I. - MÉTHODE DE LÀ RÉITÉRATION

Les avantages de la méthode de répétition des angles sont incontestables, lorsqu'on emploie des instruments mal divisés et des moyens de lecbure insuffisants. On démontre, en effet, que, si Ton appelle a cl ^ les erreurs moyennes d'un pointé et d'une lecture, l'erreur moyenne d'un angle obtenu par n répétitions et par les deux lectures extrêmes est égalée

et que l'erreur moyenne du même angle obtenu par n observations indépendantes est

/aa' -4- âp»^

(*) Voir Tjagbb, Calcul des probabilités, p. 287.

50'2 NOTE

L'avantage Je la première méthode sur la seconde serait donc mesuré par la différence

qui est toujours une quantité positive et croit avec p, c'est-à-dire avec l'erreur moyenne d'une lecture. Il est, par conséquent, d'autant plus grand que la graduation du limbe est plus imparfaite et que la lecture est moins rigoureuse.

Le calcul précédent suppose que la mesure d*un angle n'est sujette qu à deux causes d'erreur : celle de la lecture, comprenant Terreur de la division, et celle du pointé; et c'est cette hypothèse qui donnerait à la répétition un réel avantage, mais elle n'est pas fondée dans la pratique.

On admet, en effet, dans la répétition des angles, que le point de départ de chaque mesure sur le limbe est précisément le point d'arrivée de b mesure précédente; or il y a une certaine manœuvre à effectuer entre la fin d'une duplication et le commencement de la duplication suivante, manœuvre qui consiste à faire tourner d'un mouvement général, autour d'un même axe, le cerde limbe, le cercle alidade et les deux lunettes, jusqu'à ce que l'une d'elles soit pointée de nouveau sur l'un des deux objets. On admet ainsi que le système est complètement rigide et invariable, et que, malgré le déplacement de l'appareil, les verniers ne cessent pas de correspondre à la môme division, et les lunettes de faire entre elles le même angle; mais le jeu des axes, jeu nécessaire sans lequel aucun mouvement no serait possible, contredit cette supposition. En fait, la lunette, l'alidade et les verniers sont toujours déplacés d'un petit angle.

Cette cause d'erreur et d'autres causes analogues, telles que la flexioo de la lunette et l'usure des centres, expliquent comment il se fait que la répétition donne toujours des distances zénithales trop petites, d'une quantité à peu près proportionnelle au sinus de la distance mesurée et variable d'un instrument à l'autre ; pourquoi certains cercles répétiteurs donnent des mesures affectées d'une erreur constante notable, tandis que d'autres ont la singulière propriété de faire obtenir, pour un môme angle, des \'aleurs croissantes ou décroissantes, à mesure qu'on augmente le nombiv de.< répétitions.

SUR LA MÉTHODE ET LES INSTRUMENTS d'oBSEAVATION. 5oS

EnSn, les cercles répétiteurs sont des instruments dont la construction est rendue difficile, aussi bien que la manœuvre, par la multiplicité des axes et par la complication qu'entraînent les retournements du limbe et les mouvements généraux ou particuliers du limbe et des deux lunettes.

La méthode de la mesure simple des angles, ou de la réitération, outre qu'elle comporte une plus grande simplicité dans la construction et la manœuvre des instruments, et qu'elle permet à l'observateur de mieux contrôler ses mesures et de donner à chacune d'elles son poids, possède le précieux avantage d'éliminer rapidement, par compensation, les erreurs systématiques de la division, et d'être indépendante des erreurs constantes qui rendent la méthode de répétition moins sûre et moins précise qu'on ne l'a cm pendant longtemps; c'est cette méthode qui est aujourd'hui employée exclusivement dans les observations géodésiques de haute précision.

Erreurs de diTision. — Quel que soit le système employé pour diviser un cercle, il y a toujours lieu de partager les erreurs de la division on deux classes :

i"* Les erreurs accidentelles, qui ne suivent aucune loi, qui sont indifféremment positives ou négatives, et dont la probabilité décroît rapidement à mesure qu'elles se rapprochent d'une certaine limite; ces erreurs peuvent être comprises dans Terreur de lecture et sont atténuées ou compensées par un grand nombre d'observations.

a"* Les erreurs systématiques ou régulières, qui dépendent d'un vice quelconque et dont l'influence se fait toujours sentir * par exemple, l'excentricité et l'inclinaison du limbe à diviser, lorsqu'il est placé sur la plateforme de la machine, par rapport au centre et ar plan du grand cercle de la machine à diviser.

