RÉDUCTION DES OBSERVATIONS

i* Réduction relative à V inclinaison fie V axe tic rotation.

Soit HH' l'axe optique de collimation nulle, lorsqu'il est horizontal ; si Taxe de rotation de la lunette est horizontal, l'axe optique décrit un plan vertical qui coupe la sphère suivant un grand cercle ZHNH'; si l'axe de rotation s'incline d'un angle/, l'axe optique décrira un plan HZiH', faisant avec lo premier un angle égal à /. Dans ce dernier cas, soient E le point visé et ZCN [^fig. 8) la trace, sur le plan de la figure, du plan mené perpendiculairemont au diamètre HH'.. Z étant le zénith de la station, en menaol l'arc de grand cercle ZEE', on obtient sur le limbe horizontal en £' le point qui donne la direction CE' ou Tazimut vrai du point E ; et, comme la lecture s'opère suivant le rayon CH, l'erreur commise sur la lecture du limbe est égale à l'arc HE'.

Or, dans le triangle HEE', rectangle en E', on a

• v langUE' ^-^ ' tangEh'

sua LA MËTilODE ET LBS INSTRUMENTS d'oBSBEVATION. 5i^

tangx = sin/cotZ,

cl, comme x et / soat de petits angles, la correction due à l'inclinaison sera donnée en secondes, sans erreur appréciable, par Texpression

X* = /*cotZ.

Le signe dex varie évidemment avec le sens de la graduation du cercle.

La formule précédente convient à tous les cas pour le cercle que nous avons décrit en considérant l'inclinaison de Taxe de rotation comme positive, lorsque le tourillon de droite est le plus élevé, et calculant rinclinaison, en grandeur et en signe, par l'expression donnée plus haut.

2* Réduction relative aux pointés faits avec la vis micrométrique ou correction de coiUmation.

Soient Vo le point de collimalion nulle et V le point de la vis auquel on a effectué le pointé au fil mobile, c'est-à-dire la moyenne des lectures de la vis pour les pointés successifs sur un signal £.

Par l'axe optique de la lunette (/i$^. 9), imaginons un pian perpendiculaire à l'axe de rotation supposé horizontal et coupant la sphère suivant un grand cercle vertical ZHN, et soit CE la direction de l'objet visé en E, au point V de la vis. Si par le zénith Z nous menons l'arc de grand cercle ZE, qui coupe l'horizon en e^ l'arc H^, qui mesure l'angle en Z, est évidemnfbrit la correction cherchée, ou la quantité dont il faut corriger la lecture faite sur le limbe pour la ramener à ce qu'elle eût été, si l'objet avait été pointé au point Vo de la vis. Pour trouver cette correction, abaissons du

5aO NOTB

point Ë Tare de grand cercle EE' perpendiculaire sur HZ : cet arc mesure

évidemment l'erreur de coUimation et a pour expression en secondes lo

produit K(V — Vo). En appelant z la dislance zénithale ZB, le triangle

ZEE' donne

sinEE'

sinEZB' =

sinZE'

ou bien

8inK(V-Vo)

smx = î^ j

sinz '

d'où Ton tire, sans erreur appréciable, la valeur de x en secondes

sius

Il reste maintenant à déterminer le signe de la correction.

Avec l'instrument que nous avons décrit, lorsque le tambour micro- Lvjtrique est à droite, les lectures augmentent à mesure que le fil se rap-

proche du tambour. Si donc V > Vo , Taxe optique correspondant à V dévie à gauche ; pour pointer l'objet au point Vo de la vis, il faudrait faire tourner la lunetto de la quantité jr^ et dans le sens même des divisions: la correction est donc, dans ce cas , positive. Elle serait négative si le tambour était à gauche, comme cela a lieu dans la position inverse de ia lunette. En considérant de môme le cas où V<Vo, on verra facilement que le signe pitus, dans la formule qui donne la valeur de x, s'applique encore pour la position du tambour à droite et le signe motns dans la position du tambour à gauche.

