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Au bas de chaque page on inscrit le nombre des règles, les sommes des thermomètres métalliques, des languettes, des réductions à Thorizon, des dN positifs et négatifs qui représentent la différence de niveau entre les deux extrémités des règles, et à la fin du registre les sommes totales.
Le résultat définitif s'obtiendra par le calcul des termes suivants :
Double du nombre des règles posées sur le terrain donnant le nombre
de toises h-
Somme des languettes ramenées à la température de 1 7*", 6. +
Correction du zéro des languettes
Réduction à l'horizon
9 au niveau de la mer
» au module
I à la température de 17'', 6 à laquelle le module
est égal à la double toise du Pérou +
Base réduite en toises du Pérou +
• en mètres -+-
Les réductions à Thorizon et au niveau de la mer se font à Faide des formules données.
La réduction au module est calculée d'abord pour une portée, puis muU tipliée par le nombre des portées.
On donne le nom de portée à la réunion des quatre ou trois règles avec lesquelles on opère. Pour les bases de la carte de France, la portée se composait des règles a, 3 et 4, le module restant à l'Observatoire.
Pour la réduction à 17*", 6, on prend la différence entre la moyenoe de toutes les observations des thermomètres métalliques et la valeur moyenne des thermomètres métalliques des règles de la portée supposées à la température 17", 6.
Les règles de Borda que l'on vient de décrire ont donné l'exemple d'uo degré de précision dans la mesure des bases dont on n'avait point approché auparavant, soit en France, soit à l'étranger; mais on verra que plusieurs appareils imaginés et mis en usage depuis celui de Borda ne le cèdent en rien en exactitude à celui-ci.
IL Appareils étrangers. — En Angleterre, le capitaine Mudge a faii l'essai de fortes pièces en sapin pour tenir lieu de règles. Il avait pensé que ces pièces de bois n'éprouvaient pas de dilatation appréciable par suite des variations de température ; mais il a dA renoncer à leur emploi après avoir reconnu qu'elles subissaient un allongement très-notable soos riniluence de l'humidité atmosphérique.
En conséquence, on substitua aux madriers de sapin des tubes de verre d'environ ao pieds de longueur qui étaient mis successivement en contact. Le verre étant peu dilatable, les corrections dues aux variation> de température étaient toujours faibles. Toutefois la propagation de la chaleur au travers du verre étant très-inégale, en raison du défaut d'homo^'i*néité de cette substance, on pourrait craindre qu'il n'en résultât quelque inexactitude dans la valeur des termes de dilatation.
Enfin le major général Roy a opéré, en Angleterre, avec une chaîne en acier de 100 pieds de longueur, soumise à une tension constante à l'aide de poids, et dont les extrémités étaient amenées en contact avec les repères. Cette chaîne était supportée par une suite de caisses de ao pieds de longueur ouvertes en dessus et à leurs extrémités, posant sur des trépieds à vis et calées sous une môme inclinaison au moyen de niveaux
à bulle d'air. On composait ainsi des portées de plusieurs centaines de mètres ; des thermomètres placés dans les caisses faisaient d'ailleurs connaître avec une approximation suffisante la température de la régie. Cet appareil, construit par Ramsden avec une extrême précision, a donné de bons résultats, néanmoins il a été abandonné. Peut-être n*inspirait-il pas one sécurité parfaite en ce qui tient à Tuniformité de tension dans toute la longueur de la chaîne et à la similitude des contacts des chaînons successifs qui, d'ailleurs, devaient s'altérer graduellement par suite d'usure.
Ces divers procédés, appliqués par des observateurs intelligents et soigneux, ont pu conduire à des mesures géodésiques suffisamment exactes ; toutefois ils sont loin d'olTrir les mêmes garanties de précision que les règles de Borda ou les appareils plus modernes qui vont être décrits.
Le premier a été imaginé par le major général Coiby pour la mesure d'une base en Irlande, exécutée en 18^7 et 1828. Il a servi de modèle h on second appareil semblable, construit en Angleterre et envoyé dans rinde, où il a été employé par le colonel Everest à la mesure des bases de Calcutta.
L'appareil Colby (fig, 2) se compose de deux barres métalliques; Tune en fer doux forgé, l'autre en cuivre, d'un peu plus de 10 pieds de longueur, reliées l'une à l'autre vers leur milieu, de telle sorte que leurs dilatations se fassent librement dans les deux sens à partir de ce point. Aux deux extrémités, un petit levier transversal, fixé à articulation à chacune des barres, se prolonge du côté du métal le moins dilatable; sa longueur est telle, que les distances comptées d'un point marqué comme rqpère vers l'extrémité du levier, jusqu'à l'axe de chacune des articulatkmSy sont dans le rapport des coefficients de dilatation respectifs des deux métaux.
n en résulte que ces deux points forment des nœuds invariables, et que leur distance, qui représente la longueur de la règle, reste sensiblement constante. On devait toutefois compter sur une petite variation de longueur due a des imperfections inévitables de construction; elle a été déterminée par expérience en faisant varier la température, et l'on en a tenu compte.