La loi de la première de ces erreurs est facile à trouver ; son expression 6n série est, en prenant le rayon pour unité,

esin(tf — a)-+--£r*sin2(tt — a) -h x ^' sin 3 (/x — a) -♦-...,

dans laquelle e désigne le rapport de Texcentricité au rayon du limbe, tt la division considérée et a la division qui répond au rayon sur lequel sont situés les deux centres.

5o4 NOTE

La loi de la deuxième erreur systématique est donnée par la formule tangj; = tang^ cosw,

dans laquelle oa désigne rinclinaison des deux cercles, x la distance angu« laire d'une division de la machine au point d'intersection des deux cercle.«, y la distance de la division correspondante sur le limbe qu'on veut divise;; division qui s'obtient au moyen d'un tracelet perpendiculaire au plan Ùô la machine.

En développant en série la valeur x — /, on trouve

X —y = — tang' ( - w J sin 2/

-h i tang* ( - w j sin4j — X tang« f - « j sinCj -h . . . •

On peut, en général, représenter les erreurs systématiques de la division par une série convergente de la forme

Ai8in(//-- aj) -h Â|Sin2(2£— at) ■+■ Atsin3{tt — aj) -♦- ...,

dans laquelle la variable u désigne la division considérée; Ai, As, Ât étant des constantes numériques, et ai, at, as, ... des constantes angulaires, le rayon étant pris pour unité. Les premiers termes de cette série ont seuls une valeur sensible ; les termes plus éloignés, dont l'indice dépasse un petit nombre d'unités, sont négligeables, si la division est bien faite.

U est facile de voir que, si l'on a n verniers équidistants répartis sur le tour entier du limbe, et si l'on fait la moyenne des n lectures, les termes de la série dont l'indice n'est pas divisible par /i, et notamment les (/i ~ 1) premiers termes, disparaissent ; de sorte que la présence de n verniers équidistants n'élimine pas seulement l'erreur d'excentricité de l'alidade, mais encore elle annule les (« — i) premiers termes de la série qui représente les erreurs de division. Elle laisôe subsister seulement les termes dont l'indice est un multiple de /t, et notamment le n?*^ terme qui est suivi de (/i — i) termes nuls et qui, si n est grand, peut être considéré comme étant, à très-peu près,' l'expression de l'erreur systématique per- , sistante de la division pour h trait a.

En se servant toujours de la même région du limbe et des mêmes traits,

SUR LA MÉTHODE ET LES INSTRUMENTS D^OBSERVATION. 5o5

dans toutes les mesures partielles, on retomberait toujours sur les mêmes erreurs de la division, et, par la moyenne d'un certain nombre d'observations, on n'atténuerait que les erreurs de pointé et de lecture. Mais, si l on recommence la lecture d'un angle en prenant successivement pour origines sur le limbe des traits équidistants répartis sur tout le pourtour, on élimine ainsi presque entièrement les erreurs de la division.

Si n est le nombre des vernierâ et N le nombre des mesures qu'on se propose de faire, on prendra successivement pour origines

p 4c>o<^ îoo** , 4 00^'

et, dans ce cas, la moyenne de toutes les mesures individuelles sera indépendante des N /z — I premiers termes de la série des erreurs systématiques. Tous les termes qui contiennent des sinus disparaissent, en effet, jusqu'au terme d'indice N/i ^ i, parce que, d'après un théorème connu, la somme algébrique des sinus d'arcs croissant en progression arithmétique de zéro à 400^ est nulle.

Ainsi, par !u> mesures simples faites à 4 vemiers équidistants, les 79 premiers termes de la série n'ont aucune influence sur la moyenne des résultats, et il faudrait qu'un cercle fût bien mal divisé, pour que les termes suivants eussent une valeur appréciable.

Des micro8Copes à micromètres. — Dans les instruments réitérateurs employés aux opérations géodésiques du premier ordre, les vemiers sont remplacés par des microscopes à micromètre et la précision de la lecture en est considérablement augmentée.

Un microscope se compose d'un objectif à court foyer et d'un oculaire monté dans un tube dont l'axe est normal à la surface du limbe divisé ; quand il est réglé, l'image des traits doit se produire dans le plan même des fils du réticule tendus à l'intérieur du tube, et l'oculaire est placé de manière que l'observateur voie, sans parallaxe ^ dans le même pian focal, les images des traits et celles des fils.

