sinx'
d'où Ton tire
[équations (7) et (i5)]
n-tang«p
sinx-Hsin/
I — tangip
sm^ — sm/
ou
Faisons, pour abréger,
on connaît #7? , puisque, la somme des quatre angles du quadrilatère valant 3€o degrés, on a
2/M « ar -f-7= 36o"— (A -t-CDB),
io TOPOGRAPHIV
savoir :
Ainsi réquation (i) donne Tare auxiliaire 7, (3) l*arc m, et enfin on tire de (a)
(4) tangw = tang/7/. cot(45' -h f ) Une fois mein connus, on a
ce qui complète la solution du problème. On peut même calculer les longueurs AD, CD et BD.
44. Trower la longueur BD = x [fig. 36) d'un des segments de ht droite indéterminée AH, connaissant les deux autres segments AB = a, DH = 6, ainsi que les angles ot, 6, 7, sous lesquels, d*une station quelconque G, on voit Its longueurs AB, AD, AH, distances des points B, D.H à l'extrémité A,
L'angle extérieur d'un triangle étant égal à la somme des deux intérieurs opposés, on tire des triangles ABC, ACD, AGH
angleCBD = A -+- a, angleCDH = A -+- 6, angleCIU = A -+- 7.
Mais les triangles ABC, ADC donnent [équation (24)]
BC sinA CD sinA « "" sin a ' a -f- j? ~ sin6 '
d'où, en divisant membre à membre,
BC flsin6 CD "" (a-4-j:)sina*
De même les triangles BCH, DCH donnent
BC ^sin(A-t-7) CD ^ sin(A-h7^ 6-+-x"~ sin(7 — a)' h '"sin(7 — 6)'
DC (^-4-j?)sin[7 — 6)^ CD^ ^sin(7 — a) '
TRIGONOIIÉTRIE RBCTILIGNE. fl
d'où, égalant ces deux valeurs, il vient
(flH-j:)sina~ ^sin(7--a) '
a^sin6sin(7 — /?) , ,,, , , , ,,
sinasm(7 — é) \ i\ i \ i
Pour résoudre par rapport à x cette équation du deuxième degré, on pose
^^ ^^ ^ [a^ùr^ sinscsin(7-6)'
et Ton a
x*-t- (/Ï-+- ^)a: = -(/7 — //)* tang*<p — «i,
X = (/? -h ^) it - (/7 - é> ) v/(n- tang^t)'
L'équation (i) fait connaître Tare auxiliaire 7, et Ton a enfin
KA
On ne prend que celle des deux racines qui est positive. Notre solution suppose que le segment inconnu x est intermédiaire entre ^ et ^ ; s'il en était autrement, on prendrait soit ^, soit b^ pour inconnue dans l'équation ci-dessus, qui ne serait plus que du premier degré.
45. Réduire un an^e, un point ou une distance à l'/torizon, — Il est rare que les signaux soient dans un plan horizontal ; alors ce ne sont pas lei angles observés, les distances mesurées qu'il faut porter avec le rapporteur et le compas sur la feuille du plan qu'on veut tracer, mais bien leurs projections /torizonia les (n* 1). Ainsi, lorsqu'un signal D (^. 3i) est observé des stations B, G, qui sont dans un plan horizontal au-dessus duquel D est élevé, conune lorsque D est le sommet d'un clocher, d'un arbre ou d'une montagne, il faut substituer, sur le plan, au point D et aux angles DCB, DBG leurs projections horizontales A, AGB, ABG. De même, lorsqu'on a mesuré une longueur GD sur un terrain en pente, il ne faut porter sur le plan que la longueur AG qui en est la projection horizontale.
Et d'abord, dans ce dernier cas, le triangle rectangle GAD donne les
équations
AC = CD cosDCA ou x — a cosO,
en désignant par a la longueur mesurée, par x sa réduction à Thorizon
et par 9 Tinclinaison de la pente. Pour mesurer cet angle 9, il n'est point
nécessaire de voir le point A, projection de D, attendu qu'on tourne le
graphomètre sur son genou pour mettre le limbe vertical à l'aide d'un fil
à plomb ; puis on pose un petit niveau à bulle d'air (n** 51) sur le diamètre
principal de l'instrument, afin de disposer ce diamètre horizontalemeDt
[fig, 22). Dans cette situation, on dirige l'alidade ou la lunette au signal D
et l'on obtient l'inclinaison 6 [voir page 23).
Le plus souvent, l'angle 6 n'est que d'un petit nombre de degrés, et la
valeur a: = «cosO ne se trouve pas avoir assez de précision. On préfère
calculer la correction que a doit subir, c'est-à-dire l'excès de a sur j:,
savoir
s = // — X ~ a — a cosô ;
z — a{\ — cos'i ) = 2/1 sin* - 0,
à cause de l'équation (G) (pcge 32), et comme l'arc -ô est très-petit et
ne dilTère pas sensiblement de son sinus, on peut remplacer ici le sinus par l'arc, sans que la construction qu'on en déduira puisse altérer le résultat; ainsi
Enfin, remplaçant la longueur de l'arc 0 pris dans le cercle dont le rayon
est 1 par le nombre de minutes 0' de cet arc (n* 3i), ou ô par O'sini',
il vient
z — -//O sjn*i .
Telle est la quantité qu'il faut retrancher de la longueur mesurées pour la réduire à l'horizon; mais il faut que l'angle ô de la pente ne soit que de 3 à 4 degrés au plus et exprimé en minutes : on a
log-sin* i'= 8,6264222.
TRIGONOMÉTRIE RECTILIGNB. 4!)
On abrège les calculs en formant une Table des valeurs dez, où Ton trouve à vue ces corrections pour toutes les inclinaisons de minute en minute. Noas retrouverons plus tard une occasion d'appliquer eette théorie (n'' i 27;.
46. Supposons que des stations G et B on ait observé un signal élevé D (Jfg, 3i ) avec un instrument impropre à réduire les angles à leur projection horizontale. Conune c'est le point ordinairement invisible A qui doit être marqué sur le plan, le triangle CDB doit être remplacé par CÀB. En se plaçant successivement en C et en B, on mesurera, avec un graphemètre dont le limbe est vertical, les angles DCA, DBA; on mesurera aussi la base BC ainsi que les angles DCB, DBG en disposant le limbe dans les plans respectifs de ces angles.
On résoudra le triangle obliquangle 6DG, où Ton connaît un côté GB, et les angles adjacents G et B, et l'on en déduira les longueurs GD, DB. Alors, dans les triangles rectangles verticaux ADG, ADB, on aura les longueurs AG et AB, qui détermineront le triangle BAG et, par suite, la projection A. Nommant B, G, D les angles du triangle DBG dans l'espace, d la base BG, on a
d'où
et
sinD ifi:: sinG : BD : : sinB : GD,
-j^ rfsinG p^ ^/sinB
DU = — : — =r-f LU = —. — rr-)
smD smD
.-, //sinBcosDGA