Les deux barres sont enfermées dans une boite de sapin et reposent sur deux rouleaux en cuivre dont les axes sont fixés à la boite. Les points nodaux peuvent être démasqués à volonté. L'appareil est muni de deux
niveaux : Tun plus grand, situé dans le sens des règles et destiné à les mettre horizontales, l'autre plus petit et transversal, servant à les maintenir dans la même position.
Pendant les opérations, la boite est portée à j et } de sa longueur sur deux supports à trois vis appelés chameaux ^ reposant eux-mêmes sur un trépied. Le chameau d'arrière porte trois vis qui permettent de foire mai^ cher la règle dans le sens de la base, latéralement, ou enfin dans le sens de la hauteur. Celui d'avant ne possède que deux vis; un rouleau sert an mouvement longitudinal.
Pour mettre les règles de niveau, on se sert d'un oerole horizontal placé latéralement à égale distance des points nodaux sur lesquels on pose deux petits cônes égaux. Le cercle a été mis à la hauteur qu'on veut donner aux règles; la ligne de foi du grand niveau est réglée lorsque les barres ont été amenées horizontales. Ce mode est long et compliqué : il eût été préférable de se servir d'un niveau à bulle d'air et à retournement
Les bottes portent des pinnules placées de telle façon que, lorsqu'elles ont été amenées dans le plan vertical de la base, au moyen d'une lunette d'alignement montée sur un axe horizontal, comme la lunette des passages, les deux points nodaux de la règle satisfont à la même condition.
Les boites ne se touchent pas, et doivent être séparées par une distance de 6 pouces, que l'on obtient exactement à l'aide de microscopes dont il va être parlé, et en se servant de la vis de rappel longitudinale du chameau d*arrière de la deuxième règle, celle qui la précède étant invariablement fixée.
Les parties les plus délicates de l'appareil sont :
i*" Les deux petits leviers destinés à assurer l'invariabilité des points nodaux ;
a"" Le système de microscopes servant à mesurer la distance de 6 pouces qui doit séparer les points nodaux de deux règles consécutives.
A cet effet, deux microscopes sont réunis par deux tiges, dont Tane près de l'oculaire est en cuivre, l'autre près de l'objectif est en fer doux, et calculées de telle manière que les distances des foyers aux points d'attache soient dans le rapport des dilatations des deux métaux. En supposant cette condition parfaitement établie, les deux foyers seront des points nodaux ou neutres dont la distance restera invariable, quelle que soit la température.
sua LA UBSUAE DES BASES. 48 1
Les deux tiges de jonction sont percées à leur milieu, et une lunette servant d*axe de révolution au système passe au travers de ces deux tiges. Cette lunette centrale tourne dans un axe creux porté sur trois vis. Un niveau faisant corps avec le système sert à rendre Taxe de rotation vertical, et une lunette de direction à amener les axes des deux microscopes dans le plan de la base. Des vis de rappel sont destinées à effectuer ces différents mouvements.
Chaque règle reçoit, à Favant de sa boite, un système microscopique semblable à celui qui vient d*ôtre décrit. La lunette de direction étant orientée et le point nodal étant sous le fil du premier microscope, le point Dodal d'arrière de la règle suivante est amené sous le fil du deuxième microscope.
La lunette médiane est destinée à déterminer un point de repère sur la tête d'un piquet à la fin de la journée, ou entre deux portées consécutives. La distance de ce point à la lunette étant variable, Tobjectif peut être changé; mais alors il faut centrer de nouveau l'axe optique de la lunette.
Chaque portée est de six règles et forme un tout indépendant. Toutes les portées, étant horizontales, sont disposées par gradins qui ont des points de repère communs. Pour éviter toute perte de temps et tout ébranlement du sol dans le voisinage des règles, il faut que les trépieds nécessaires pour la portée qui suit celle sur laquelle on opère soient alignés et nivelés te mieux possible à l'avance. Une chaîne de 63 pieds, portant à des distances convenables des triangles isoscèles indiquant la place des trépieds, est tendue sur l'alignement. Afin de pouvoir rendre les portées horizontales, on a des trépieds de hauteurs différentes, et l'on est obligé quelquefois de creuser le sol.
Comme le système compensateur des règles et des microscopes exige que les différentes parties aient la môme température, il faut protéger tout l'appareil des rayons solaires, ce qui a lieu au moyen d'une tente composée de parties juxtaposées et portatives.
Les microscopes doivent être réglés de telle sorte que, lorsque Taxe de la lunette centrale est vertical, les axes des deux microscopes le soient aussi, du moins pour une température moyenne, et que leurs foyers soient exactement dans un même plan horizontal. Dans cet état, on mesure la distance des axes des microscopes sur une règle étalonnée. Cette règle a F. — Géodésie. 3l
462 NOTKS.
dû êlre comparée à l'étalon au moyen de deux microscopes fixés sur un support invariable, et dont *un est muni d'une vis micrométrique.