Le réticule est formé de trois fils, dont l'un est perpendiculaire et les deux autres parallèles aux traits de la graduation, l'écartement des fils parallèles étant réglé de manière qu'ils puissent déborder légèrement de chaque côté les traits noirs du limbe intercalés entre eux et laisser

NOTE

voir deux petites bandes lumineuses d'égale largeur (Jig. i, a); il est porté par un châssis rectangulaire, percé d'une ouvertune ronde, sur laquelle vient affleurer une réglette dentelée ou peigne, visible dans le champ de l'oculaire et susceptible de recevoir de petits dépkcementâ

Fig. I. — Réticule.

longitudinaux au moyen d'une vis V. L'intervalle des dentelures du peigne correspond à un déplacement d'un tour de la vis; les dents sont divisées en groupes de cinq au moyen d'entailles rectangulaires pratiquées dans

Fig. 3. — Micromètre.

la plaque, et Tune d'elles se termine par un cercle à jour dont le cenin est pris pour le zéro du microscope. Le réticule peut se mouvoir aa moyen d'une vis micrométrique M, qui en mesure le déplacement dans un plan parallèle au plan du limbe ; sur la tôte T de cette vis est monté, à frottement doux, un tambour circulaire /, divisé en loo parties; un index de repère est tracé sur un petit doigt argenté porté par la boite micrométrique. Par construction, les lectures du tambour vont en croissant, quand la vis porte le fil d'un trait de la graduation sur le trait im*

SUR LA biétiiodf: et les instruments d'orservation. 5o7

médiatement inférieur, et ce mouvement indique un déplacement du fil dirigé du zéro vers la tête de la vis, qui est d'ordinaire placée à la droite de Tobservateur.

On dispose toujours le système de manière que la distance apparente de deux traits consécutifs corresponde à un nombre simple de tours de la vis Ainsi, dans le cercle géodésique que nous décrirons plus loin, la chiifraison est centigrade et marche de droite à gauche pour un observateur placé au centre du cercle; ce cercle est divisé de lo en lo minutes, et l'intervalle de deux traits est équivalent à deux tours et demi de la vis ou 25o divisions du tambour : chaque tour de la vis vaut donc 4 minutes et chaque division du tambour 4 secondes centésimales d'arc. Il suffît, pour atteindre ce résultat, d'éloigner ou de rapprocher convenablement l'objectif du microscope de son oculaire, en approchant ou éloignant du cercle le microscope tout entier pour rétablir la netteté de la vision.

Imaginons maintenant une alidade qui porte quatre microscopes et un index muni d'une petite loupe pour l'origine des lectures. Pointons le trait de l'index sur le zéro de la graduation, de manière que les deux traits soient exactement sur le prolongement l'un de Tautre. Pour que les quatre microscopes soient réglés et disposés pour l'observation, il faut et il suffît que les fils réticulaires amenés au zéro du peigne soient pointés sur des traits distants entre eux de loo grades, les tambours micrométriques marquant alors zéro. On réalise ces conditions en pointant d'abord les fils sur les quatre traits équidistants repérés d'une manière sûre et ramenant le zéro du tambour micrométrique en face de l'index, puis agissant sur la vis Y pour placer le zéro des peignes en face des fils.

Cela étant, déplaçons l'alidade et fixons-la dans une position quelconque; l'index fera connaître les grades et les dizaines de minutes, et c'est à l'aide des microscopes qu'on appréciera la fraction de division à ajouter pour obtenir la lecture complète. La chifTraison du limbe croissant de droite à gauche, de a en 6, comme le microscope renverse les objets, c'est le '^t a qui paraîtra à gauche et lo trait b à droite ; m étant la position des vils du réticule, c'est l'intervalle am qu'il faudra apprécier, c'est-à-dire ^intervalle entre le zéro et le trait le plus voisin situé du côté de la tête de vis. Il sufQra pour cela de tourner la vis dans le sens de la graduation du tambour, de pointer le trait inférieur a, de faire la lecture du tambour, et de convertir ensuite cette lecture en minutes et secondes d'arc.

Ôo8 NOTE

Exemple. — Le i^juin, au cercle azimutal du Dépôt de la Guerre, on a fait les lectures suivantes :

Index: iao<îio\

t p Microscopes A 2.27 , 5

Puisque chague tour vaut 4 minutes d'arc et chaque partie du tambour 4 secondes, il suffira d'ajouter les quatre lectures des microscopes pour obtenir les minutes, les secondes et les fractions de seconde de la leclure complémentaire; on obtiendra ainsi pour la lecture finale 120^1906*^3.

Tare des microscopes. — Ce mode de conversion en arc suppose que la relation indiquée plus haut entre la distance de deux traits du limbe el le tour de la vis reste invariable; mais il n'en est jamais ainsi, à cause des petites variations qui se produisent dans la distance du microscope au cercle et dans les diverses parties du système. Il est donc nécessaire de déterminer de temps en temps l'erreur des tours, ou, comme on dit, de tarer les microscopes, a6n de pouvoir corriger ensuite les lectures faites.