La correction cherchée est donc donnée, en grandeur et en signe, par

l'expression

± JL. r V — V ^ i tambour à droite, sin* I tambour à gauche.

La terme -r-~ est généralement négligeable en Géodésie, et, comme le

terme V — Vo ne dépasse jamais une ou deux parties du tambour, on peut calculer une Table donnant les valeurs du terme K (V — Vo), de manière à obtenir directement la correction cherchée.

3* Correction dtfs microscopes.

Cette correction, que nous désignerons par C, est calculée comme il a été dit plus haut, d'après les résultats fournis par la tare des microscopes.

En résumé, si, pour une direction déterminée, L est la lecture sur le limbe, la lecture réduite sera égale à

tambour à droite.

L4.i*cotz±K*(V-Vo)-+-C ,, , , .

' tambour à gauche.

Les réductions faites, afin de mieux mettre en évidence la marche des résultats, on ramène toutes les lectures à ce qu'elles seraient, si la lecture correspondant à l'objet initial était à l'origine zéro du limbe, ce qui s'ot>lient, pour chaque série, en retranchant de la lecture do chaque direction la lecture sur l'objet initial, et l'on forme alors un tableau général des directions observées. En prenant la moyenne des vingt résultats pour chaque direction, on obtient enfin les directions les plus probables correspondant à chaque objet visé, qu'on présente de la manière suivante.

Exemple tiré de la nouvcUc méridienne de France,

G « Puy de Gué 0.0000,00

Meymac 82.1774,79

^ . , , Aubassin 121.1762,85

Station de Bort / ^ . . ,. .« . «

Bastide 146. 58o6,82

Puy Violent 198.4725,49

Puy de Gué 899-9999»8o

Erreur moyenne d'une direction. — On démontre, par le Calcul des probabilités, que si l'on désigne par n le nombre des séries, par ^e* I1

5aa NOTE

somme des carrés des écarts de chaque valeur individuelle autour de la moyenne générale, l'erreur moyenne d'une direction isolée, ou d'uM mesure simple, est représentée par l'expression

Y // — I et que Terreur moyenne de la moyenne des n observations est égale à

L'erreur moyenne E donne la mesure du degré de précision des observations; dans les opérations relatives à la nouvelle méridienne de Francj,

cette erreur est réduite à i^, 5, ou - environ de seconde de degré.

Les mi'ihodes qu'on emploie actuellement pour le calcul d'une triangulation et la compensation d'un réseau géodésique font intervenir les directions et non les angles géodosiques; ces méthodes sont exposéci dans les Mémoires de l'Association géodésique internationale, auxquels nous renvoyons nos lecteurs.

Si Ton se contente des méthodes plus simples exposées dans l'Ouvrage de M. Francœur, les tableaux semblables au précédent font connaître, par de simples différences, toutes les combinaisons possibles des directioDs, c'est-à-dire tous les angles qui peuvent entrer dans les calculs.

m. - DES SIGNAUX SOLMRES ET DES SIGNAUX DE NUIT.

Les signaux en maçonnerie ou en charpente, autrefois employés dans les opérations géodésiques du premier ordre, présentent des inconvénienU notables :

i*^ Pour qu'ils soient bien visibles aux distances géodésiques, il est nécessaire de leur donner de grandes dimensions, ce qui entraîne parfob des difficultés et souvent des dépenses considérables.

a* Il est rare d'obtenir des signaux bien réguliers et de réalis.^r d'une manière parfaite la coïncidence du centre de la station avec la projection du centre de la mire.

3^ Le pointé des signaux éloignés laisse toujours quelque indécision,

sua LA MÉTHODE ET LES INSTRUMENTS D OBSERVATION. 5a3

provenant de ce que les images sont d'un gris d'autant plus pâle que les signaux sont plus éloignés, et la teinte noire du fit du réticule les affaiblit encore par un oiTdt de contraste.

4*" Enfin les effets dus aux phases de ces signaux ne peuvent guère se calculer d'une manière bien précise.