Avec un appareil si compliqué, il faut procéder avec ordre et méthode, et disposer d'un personnel nombreux, composé, savoir d'environ vingt hommes de service, non compris sept observateurs, qui porteront euxmêmes les microscopes dans les déplacements.
En Irlande ainsi que dans l'Inde, \es bases avaient été divisées en plusieurs segments reliés entre eux par une chaîne de triangles dont les sommets étaient déterminés par des mires parfaitement centrées et d'un excellent pointé, et dont les angles étaient mesurés avec la dernière précision. On a pu s'assurer ainsi qu'il n'existait pas d'omission ou d'erreur grossière dans la mesure directe; de plus, les différences, toujours très-petites, entre les segments mesurés et leurs valeurs déduites du calcul, en prenant l'un d'eux pour base de départ, ont fait connaître le degré d'exactitude sur lequel on pouvait compter.
La plus grande discordance trouvée entre les deux valeurs d'un même segment pour la base d'Irlande n'a pas dépassé 71707. Les autres erreurs étaient beaucoup moindres.
La méthode de Colby repose sur les procédés les plus précis d'observation puisés dans les propriétés optiques. S'il pouvait rester quelque incertitude sur l'extrême précision des résultats obtenus, on devrait eo chercher la cause dans les articulations du levier à compensation et dans la fixité de distance entre les axes des microscopes.
De Zach et Plana ont mesuré les bases d'Aix et de Turin, en se servant de règles de sapin imprégnées d'huile et recouvertes d'un vernis. Ils ont pensé, sans doute, que cette préparation devait suffire pour les préserver des influences hygrométriques constatées par le capitaine Mudge, et qui avaient déterminé cet habile observateur à proscrire entièrement les règles de sapin de la mesure des bases. Toutefois, de Zacb fondait son opinion sur ce fait remarquable, qu'ayant fait adapter à une pendule astronomique une verge de sapin huilée et yemie, et l'ayant comparée à une excellente pendule astronomique à balancier compensateur, les deux pendules marchaient avec la môme régularité. DeZacti laissait entre deux règles consécutives un intervalle de i à a pouces, qu'il mesurait avec une petite règle en cuivre divisée. Plana (fig, 4) approchait le talon de la seconde règle, jusqu'à ce qu'un point marqué latc-
ralement sur la tête d'un clou enfoncé sur cette règle fût exactement bissecté par un fil de soie tendu dans un châssis fixé à i*avant de la première règle, et perpendiculairement à cette règle, qui était calée horizontalement.
En Russie on a mesuré dix bases avec des règles métalliques, sur un arc de méridien de plus de a6 degrés, qui s'étend de la mer Noire à la mer Glaciale. Pour trois d'entre elles on a déterminé Tintervalle des règles au mayen de languettes, d'après la méthode de Borda; pour les autres on s* est servi d'un système imaginé par M. Struve, consistant en un leviei coudé, dont le petit bras vient buter contre le talon de la règle suivante, tandis que le grand bras indique sur un cadran la distance des règles.
Aux États-Unis on a employé d'abord l'appareil à microscope de Colby, puis on y a substitué le levier coudé de M. Struve ; mais, afin que les deux règles eussent toujours la même température, on les a recouvertes d'un môme vernis, et on leur a donné des dimensions transversales proportionnelles à la conductibilité de chacun des métaux dont elles sont formées. C'est une heureuse application d'un principe qui a été également utilisé pour maintenir l'égalité de température dans les verges des pendules compensateurs.
L'appareil de Bessel 0%. 3) a été employé par lui-même pour mesurer la base de Kœnigsberg en Prusse; par Schumacher, en 1 838, pour mesurer une base de vérification dans 111e d'Amayer en Danemark; par le général Akrelle, en 1840, pour la mesure d'une base près d'Upsal ; en 1846 et 1847, par le général Baeyer, aux bases de Berlin et de Bonn en Prusse ; enfin, en i853, par le colonel Nerenburger, pour la base d'Ostende en Belgique.
Les quatre règles qui constituent l'appareil du célèbre astronome sont en fer doux forgé. Leur longueur est de a toisîs, leur largeur de 12 lignes et leur épaisseur de 3. Chacune d'elles est recouverte par une règle en zinc un peu moins longue, de même épaisseur, mais moins large de moitié. Soudées et vissées par leur extrémité d'arrière, les deux règles sont libres sur tout le reste de leur longueur, et l'excès de la dilatation de celle de zinc sur celle de fer est destiné à faire connaître la température de l'appareil et la correction à appliquer pour ramener la longueur de la règle au terme de la glace fondante.
