CN

N 0,1 191068 On calcule la déclin. 0 ï»"''

sinjr- . .

rheure du milieu io''4"i8*,4 temps vrai du matin, et Ton

trouveD = -5«'8'54',6.

. ..sin*.. 2,4174432

sinA'= 0,5552704

nombre = 0,0343993

....log. =sï, 7706103

..cos (/ — D)= 0,5896717

Ainsi le nombre supposé pour / est trop faible de 3'4'y et il ûiudia corriger le calcul en prenant ce résultat pour hypothèse.

520. La méthode de Douwes n*est qu'approchée, et la précision n'en est pas toujours satisfaisante. La Trigonométrie sphériaue donne des formules plus exactes, et qui ne sont guère plus compliquées.

Dans \9Ljlf;. i^, s et s' sont deux positions du Soleil, dont Tobservation a fait connaître les distances zénithales vraies sz ^z^ s'z^ s', corrigées de réfraction — parallaxe, demi-diamètre, etc. Le pôle étant en p^ le méridien est pm^ et Ton connaît, en outre, les distances polaires sp = s* p ^ d^ complément de la déclinaison. Nous supposons ici que d est constant, ou plutôt nous prenons pour r/ la déclinaison qui a heu dans l'instant du milieu entre les deux observations. Il est clair que, si Ton connaissait Tangle zsp= u^ on aurait deux côtés jz, sp du triangle isp^\

LATITIÎDK DU LIEU. i^7

l'angle compris «, et qu*on pourrait calculer le c6té ly» = c, colatitude du lieu, ainsi que l'angle horaire spz » p^ et le problème serait résolu.

Or, pour trouver cet angle u, il faut d*abord chercher les deux angle^ f'sp mM^eis'sz=s^ X, dont u est la différence, ce qui conduit à résoudre les deux triangles ss'p eiss*z\ ona donc trois triangles sphériques à ré-* soudre successivement. Voici comment on ordonne ces calculs.

D'abord Tangle j/v' » / est connu, puisqu'il est, en degrés, le temp. solaire vrai écoulé entre les deux observations de hauteur, différence ou somme des deux angles horaires correspondants, selon que l'astre a été observé d'un môme côté ou des deux cétés du méridien. Si la montre marcbe comme le temps moyen, ii sera bien facile de réduire en degrés la durée écoulée : ce sera l'angle i.

I "^ Dans le triangle isoscèle sps \ on connaît deux côtéségaux sp ^s'p^ai et l'angle compris /; on trouvera le troisième côté ss' « ^ et l'angle s'sp = 4>, par les équations [(/i) et (/?), n* 86]

[a) sin-<y = sinr/sin-f,

{b) cot^I; = cos//taQg-r.

2,* On connaît maintenant les trois côtés du triangle szs% savoir sz = z, .('z s z' et ss* =ii; on trouve l'angle s'sz =s x par les équations (16) n' 76,

, . . .1 sinfX- — «)sin(X— ^) c) 8m«-a: = — i ■ . > ;

d'où

en foisant l'angle zsp = u. Nous mettons ici zf* parce que le double signe résulte de l'extraction de racine qui a donné l'arc x; mais on doit observer que c'est presque toujours le signe ^ qu'il faut prendre, parce que le cas représenté par la /^. 144 est seul admissible, à moins que la déclinaison du Soleil et la latitude ne soient à peu près égales; car alors il faudrait calculer les deux solutions, sauf à choisir ensuite entre elles. Comme la latitude est toujours à peu près connue d'avance, l'incertitude est bientôt dissipée. D'ailleurs, s'il arrive aue l'on reste dans le doute, il

438 N/IVIGATION.

suffira de mesurer une troisième hauteur de Fastre, et Ton fera de noaveau le calcul de la latitude, eu comparant cette observation à l'une des deux premières, et Ton s'arrêtera à celle des deux solutions qui sera commune aux deux opérations. Il est d'ailleurs rare qu'on soit réduit à user de ce procédé.

y Enfin, dans le triangle zps^ on connaît deux côtés et l'angle compris, savoir sz = z,sp = d et l'angle u qu'on vient de trouver. On pourra donc calculer le côté pz^c, colatitude cherchée, et l'angle horaire spz = p de Tobservation de l'astre quand il était en ^. On pourra recourir aux formules données (n** 83, i""), ou (84, 4*). Mais les équations que nous allons proposer sont d'un usage plus commode.

Si l'on connaît les côtés 6 et c du triangle ABC {fig. 5a), et l'angle compris A, pour trouver le troisième côté a, on prendra l'équation fondamentale

cos /i = cos 6 cos c -h sin ^ sin c cos A,

et on la rendra propre au calcul des logarithmes par l'artifice suivant. D'après les équations (5) et (6), n° 30, on a

cosA = 2C0S-- A — I, cos/i = I — asin*-a: ainsi

I — 2Sin*-/î=scos(6-4- c) -hasin^sinccos'-A

= j — asin*-(ô-4-c) -t- asin^sinccos*-A,

sin* 'fi = sin* - (^ -4- c ) — sïnb smc cos" - A. a a ^ ' a

Prenons un arc auxiliaire p, tel que

sin (f t=a <5os - A v/sin b sine, el nous aurons

sin«-fi = sin* -(6 -h c) — sin*«» a a^ '

= sin -{b-he-i- ai')8in-(^-h r — ac^ d'après l'équation (i 3), n*31.