C'est pour affranchir les observations du premier ordre des erreurs résultant des imperfections des signaux ordinaires et pour pouvoir observer à des distances quelconques, que Gauss introduisit dans la pratique de la Géodésie Tusage des signaux solaires.

Le principe des signaux solaires est extrêmement simple (y%. lo).

Imaginons qu'on expose aux rayons du Soleil une glace plane M argentée sur l'une de ses faces ; les rayons incidents en un point quelconque 0 forment un cône droit dont Taxe est la ligne qui joint le point 0 au centre S du Soleil et dont Tangle au sommet POQ est égal au diamètre apparent de l'astre, soit Sa' de degré environ. Les rayons formeront, après leur réflexion sur la glace, un cône droit de même amplitude que le premier et dont Taxe sera le rayon réfléchi OS', correspondant au rayon incident OS.

Ce que nous venons de dire pour le point 0 s'applique à tous les autres points de la glace, qui devient aussi le lieu des sommets d'une infinité do cônes lumineux tous d'égale amplitude, de môme orientation et superposant leurs effets pour éclairer une certaine région de l'espace, qu'on peut, dans la pratique, et à une grande distance, considérer comme se confondant avec l'un quelconque des cônes réfiéchis.

Tous les points de Tespace compris à Tintérieur du faisceau réfléchi verront lo Soleil, dans la direction de la glace réfléchissante, sous la forme dune étoile brillante, et l'effet lumineux sera sensiblement le môme pour

NOTE

l'observateur que s'il regardait directement une portion du Soleil sonstendant un angle égal au diamètre apparent du miroir.

Si, en outre, la glace est ajustée de manière à pouvoir prendre une position quelconque autour de son centre supposé fixe, on pourra, en lui imprimant des déplacements convenables, diriger le faisceau lumineux dans une direction constante et illuminer ainsi sans interruption toute une région de l'espace. Les instruments construits à cet effet portent le nom d'héliostats ou d'/iélioeropes. Nous décrirons d'abord l'héliotrope imaginé par Gauss.

Héliotrope de Gauss. — Cet instrument repose sur l'emploi de deux miroirs perpendiculaires l'un à l'autre et réfléchissant la lumière du Soleil dans deux directions opposées.

^"oient, en effet, M et N ces deux miroirs, SA un rayon lumineux venant d'un point très-éloigné et tombant normalement sur Tarôto A (y?^. iD;

ce rayon se réfléchira sur M suivant AS' et sur N suivant AS', et, comme a-t- p = loo^, on voit aisément, par l'égalité des angles d'incidence et de réflexion, que S' AS* ^ ti**', c'est-à-dire que les trois points S' AS' sont en ligne droite.

Si donc on suppose le Soleil en S, deux observateurs placés en S' et S' verront son image suivant les deux directions S*, S', qui sont en lijme droite avec le point A.

La direction AS' étant donnée par une lunette braquée au point S' sur le point S', en inclinant le système des miroirs de manière à percevoir l'image du Soleil produite par le miroir N au centre du réticule, on sera assuré que les rayons réfléchis par le miroir M iront éclairer le point S'.

L'héliotrope du système de Gauss, perfectionné par M. Brunner (fig- «a

ei i3), se compose d'une lunette de 4 centimètres d'ouverture, et de o'",5o de distance focale, portée par deux collets qui s'élèvent aux extrémités duno règle horizontale HH et qui peut tourner dans des coussinets, soit rapidement si l'on enlève une chape qui peut pivoter autour du point /?, soit lentement au moyen d'une vis sans fin V, fixée à la chape et qui engrène avec les dents d'un disque fixé au tube de la lunette, lorsqu'on serre la pmce P et qu'un ressort à boudin disposa à cet effet peut exercer son action.

Âii- devant de l'pbjectif s'avancent deux bras B, B fortement vissés à la monture, qui soutiennent le système des deux miroirs M et N disposés à angle droit et mobiles autour de l'axe A au moyen d'un pignon H qui engrène avec un quadrant denté DD.