Aux deux bouts de la règle de zinc sont soudées deux pièces d'acier a,
terminées en forme de coin à arôte horizontale. Sur Textrémité antérienro de la règle de fer on a soudé et vissé une pièce d'acier terminée par deox biseaux tranchants, dont les arêtes sont verticales. Il résulte de cette disposition que, lorsque deux règles consécutives sont en place, un biseau vertical est toujours opposé à un biseau horizontal. La plus courte distance entre leurs arêtes est mesurée avec des coins de verre gradués. Lorsqu'une des faces du coin a été glissée légèrement le long du biseao horizontal jusqu'au contact du biseau vertical, la division qui correspond à celui-ci donne ou bien Tintervalle des deux règles consécutives, oo bien la différence de dilatation des règles de zinc et de fer superposées ; on en déduit la dilatation de chacune d'elles. Cinq coins ont été extraits d*une môme plaque de verre, usée de manière à obtenir deux faces planes non parallèles. La plus grande épaisseur du coin est d'un peu plus de a lignes et la plus petite d'un peu moins de o\ 8. Entre les points correspondant à ces deux épaisseurs- on a tracé, sur une des faces parallèles, 120 divisions également espacées et perpendiculaires à la bissectrice de Tangle du coin. Ces 120 traits embrassent une longueur de 41 lignes. Leur espacement est donc d'environ | de ligne, et sur cet intervalle l'épaisseur du coin varie de rh ^^ ligne, à très-peu près. On peut estimer environ { de cette distance de i de ligne, ce qui correspondrait à yiVî. La graduation a été étudiée, et Ton a construit une Table de correction.
Pour s'opposer à la flexion de la règle, on Ta fait reposer sur sept couples de galets, dont les axes traversent une barre de fer épaisse de 6 lignes et haute de 14, portant elle-même sur deux étriers en fer, de manière à être indépendante du jeu de la botte en sapin, dans laquelle repose tout le système. Les diamètres des roulettes ont été calculés d'ailleurs de telle sorte, que la règle fût exactement droite lorsque la barre reposait sur ses deux appuis. La règle est mobile sur les galets, dans le sens de la longueur, au moyen d'une vis de rappel. La boîte de sapin laisse sortir les deux extrémités de la règle, et l'on a ménagé, dans sa face supérieure, deux ouvertures : Tune pour observer un niveau à bulle d'air, établi au milieu de la règle et servant à en faire connaître l'inclinaison ; l'autre pour lire les graduations d'un thermomètre à mercure, dont les indications toutefois n'entrent pour rien dans le calcul. On a reconnu que le thermomètre à mercure est toujours en avance sur le thermomètre métallique.
SUR LA UESURB DBS BASES. 4^5
Voici comment on opèro en Belgique :
La base est d'abord alignée par les procédés ordinaires et divisée en sections de 600 mètres, qui représentent une journée de travail de sept à huit heures, et dont chacune sera mesurée au moins deux fois avant que Ton passe à la section suivante. Pour Talignement définitif, on emploie un théodolite de grande dimension avec lequel on détermine, par des observations très-précises, les angles que forment entre elles les sections consécutives, sans s'astreindre rigoureusement à la condition d'une rectitude parfaite d'une section à la suivante. La fin de chaque journée qui termine une section a été reconnue à l'avance et marquée par un massif de maçonnerie dans lequel on a scellé deux colonnes latérales en fonte, portant une tablette de môme matière destinée à recevoir le théodolite d'alignement. Dans chaque section on a fait placer, de aoo mètres en 200 mètres, une tablette en fonte portée par deux poteaux solidement enfoncés dans le sol. A l'aide du théodolite situé à Tune des extrémités delà section, on a lait tracer sur les tablettes la direction de l'alignement ; enfin, au moyen d'un petit théodolite, on aligne les règles d'une tablette à l'autre, c'est-à-dire dans une longueur qui ne dépasse pas 200 mètres.
L'observateur chargé de cette opération, après avoir placé son théodolite sur la tablette d'avant et amené l'axe de sa lunette dans le plan de la base, indique dans quel sons doit être déplacé l'avant de la règle que l'on pose, pour établir la coïncidence du fil vertical de la lunette avec un trait vertical tracé sur un papier blanc collé sur la boite de la règle, et qui correspond à Taxe de la règle en iér, tandis qu'un autre opérateur fait maintenir l'arrière de la règle dans le prolongement de celle qui précède.
Chaque règle est portée sur des chevalets dont les pieds reposent sur des plates-formes en fonte. Ces plates-formes sont portées elles-mèmea par trois piquets de chône de S à 4 centimètres de côté, enfoncés dans le sol qu'ils dépassent de i à 2 pouces. Les chevalets sont des trépieds dont la tablette est un fort madrier en chêne qui se trouve transversalement à la base lorsque les pieds correspondent aux piquets. Le chevalet d'arrière porte à son milieu une tête en fer sur laquelle pose l'extrémité postérieure de la règle. La tablette du chevalet d'avant se compose de deux pièces, l'une fixe, l'autre susceptible de s'incliner plus ou moins sur celle-ci au moyen d'une charnière et d'une vis calante dont la tête est en dessous.
