V. - MESURE DES DISTANGES ZÉNITHALES

Pour obtenir les distances zénithales des sommets de la triangulation, on opère suivant la méthode indiquée dans l'Ouvrage de M. Francœur; seulement chaque duplication est considér'^e comme une mesure complète donnant deux fois la valeur de la distance zénithale du signal visé et l'on effectue pour chaque point un certain nombre de duplications successives, correspondant à des origines réparties d'une manière équidistante sur tout le pourtour du cercle vertical. G'est donc encore la méthode de la réitération qu'on substitue, pour la mesure des distances zénithales, à la méthode ancienne de la répétition.

Pout* les points principaux d'une grande triangulation, on fait dix dupli< cations, aux heures favorables de la journée. Cinq duplications suffisent pour les points du second ordre et l'on se contente habituellement de deux duplications pour les points du troisième ordre.

Dans les mesures d'arcs de méridiens et de parallèles qui sont en cours d'exécution en France, et pour lesquelles il n'est pas utile de s'occupei du nivellement géodésique, les distances zénithales des sommets visés n'interviennent que dans le calcul de la correction résultant de l'inclinaison de l'axe de rotation de la lunette du cercle azimutal. Il suffit, pour que le calcul de cette correction soit exact, d'obtenir les distances zénithales à moins d'une minute, et un petit instrument portatif, en une seule duplication, permet aisément d'obtenir ce résultat.

Mais, dans les pays nouveaux qui n'ont pas encore été triangulés et nivelés, en Algérie par exemple, il est nécessaire de mesurer avec le plus {^rand soin les distances zénithales, et il importe, pour cela, de se rendre compte de l'effet produit sur les résultats par les erreurs instrumentales.

Influence des erreurs instrumentales sur la mesure des distances zénithales. — Un théodolite serait parfaitement réglé si , dans les deux positions du limbe vertical (cercle à droite et cercle à gauche), le plan du limbe était rigoureusement vertical, si l'axe optique de la lunette était parallèle au plan du limbe et si la bulle du niveau ne se déplaçait pas en passant d'une position du cercle à l'autre position.

La différence des lectures faites au commencement et à la fin de l'opération donnerait le double de la distance zénithale cherchée.

Mais généralement ces trois conditions ne sont satisfaites que d'une manière approchée : aussi est-il nécessaire d'étudier la nature et la grandeur des erreurs commises par le défaut de réglage de l'instrument.

1* Erreurs résultant du déplacement de In bulle.

Supposons que, dans la position du cercle à gauche, la demi-somme des lectures de la bulle du niveau soit L, le zéro de la graduation du niveau étant du côté de l'oculaire. Soit L'ia demi-somme des mômes lectures après le retournement et supposons L' > L. Il en résulte que le plan du limbe s'est déplacé autour de son axe d'un angle représenté par L' — Let que la lunette s'est relovée vers le zénith de la quantité angulaire L' — L. Lors

su

NOTE

donc qu'on pointera le signal dans la deuxième position, la luneUe ne parcourra pas un axe égal à deux fois la distance zénithale, mais seulement Tare 2 Z — (L' — L), et il faudra augmenter le Z observé d'un angle

égal à-+-i(L'-L).

Si L'<L, la correction sera négative et égale aussi à -f--(L' — L). Dans les deux cas qui peuvent se produire, la correction est donnée en grandeur et en signe, par le terme - (L' — L) a*, dans lequel a* représente la valeur en secondes d'arc d'une division du niveau.

a* Erreur due à rincUnnison i du plan du cercle des hauteurs. Par la verticale du centre du limbe divisé et par l'axe de rotation sup-

Fig. a4.

posé perpendiculaire au plan du limbe, menons un plan qui coupe la sphère suivant un grand cercle Ih^h' (Jîg. 24) et soient CH le diamètre horizontal du limbe, Z'EH le plan du limbe et ZEH' le vertical du point visé £. La distance zénithale mesurée est Z'E au lieu de ZE; la correction c due à l'inclinaison du plan du limbe est donc égale à ZE-Z'E = Z'-Z = c.

Or le triangle EH' H, rectangle en H' et dont l'angle en H est égal à

I étant l'inclinaison du plan du limbe, donne

I sinEH cos/ ~ sinEll"

SUR LA MÉTHODE ET LES INSTRUMENTS D'oBSBBVATION. 54 Î

d*où ron tire

cosZ' = cosZ cosi.

On a, du reste, *

cosZ' = cos(Z-f-c), d'où

C08(Z-+-r) =cosZcos/;

développant, il vient successivement

cosZ cosc — sinZ sinr = cosZ (1 — 2 sin* - / ) :

cosZ ( I — asin' -c\ — sinZsinc= cosZ — 2C0sZ sin*-/,

a cosZ sin« - c -4- sinZ sine ~ 2 cosZ sin* - /; 2 2 '

et, comme c et 1 sont de très-petites quantités,

2 — cosZ -+- c sinZ = 2 - cosZ, 4 4

- c* sin 1' cosZ -H c sinZ = - /* cosZ sin i'"; 2 2

d'où

i*sini''cosZ

2 sinZ -t- c cosZ sin i'

Tant que Z est voisin de 100 grades, le terme rcosZ sini' du dénominateur est négligeable et l'on peut calculer la correction par l'expression simplifiée

r = -/î sini^'cctZ.

En faisant dans cette expression i = 200 et Z = 5o<^, on trouve

La correction est évidemment négligeable pour tous les cas qui se présentent en Géodésie, car il est toujours facile de niveler l'axe du cercio â I minute près, et les distances zénithales sont toujours voisines de 100 grades.

3" Erreur proçenant de la collimaiion de Vaxe optique.

Si Taxe optique de la lunette n'est pas parallèle au plan du limbe supposé vertical et perpendiculaire, par construction, à son axe de rota- F. — Géodéth. 35

tion, il décrira dans l'espace une surface conique et interceptera sur la sphère un petit cercle E^. La distance zénithale mesurée sera alors celh du pied de la perpendiculaire abaissée du centre optique de robjectif sur le plan du limbe. Soit E le point visé, ZE =s T la distance zénithale vraio. Si, du point E, on amène un arc de grand cercle EE' perpendiculaire

à Tare ZE'H, ZE' est la distance z(^nîthale observée Z, et Tare EE' mesure Tangle de collimation /?. Or, dans le triangle ZEE', on a

cosZ' = cosZ cos/'/,

et il vient, en posant Z' — Z = /« et opérant comme précédemment, pour la valeur de la correction,

a^ sîn r cosZ •2 sui L H- m sm I cosZ

pour Z = ïoo<», m = o.

Pour Z voisin loo^, le terme/;/ sîn l'cosZ est négligeable, et la correction peut se calculer par Texpression

m — -^'sini' cotZ. Au zénith, /w = C.

La collimation produit donc un effet analogue à celui de rinclinaison du limbe et négligeable dans tous les cas qui se présentent en Géodésie, avec un instrument convenablement réglé.

NOTE