Toute la partie supérieure de l'instrument peut tourner rapidement à la main, quand la pince P' est desserrée, ou lentement quand on arrêt3 le cercle CC avec cette pince et qu'on agit sur la vis de rappel V. Trois vis calantes permettent de diriger Taxe optique de la lunette sur les directions à illuminer, qui sont d'ordinaire peu inclinées sur l'horizon.

Pour mettre l'instrument en station, on desserre la pince P'et l'on amène la lunette à peu près dans la direction du point à éclairer : la pince étant serrée, au moyen de la vis de rappel V, on pointe exactement Tobjet à la ' croi>ée des fils du réticule. En faisant tourner la lunette dans ses collets, rapidement d'abord par le soulèvement de la chape, puis lentement au moyen de la vis sans fin Y, et combinant ces deux mouvements avec le mouvement des miroirs par le pignon H, on amène l'image du Soleil réfléchie par le miroir N et observée à travers un verre coloré, à coïncider avec la croisée des fils.

Pour que le miroir brille sans interruption, l'aide chargé de la manœuvre de l'héliotrope doit suivre le mouvement du Soleil et ramener constamment son image à la croisée des fils, en agissant simultanément sur la vis Y et sur le pignon H.

Remarquons que le miroir tourné vers l'objectif ne réfléchissant la lumière qu'à une courte distance, on se contente, pour ne pas fatiguer outre mesure l'œil de l'observateur, de noircir ou de polir mat la face postérieure de la glace, au lieu de la recouvrir d'étain.

Pour que l'héliotrope fonctionne bien, il faut et il suffit :

1° Que l'axe optique de la lunette coïncide avec son axe de figure ;

i" Que cet axe soit perpendiculaire à l'axe commun aux deux miroirs ;

NOTB

3° Que les faces réfléchissantes soient planes et normales entre elles.

Des vis de rectification permettent de réaliser ces trois condition^ D'autres héliotropes ont été imaginés par Baeyer, par Steinheit ; nous nom contentons de décrire le plus simple de tous, celui que nous avons tait

Fig. la et i3. — Héliotrope de Gauss.

construire par M. Brunner pour les opérations de la nouvelle méridienne de France.

Héliotrope simple. — Ce petit appareil est représenté fig, 14. U se compose d'un miroir argenté, ajusté dans un cadre métallique porté par un axe horizontal : cet axe est monté sur une large fourchette dont la règle horizontale fait corps avec un axe vertical engagé dans une forte colonne creuse qui s'élargit à la base en un plateau circulaire épais, pourvu de trois vis do support.

Par construction, le point d'intersection des deux axes de rotation du petit système coïncide avec le centre de la surface réfléchissante du miroir, et l'axe vertical prolongé rencontre le plan de support au centre du cercle déterminé par les pointes des trois vis.

Des obturateurs de diverses dimensions permettent de réduire la surface du miroir ; une petite ouverture ronde de ^ millimètres de diamètre est

lig. i,^. __ Hêliutropc simple.

pratiquée au centre de la glace et se prolonge à travers le cadre métalfique.

Fig. i5.

En chaque point géodésique, l'appareil est installé au centre même de la station sur un support fixe, et deux aides sont chargés de Torienter et

528 NOTE

de le diriger, de manière à éclairer constamment la station où se trouve l'observateur. A cet efTet, Tun d'eux, ramenant la glace verticalement en face du point à illuminer, place son œil en arrière de la petite ouverture et indique à son camarade, à une distance de 5 à 6 mètres, le point de passage de la ligne qui va vers l'observateur ; à ce point, on enfonce dans le sol un fort poteau sur lequel on visse une planchette percée d'une ouverture ronde de la centimètres de diamètre, dans une position telle que la ligne, allant du centre du miroir au centre de l'ouverture repérée par un carré de fils en cuivre, aille rencontrer le mouvement de terrain sur lequel l'observateur est en station \Ji§. i5).