Pour cela, on mesure avec les quatre microscopes un grand nombre d'intervalles de traits consécutifs, dans différentes régions de la graduation, et, comme on peut admettre que les erreurs des divisions, tantôt positives, tantôt négatives, se compensent en prenant la moyenne de toutes les mesures faites, on obtient, pour l'intervalle de deux traits, un résulial définitif qu'on peut regarder comme représentant, en parties de la vis du microscope moyen, la valeur exacte d'un intervalle de 10 minutes. Si l'on trouve, par exemple, 25o zfc x pour cette moyenne, x ne dépassant jamais une ou deux unités, la correction à faire subir aux lectures angulaires calculées, comme on l'a vu plus haut, sera égale à qi 4^ pour 10 minuies d'arc, et l'on construira une Table donnant à vue la correction correspondant à une lecture quelconque de zéro à 10 minutes d'angle.

Degré de précision des lectures avec les microscopes à micromètre. — Lorsque les traits du limbe se détachent nettement sur le fond blanc argenté, le pointé d'un trait, effectué avec les fils mobiles d'un mi-

SUA LA UETllOOE ET LES INSTRL'JJENTS D OBSERVATION. 509

croscope, e^t réaiisô sans peine, môme par un observateur peu expérimenté, à moins d'un tiers de division du tambour, et Ton peut admettre que Terreur moyenne d'une lecture simple ne dépasse pas | de seconde; d*oii il résulte, d'après le Calcul des probabilités, que la moyenne des lectures faites à quatre microscopes équidistants, affranchie d'ailleurs de Terreur d'excentricité et des trois premiers termes de la série des erreurs systématiques de la division, n'est plus affectée que d'une erreur égale à

^ = ifc - de seconde d'arc = zfc o*,()7.

II. — DESCRIPTION DU CERCLE AZIMUTAL RÊITÉRATEUR DU DÉPÔT DE LA GUERRE DE FRANCE.

Le cercle azimutal, qui a été construit, sur mes indications, par M. Brunner, et qui est actuellement employé pour la nouvelle mesure de la méridienne de France, est un instrument d'une simplicité extrême, uniquement disposé pour la mesure des angles horizontaux ou difTérenccs d'azimut, et débarrassé de la complication d'axes, do vis et de pinces, de mouvements généraux ou particuliers, qui rendaient si défectueux les cercles répétiteurs {^g. 3 et 4).

Réduit à ses éléments essentiels, il se compose d'un limbe gradué LL et d'une alidade A', montés autour d'un axe commun A; cet axe, de section tronconique, est en acier et fait corps avec le pied de Tinstrument, qai est formé d'une masse centrale pourvue de trois bras reposant sur trois vis calantes p. Chacun des bras porte un appendice vertical tt, sur lequel est vissé fortement un anneau circulaire rc, de o*",4â de diamètre, qui entoure et protège le limbe.

§ 1. — Du CERCLE.

Cercle. — Le cercle divisé, dont la couche argentée est disposée suivant une surface conique, est porté par huit rayons faisant corps avec un plateau central qui repose sur une sorte de socle annulaire SS, vissé sur la masse centrale du pied ; il est monté sur Taxe et est emboîté entre le socle et une rondelle de cuivre RR, contre laquelle il peut être pressé au moyen

5lO NOTE

de grosses vis butantes w. Lorsque ces vis sont serrées, le limbe est absolument indépendant de l'alidade mobile et assujetti dans une position in-

F'iQ. 3 et 4* — Cercle azimutal.

variable, et il n'y a pas lieu de craindre des eflbts d'entraînement; si elles sont desserrées et si l'on agit sur deux rayons opposés, il peut tourner librement autour de son axe à frottement doux. C'est grftce à cette di^ sition qu'on peut déplacer à volonté l'origine des lectures.

SUR LA MÉTHODE ET LKS INSTRUMENTS D'OBSKRVATION. 5iI

Le diamèlre du limbe divisé est deo'",42; il porle une graduation centigrade de 10 en lo minutes, chaque division occupant environ ^ de millimètre; la chi if raison est faite de a en a grades, et court de droite à gauche.

Alidade. — L'alidade emboîte, comme un manchon et à Trottement doux, Taxe vertical de l'instrument; à la partie supérieure, elle s'élargit suivant une large règle qui porte les deux montants verticaux sur lesquels sont rivés les coussinets en forme de V qui reçoivent les tourillons de la lunette; une petite plaque en bronze, qui repose sur la pointe de Taxe, porle trois vis dont le jeu combiné permet d'élever ou d'abaisser l'alidade, de manière à lui donner un mouvement doux autour de l'axe.