Un homme de service, au moyen d'un niveau portatif à bulle d'air, établit l'horizontalité de cette pièce mobile, qui est surmontée d'une nervure cylindrique destinée à supporter la règle. Deux petits coins en bois sont placés ensuite entre les deux tablettes du chevalet, afin d'assurer la stabilité de la tablette supérieure. Pendant la mesure, trois des régies doivent toujours rester en place. Celle d'arrière est transportée à l'avant, alignée et rapprochée avec précaution de la précédente, jusqu'à ce que la distance des deux biseaux en regard ne dépasse pas a lignes. On fait alors la lecture du niveau, celle du thermomètre, ainsi que la double observation avec les coins du verre. Toutes ces observations sont faites en double et inscrites sur deux registres. Si les lectures des coins de verre diffèrent de plus de 3 millièmes de ligne, elles sont recommencées.
Voici le dispositif qui sert à fixer avec une grande précision le point d'arrivée d'une section et celui de départ de la section suivante : il se compose de deux colonnes en fonte verticales, assujetties invariablement dans le massif de fin de journée ; ces colonnes portent une barre quadrangulaire d'acier placée horizontalement dans le plan de la base, à la hauteur des règles, et terminées comme celles-ci, c'est-Â-dire par un biseau vertical à l'avant et un biseau horizontal à l'arrière. Cette barre est graduée, peut marcher horizontalement et être arrôtée lorsqu'une de ses divisions correspond exactement à un trait gravé sur la partie métallique qui la soutient, et destiné à servir de repère. Lorsque la dernière règle, celle de fin de journée, arrive à portée de cette barre, on approche celleci jusqu'à la distance de a lignes au plus, et, après avoir fortement serré les vis de pression, on mesure l'intervalle des deux biseaux avec les coins de verre. Les règles sont alors enlevées, et l'on couvre le système qui constitue le repère avec une cloche de zinc que Ton boulonne sur la maçonnerie. Les journées suivantes, on pourra recommencer la mesure de la même section ; enfin, après avoir répété au moins deux fois cette opération, on procédera à la mesure de la section suivante en prenant pour point de départ le biseau d'avant de la barre d'acier, dont la longueur a dû être étalonnée avec le plus grand soin.
Les deux termes de la base sont déterminés par un massif en maçonnerie dans lequel on a scellé un petit cube en cuivre dont Tune des faces sert de plan de départ ou d'arrivée. Â cet effet, un fil à plomb s'appuyant sur le biseau horizontal de la première règle, ou sur celui de la barre
d*acier de la dernière journée, doit être tangent à la face du cube destinée à limiter la base.
La méthode de Bessel, qui vient d'être exposée, est susceptible d'une extrême précision. Dans une base d'essai mesurée plusieurs fois, près de Bruxelles, Perreur probable a été évaluée à environ jj^jyg de la base.
Toutefois deux objections viennent se présenter à l'esprit ; l'une d'elles tient à l'emploi du zinc comme l'un des éléments du thermomètre métallique : ce métal jouit, il est vrai, de l'avantage d'être très-dilatable ; mais ne manque-t-il pas d'élasticité, et ne doit-on pas craindre qu'il ne revienne pas à sa longueur primitive après une forte dilatation ? La seconde objection est relative aux coins de verre qui doivent user le biseau vertical vers son milieu et s'user eux-mêmes, ce qui nécessiterait de fréquents étalonnages ?
m. Appareil Porro. — Depuis la construction des règles de Borda, tous les appareils de précision employés à la mesure des bases reposent sur les mêmes principes, à savoir, de laisser entre les règles consécutives un petit intervalle que l'on se propose de mesurer avec une extrême exactitude. M. Porro, ingénieur piémontais et habile constructeur établi à Paris, s'est jeté dans une voie entièrement nouvelle, unissant à une grande simplicité l'avantage de pouvoir atteindre aux dernières limites de précision que comportent les instruments modernes.
Cette méthode consiste essentiellement dans l'emploi de quatre ou cinq microscopes (Jlg. 5) que l'on pose successivement sur des supports solides dans la direction de la base, à des distances à peu près égales entre elles et à une règle divisée à ses deux extrémités et parfaitement étalonnée. Les axes des microscopes sont rendus verticaux à l'aide de niveaux, et leurs foyers forment autant de points de repère fixes dont on mesure la distance avec la règle dont il a été parlé. Un niveau placé sur cette règle donne son inclinaison, et une lunette de direction fait connaître la petite déviation du parallélisme à la base, si elle existe, d'où résultent deux corrections faciles à introduire dans le calcul.
Dans le premier appareil construit par M. Porro, la règle servant de mesure était une verge cylindrique en sapin verni, d'environ 7 millimètres de diamètre sur 3 mètres de longueur, soutenue par des diaphragmes dans Qn tube de cuivre, qui devenait exactement rectiligne en vertu de son
propre poids et de celui de ia verge, lorsqu'il était appuyé sur ses deux extrémités. Deux languettes en nickel de 5 millimètres chacune étaient appliquées et rivées solidement sur une surface plane résultant d'une section pratiquée dans le sens de l'axe delà verge. Cette languette, divisée en décimillimètres, donne, par l'estime des cinq fils des microscopes, la quantité à ajouter à la partie constante de la verge, à moins de o,oo5 de millimètre.