Les deux aides n'ont plus qu'à se préoccuper de maintenir rimage lumineuse au centre du trou de la planchette qui est peinte en noir et à vérifier de temps en temps, surtout après les grands vents, si la planchette n'est pas dérangée.

Apparence des signaux solaires. — Les signaux héliotropiques produits par une glace ayant i décimètre carré de surface seulement apparaissent comme des étoiles parfois très-éclatantes et sont visibles à des distances énormes; on les aperçoit sans peine, à l'œil nu, même par un soleil presque voilé, jusqu'à 3o ou 4o kilomètres.

Vus à travers une lunette, les signaux solaires donnent, aux heures favorables de la journée, des images lumineuses arrondies, petites et fixes, qui offrent un pointé facile et sûr, d'une précision comparable à celle que fournissent les étoiles.

Mais il arrive, comme avec les signaux ordinaires, que tous les instanu de la journée ne sont pas également propices aux observations. Habituellement , il se produit dans une môme journée deux périodes où les images sont calmes et réduites, et une période intermédiaire où elles sont au contraire fortement agitées, colorées et trop agrandies pour être pointées sûrement. La première période de calme, généralement assez courte, se produit vers le matin, après le lever du Soleil, au moment où les couches d'air sont superposées par ordre de densité et en état d'équilibre stable ; mais, à mesure que le Soleil s'élève au-dessus de l'horizon, il se développe dans l'atmosphère des courants ascendants et descendants qui font dévier la trajectoire des rayons lumineux ; les images commencent bientôt à osciller en tous sens, à se dilater en prenant des formes bizarres,

et il est alors impossible de les pointer sûrement ; dans les heures voisines de midi, elles sont comme affolées, et la dispersion de la lumière est sou* vent telle, qu*on a peine à découvrir une apparence lumineuse.

Un peu plus tard, apparaissent des images grosses, arrondies et mates, qui deviennent de plus en plus brillantes, diminuent d'étendue et prennent peu à peu la forme d*un disque de 4o^ à 5o« de diamètre, dont le mouvement ondulatoire devient si faible qu'on peut le pointer avec exactitude. Cette période de calme se produit à des heures variables, mais généralement après l'instant de maximum de température, vers 4 ou 5 heures en été, sous Tinfluence d'un nouvel état d'équilibre de l'atmosphère, et elle dure jusqu'au coucher du Soleil.

Obserrations et rignau do nuit. — La condition d'équilibre des couches superposées de l'atmosphère, nécessaire à la production d'images fixes et réduites, étant plus souvent réalisée pendant la nuit que pendant le jour, nous avons été, dans ces derniers temps, conduit à supposer que les observations de nuit, réputées jusqu'alors peu précises, méritaient de fixer l'attention du géodésien. Nous avons fait à ce sujet, en collaboration avec M. le capitaine Bassot, des observations absolument concluantes, qui prouvent que la précision des observations de nuit est égale, sinon supérieure, à celle des observations de jour.

Pour produire les signaux de nuit, nous employons de petits appareils, dont la première idée est due à M. Maurat et connus sous le nom de coHimoteurs optiques et du modèle imaginé par le commandant Mangin pour les besoins de la télégraphie optique,

CoUimateiirs optiqnes. — Ces appareils sont représentés fig. i6. Supposons -les d'abord réduits à leurs éléments essentiels; MN est une lunette plan-convexe montée sur l'une des petites faces verticales d'une boite prismatique en tôle. F est le foyer principal de cette lentille, situé sur (a face opposée de la boite, au centre d'une ouverture ronde. Si Ton dirige la lentille vers un point lumineux situé à l'infini, les rayons réfractés par MN viendront former leur foyer en F et divergeront ensuite. Si Ton interpose sur le trajet de ces rayons, en arrière du point F, en 0, une petite lentille biconvexe iti/i, ou un système convergent approprié, ils viendront de nouveau converger en un point S dont la distance au F. — Géodésie. 34

point 0 sera donnée par ia relation connue des foyers conjugués