Lunette. — La lunette a un objectif achromatique de 53 millimètres d'ouverture libre et une distance focale principale de 6a centimètres; avec les trois oculaires employés, le grossissement est de a5, 3o, 4o fois.

Réticule à fil mobile. — Le réticule est formé de quatre fils se coupant à angles droits suivant un carré dont le côté correspond à une amplitude angulaire de 90^ ; le châssis qui porte ces fils, au lieu d'être fixe, est mobile perpendiculairement à l'axe de la lunette, au moyen d'une vis micromélrique V, dont le tambour est divisé en 100 parties, la valeur angulaire de chaque partie étant do 5^,a6. Un peigne intérieur, dont chaque dent correspond à un tour delà vis, permet décompter les tours à partir d'une origine indiquée par une échancrure ronde ou zéro; le tambour sert à apprécier les fractions centésimales de tour.

Une pareille disposition présente de grands avantages; elle permet, en effet, de déterminer très-exactement la position Vo de la vis pour laquelle la collinnation de l'axe optique est nulle et de pointer plusieurs fois un objet pour une seule lecture du limbe, de manière à atténuer autant que possible l'erreur de pointé, qui, grflce à la précision des méthodes modernes et à l'exactitude des divisions, est la seule erreur redoutable dans les observations azîmutales.

Niveau. — Un niveau à bulle d'air N sert à déterminer l'inclinaison de l'axe de rotation do la lunette ; il est divisé en 60 parties de a millimètres de longueur, lo zéro étant situé à l'une des extrémités du tube, du côté de la vis de réglage; la valeur angulaire de chaque division est voisine de 3o'.

5 12 NOTE

Microscopes. — L*alidade porte, en outre, une petite loupe / et un index pour la lecture des grades et dizaines de minutes, et quatre microscopes M à micromètre équidistanls, montés sur des bras inclinés à 45 degrés et dont les axes sont normaux à la surface conique de la graduatioo; les réticules sont semblables à celui que nous avons décrit plus haut; les tambours micrométriques sont divisés en loo parties; un peigne permet de compter les tours. Deux tours et demi de la vis ou 25o parties do tambour correspondent à l'intervalle de deux traits ou looo secondes. Chaque tour de la vis vaut 4^ et chaque division du tambour 4*.

Éclairage des divisions. — Le mode d'éclairage des divisions du limbe est très-ingénieux ; à cet effet, le tube de chaque microscope porte, vers sa partie inférieure, un miroir parabolique argenté, mobile autour d'un axe horizontal h, et percé à son sommet d'une ouverture suffisante pour laisser passer les rayons réfléchis par le limbe. Ce miroir, convenablement placé, renvoie sur la graduation les rayons sortis normalement de Tune des petites faces d'un prisme à angle droit, dont l'hypoténuse, située du côté opposé au microscope, est inclinée à 5o grades sur chacune de ses faces et sur l'horizon. C'est donc la lumière zénithale qui éclaire le limbe, et, de la sorte, il n'y a pas à craindre, dans le pointé des traits, déphasés résultant d'incidences lumineuses variables.

Pince et vis de rappel. — - L'alidade se prolonge suivant un châssis C à fenêtre rectangulaire, qui embrasse la pince ajustée sur l'anneau circulaire du pied de l'instrument ; une vis de rappel \\ dont le châssis e^t l'écrou, vient buter par sa pointe contre une face verticale de la mâchoire supérieure de cette pince, contre laquelle vient buter aussi, du côté opposé, un ressort à boudin p fixé au châssis. La vis de la pince étant serrée, le cercle non gradué et l'alidade sont solidaires ; en tournant la vis de rappel, le châssis se déplace, et par suite l'alidade, et le ressort est comprimé ou allongé, suivant le sens du mouvement imprimé à la vis; mais, à chaque instant de son action, il maintient la pointe de la vis contre la pince. On n'a donc pas à craindre, comme avec les vis de rappel de Gambey, qu'il se produise, après les pointés, des ressauts brusques provenant des temps morts des pas de vis ou des jeux des boulets et des calottes sphériques.

La description de l'instrument sera complète, si nous ajoutons que

SDR LA MÉTHODE ET LES INSTRUMENTS D'OBSERVATION. 5l3

lorsqu'il est en station, il repose par ses trois vis calantes snr le fond de rainures longitudinales en forme de V, pratiquées dans des galets en acier fondu, dirigées vers le centre du cercle et dans lesquelles on verse du suif fondu pour empêcher Toxydation des pointes.