Dans cet appareil, la verge et le tube se démontent en trois parties, ce qui contribue à le rendre très-portatif. En outre, la verge en sapin, du moins d'après l'opinion de l'inventeur, fondée sur les expériences de de Zach, aurait l'avantage d'être sensiblement indépendante des variations thermométriques et hygrométriques.
Au Dépôt de la Guerre, où l'on a fait construire un appareil destiné à mesurer des bases en Algérie, on a pensé que l'invariabilité des verges de sapin n'était point suffisamment démontrée pour des opérations d'une grande précision, et l'on a adopté de préférence une double verge, acier et cuivre, chacune d'une seule pièce. La lecture de ces deux verges fait connaître, pour une môme distance mesurée entre les foyers des microscopes, la différence de leurs dilatations, d'où l'on peut déduire la température au moment de l'observation et la correction qu'on doit leur appliquer pour les ramener à leur lonj^ueur à zéro, température de l'étalonnage.
Le R. P. Secchi, directeur de l'observatoire du Collège romain, a fait construire un appareil semblable, à quelques dispositions près, à celui du Dépôt de la Guerre, pour effectuer sur la via Appia un nouveau mesurage de la base du P. Boscowich, dont les termes ont été détruits. Le fer forgé a été substitué à l'acier adopté par le Dépôt de la Guerre comme métal moins dilatable. Sans doute le savant astronome romain 8*est appuyé sur des expériences de MM. Biot et Arago, qui tendraient à prouver que la dilatation de l'acier est moins régulière que celle du fer doux; toutefois ces irrégularités ne se sont pas manifestées dans des expériences de dilatation, faites au Dépôt de la Guerre, sur la verge d'acier construite pour cet établissement.
Dans l'appareil bimétallique du Dépôt de la Guerre, les deux verges sont reliées vers leur milieu par un anneau, et se dilatent librement à partir de ce point jusqu'à leurs extrémités. Ces deux verges, enfermées dans une
boîte de sapin, sont posées sur des traverses formant cloisons. Les ûancs de la boite, solidement maintenus par ces traverses et relevés en arc vers leur partie moyenne, servent d*armature et s'opposent efficacement à la flexion. Toutefois, si cette flexion venait à se produire, on la reconnaîtrait et Ton en mesurerait la flèche au moyen d'un fil de soie fortement tendu, dont le milieu correspond à une lame de verre divisée en millimètres. Le même fil, observé par des ouvertures ménagées en dessus de la boîte, permet de s'assurer de la rectitude des verges dans le sens latéral.
Dans l'appareil romain, la flexion verticale est déterminée ainsi qu'il suit : Un objectif dont la distance focale est égale au quart de la longueur des verges est fixé transversalement sur leur milieu ; deux verres plans sont placés parallèlement à l'objectif, à leurs extrémités. L'un de ces ^wres porte une échelle verticale en millimètres, l'autre un simple trait horizontal sur lequel vient se peindre, pour un observateur placé en arrière, le point de l'échelle qui se trouve en ligne droite avec le centre optique de l'objectif. On conçoit que, si l'on a noté le point de l'échelle qui correspondait au trait au moment de l'étalonnage des verges, on pourra connaître la variation de flexion qui s'est produite depuis l'étalonnage, et en tenir compte pour calculer un terme de correction.
Le tube des microscopes est armé d'un niveau et est susceptible de retournement dans deux collets qui sont portés en saillie par deux tiges horizontales. Ces tiges sont reliées par une colonne verticale creuse, reposant elle-même sur un pied triangulaire muni de trois vis qui servent à rendre le tube du microscope vertical. Du côté opposé au microscope, la colonne porte une pièce massive en fonte qui forme contre-poids, et qui, de plus, a pour destination de servir de support aux deux tourillons d'une lunette d'alignement. Cette lunette porte à l'intérieur, et un peu en arrière de l'objectif, une lentille de petit diamètre, mobile dans le sens de Taxe de la lunette, et qui est réglée de telle sorte que sa combinaison avec le grand objectif donne lieu à la production, sur les réticules, de l'image d'une réglette en ivoire graduée, placée sur les supports du contrepoids suivant, c'est-à-dire à la distance d'une longueur de règle. Cette image est superposée à celle d'une mire verticale placée à a ou 3oo mètres dans la direction de la base, mais un peu en dehors de cette direction. Ce déplacement latéral de la mire doit être égal à la distance de l'axe du
microscope à Taxe de la lunette d'alignement. Le fil vertical de la lunette d'alignement étant amené sur le centre de la mire par un mouvemenl azimutal que peut exécuter le contre-poids, ou support de la lunette autour de la colonne centrale, on pourra lire, sur la réglette d'ivoire dont il a été parlé, la division de cette réglette qui correspond à la mire. Si c'est le point milieu de la réglette, on en conclura que les axes des microscopes sont dans le plan d'alignement; si cette condition n'est pas remplie, on lira le nombre de divisions dont le point milieu de la réglette est dévié ; ce nombre, inscrit sur les registres d'observations, servira à calculer le terme de correction provenant de la déviation latérale de la verge. La lunette de direction se place sur le microscope d'arrière après Tenlèvement de la règle. Un des opérateurs est spécialement chargé de placer la lunette et de faire l'observation.
Pour les repos ou fins de journée, on projette sur la tète d'un piquet enfoncé dans le sol l'axe optique du dernier microscope. A cet effet, l'objectif à court foyer du microscope est collé au centre d'un objectif d'un diamètre beaucoup plus grand, et tel qu'il puisse donner une image distincte sur les réticules d'un objet situé au niveau du sol, c'est-à-dire à une distance d'un peu plus d'un mètre. Lorsqu'on se sert du microscope pour observer les languettes des règles, l'objectifest recouvert d'un obturateur au centre duquel on a ménagé une ouverture ayant même diamètre que l'objectif à court foyer ; tandis que, pour l'observation du repère au niveau du sol, le grand objectif est entièrement démasqué par l'enlèvement de l'obturateur. Dans l'observation du dernier microscope, on doit s'attacher à rendre son axe optique parfaitement vertical. On réglera l'oculaire relativement à la tête du piquet ; on remettra l'obturateur pour faire la lecture des languettes, et enfin on l'enlèvera de nouveau pour la lecture du repère. Lobservation du dernier microscope doit être faite en double par retournement, soit sur la languette, soit sur le repère, afin que ces observations soient dégagées de la décentration de l'axe optique. Le repère est un petit trou circulaire percé au centre d'une rondelle en cuivre fixée à l'aide de trois vis sur la tète du piquet. Ce trou est destiné à recevoir une goupille presque de môme diamètre , ajustée perpendiculairement à une réglette en ivoire divisée en demi-millimètres, et que Ton dirige dans le sens de la base. Le zéro correspond à l'une des extrémités de l'échelle. Après avoir fait une première lecture, on retourne la réglette et on lit de nouveau.
La moitié de l'excès de Tune des lectures sur l'autre donnera la distance de la goupille ou du repère, à l'axe du dernier microscope prolongé; le signe dépendra de la position du zéro. Aux deux termes de la base, l'axe du premier ou du dernier microscope sera rattaché au repère par la môme méthode; toutefois, pour arriver sur le dernier repère, on se servira, s'il est nécessaire, d'une mesure plus courte que la règle ordinaire, sauf à l'élalonner avec le mètre, qui doit faire partie de
Tous les appareils de M. Porro sont accompagnés d'un mètre étalon; celui du Dépôt de la Guerre est bimétallique comme les règles, et porte à ses extrémités des languettes en argent divisées. Ce mètre servira à étalonner les règles au commencement et à la fin de la mesure de la base, et l'op^tion s'exécutera absolument par la même méthode : on placera quatre microscopes à environ i mètre de distance, et Ton mesurera la distance des microscopes extrêmes, soit d'une seule fois avec les verges, soit en trois portées avec le mètre étalon.
Pour compléter la description des éléments essentiels de l'appareil, il reste à parler des trépieds des microscopes et des règles. Les premiers doivent être massifs et armés de fortes pointes en fer que l'on enfonce dans le sol à coups de maillet. H serait bon, en outre, pour assurer la stabilité de ces trépieds, de charger leur traverse inférieure d'un poids de 25 à 3o kilogrammes.. Les trépieds des règles sont plus légers, et seulement au nombre de trois. Ils doivent avoir un pied articulé et être munis d'une vis calante permettant d'élever ou d'abaisser à volonté une tablette supérieure. Enfin une demi-tente portative ou une toile verticale soutenue par des lances, destinée à préserver les microscopes des rayons solaires, au moins sur une longueur de deux portées, est indispensable. Si le vent devenait trop violent, il faudrait ou suspendre l'opération, ou en préserver les règles et les microscopes par un abri.
Les détails qui précèdent suffiront pour faire comprendre la série des opérations à exécuter; on peut toutefois les résumer ainsi :
Jalonner la base : pour cette opération, on se sert d'un théodolite de grande dimension, et l'on commence à la diviser en segments par la détermination de plusieurs points intermédiaires entre les mires des deux termes extrêmes. Chaque segment est ensuite tracé séparément par cheminement^ et l'on fait enfoncer, de 200 mètres en 200 mètres, des piquets sur la
tête dequels un clou indique le passage de la ligne. A partir du premier terme de la base, espacer et aligner les trépieds massifs qui doivent être en nombre au moins double des microscopes, afin de ne pas ébranler le sol dans le voisinage de ceux-ci en les enfonçant. Poser les microscopes sur leurs trépieds et les aligner avec le plus grand soin entre les mires d'avant et d'arrière placées sur les piquets voisins. La distance des microscopes est donnée par une mesure ou une baguette, dont la longuear est égale à la distance du milieu des languettes des verges. Caler dans la position verticale les tubes des microscopes à Taide de leurs niveanx. Mettre en place les trépieds de la règle et poser celle-ci sous les deus premiers microscopes. Régler les oculaires et les réticules des micrt>scopes, et amener les divisions de languettes au foyer, soit avec les \is qui font monter ou descendre les tubes des microscopes, soit avec les vis calantes de trépieds. Faire la lecture aux cinq fils des languettes, cuivre et acier, la lecture du premier microscope correspondant au repère, devant être en double, par retournement. Lire la position de la bulle sur \^ niveau des règles, dont la collimation a dû être déterminée préalablement par la méthode des retournements. Transporter la règle entre les deuxième et troisième microscopes. Placer la réglette sur le repère du premier terme de la base, et lire les divisions par double retournement du microscope et de la réglette. Cette lecture faite, poser la lunette d*aligoement sur le premier microscope, et déterminer la déviation latérale de te règle dans sa première position. Faire toutes les observations en double et les inscrire sur deux registres, continuer le cheminement en faisant transporter les trépieds et les microscopes de l'arrière à Tavant, au fur à mesure qu'ils deviennent libres. Enfin, projeter sur un repère au niveaa du sol, par les procédés qui ont été indiqués, Taxe du dernier microscope des fins de journée.
Dans le calcul définitif de la base, on attribue à toutes les règles pos^ sur le terrain la longueur qu'elles auraient eue à la température zéro, les languettes non comprises (on admet que l'étalonnage est rapporté à la glace fondante ; il aurait pu l'être, comme pour les règles de Borda, à la température à laquelle la règle serait un multiple exact de l'étalon). En outre, on les suppose parfaitement horizontales, exactement rectiiignes, dirigées dans le plan vertical de la base, et situées à l'altitude zéro, c'està-dire sur la surface de niveau de l'Océan moyen prolongée.
sua LA MESURE DES BASES. 493
Ces hypothèses nécessitent l'addition de certains termes de correction représentant :
i*" La somme des languettes réduites à la température zéro ; la réduction se prend à vue dans une Table ;
2^ Le produit du nombre des règles posées sur le terrain, par la dilatation que subit la règle dont on s'est servi en passant du terme de la glace fondante à la moyenne de toutes les températures observées pendant la mesure. Cette correction est positive ;
3" La somme des corrections négatives dues à l'inclinaison de chaque règle.
Ces corrections sont prises dans une Table construite avec la formulo
C = — aLsin^io, ou, si l'angle est très-petit,
G = — iLô*sin«i",
dans laquelle G représente la correction, L la longueur de la règle, et 0 son inclinaison.
4"* La somme des corrections négatives dues à la flexion dont on a a observé la flèche /.
La Table sera calculée par la formule
5* La somme des corrections négatives résultant do la déviation latérale d\ on aura
valeur qui sera prise dans une Table.
6° Enfin la réduction au niveau de la mer, correction également négative, qu'il suffira d'effectuer sur la longueur totale de la base B et avec la moyenne h des altitudes des termes extrêmes.
En représentant le rayon de la Terre par ft, on aura
Les formules précédentes sont toutes démontrées dans le paragraphe relatif à la mesure des bases, excepté celles des numéros 4** et 5* (n" 121 et suivants).
Pour la flexion, nous remarquerons que, la verge étant enfermée dans une enveloppe formant armature et garnie de cloisons, il serait impossible de mettre cette flexion en équation : tout ce que Ton peut admettre, c'est que la courbure est plus prononcée vers le milieu de la verge qw vers les extrémités sur lesquelles elle pose, et qu'ainsi la flexion est uo état intermédiaire entre le cas d*une rupture au milieu de sa longueur et celui d'une courbure en arc de cercle.
Dans le cas de rupture, soient /la flèche, a la longueur de la demi-verge o la demi-corde de flexion, on aura
ou sensiblement
Dans le cas de courbure en arc de cercle, on aura
6 = rsm- = fl — :j-r«-* r « — • '
y = r(.-cos^)=r(ie!-±f;^...y
Négligeant les troisièmes puissances de -y on pourra écrire
a — b=-:-^a et 4*i- = --, d'où
3 rt 2 et pour la moyenne de ces deux valeurs
en remarquant que L = 2 a, et enfin
Celte correction est négligeable tant que la flèche ne dépassera pa9 I millimètre.
Pour une flèche de i millimètre, une règle de 3 mètres et une base de 12 0OO mètres, Terreur totale serait d'environ 3 millimètres sur la base totale. Si la flèche était de a millimètres, l'erreur serait d'environ
Pour la déviation latérale, L étant la longueur de la règle, V âa projection sur la direction- de la base, d la déviation d'une de ses extrémités, on aura
