CHAPITRE IV

58. La détermination de l'étendue superficielle d'un champ est fecile à faire lorsqu'il est levé par le secours de l'équerre, parce qu'on connaît les bases et les hauteurs des parties élémentaires de cette surface. Quand on a fait usage du graphomètre, il faut calculer ces éléments par des résolutions de triangles. En général, ces aires sont toujours le produit de deux longueurs qu'on exprime en mètres, et le produit est des mètres carrés ; pour l'énoncer en ares, il faut diviser par loo, parce que l'are vaut loo mètres; pour avoir des hectares, il faut diviser de nouveau par loo. Ainsi, en reculant la virgule vers la gauche de deux ou de quatre rangs, Faire est exprimée en ares ou en hectares.

Par exemple, que l'aire soit le produit de 453 mètres par 829 mètres, elle sera ou 149037 mètres carrés, ou 1490"*, 37 ou 14***, 9087, c'est-àdire i4****9o''",37.

59. Toutes les fois que la figure du champ sera géométrique ou réductible à cette forme (cercle, parallélogramme, triangle, polygone), les théorèmes connus reçoivent leur application ; mais, s'il y a des limites courbes, il faut décomposer ces lignes en parties qu'on considère comme de petites droites, ce qui ramène l'aire à des formes géométriques que l'on calcule, par portions distinctes, par les procédés ordinaires. Au reste, le théorème de Simpson. donne l'aire avec une plus grande approximation ; voici en quoi il consiste.

AIPBNTAGE. 53

Cherchons d'abord Taire d'un petit segment CEM (Jig, 44) d'une courbe quelconque rapportée aux axes rectangulaires Ax, Aj, et nommons <z l'angle MCH formé par la corde CM avec kx. Menons l'ordonnée K£ par le milieu K entre les ordonnées terminales CB, MP. On peut sensiblement regarder Tare (M comme appartenant à une parabole dont le sommet L répond au milieu I de la corde. L'aire du segment est donc

CEMI=|CM.U.

Or les triangles LEI, MCH donnent

d'où

ru U = EIcosa, CM«-i^,

cosa

CEMI=jEIxCH.

Cela posé, faisons BK = KP = A, CE =^y, KE =7', FM =^"'; l'aire CBPM 89 compose du trapèze CBPM = Af^H-^"') et de CEMI = | A.El.

Or

EI = EK-KI=i(v''-/-/-');

donc le segment

CEMI=^/i(v''-y-.r-'),

et la petite aire

CEMPB =

Supposons l'aire plane BACD [fig, 45) qu'on veut arpenter limitée par la courbe AC, la droite BD et les perpendiculaires AB, CD ; on coupera la base BD en un nombre pair de parties égales, dont h sera la longueur, et par les points de division on mènera des ordonnées ^', ^ ', j**, . . ., 7", qui couperont l'aire en éléments dont les surfaces respectives seront exprimées deux à deux par la formule ci-dessus : la deuxième, la troisième, etc., seront

^(îr-+-27-+ir')» ^/'(^r'-^^r^ + îj'")'

54 TOPOQiupniE.

la sommo

5 ^ f ^/ -^ 2 r* H- j*" + 27'' + y' -4- . . . -^ ijC'M 7 BACD= |/«ri(y-+-r ) -i- (^"-+-7"+ . . . -+-7"-')

Tel est le théorème de Simpson. L'aire formée d*un nombre pair de trapèzes rectangles et curvilignes de même hauteur h se trouve en prenant :

Za moitié de la somme des ordonnées extrêmes , plus In somme de toutes les coordonnées, celles-ci exceptées , plus enfin celles de toutes les orrhn-

nées de rangs pairs, le tout multiplié par-rh.

La même règle s'applique évidemment au cas où Taire est, comme ACFË, terminée par deux courbes opposées, en appelant x\ j*, j", ... la longueur totale de chaque parallèle.

Plus h est petit, plus le résultat est approché de Taire demandée. Ce théorème s'applique à toute surface irrégulière, parce qu'on peut la décomposer en d'autres qu'on évalue séparément et qu'on ajoute ou retranche ensuite selon les cas. Lorsqu'il arrive que la base se trouve coupée par la courbe, la môme règle reçoit son application, en faisant égale à zéro Tordonnée du point de section.

60. Lorsqu'on veut arpenter un terrain, il est utile d'en fkire lever «e plan, parce qu'il est facile de faire au crayon, sur le papier, les tracés de subdivisions qui sont propres à former des aires partielles commodes à ^ évaluer : on obtient avec le compas des longueurs approchées qu'on peut ensuite vérifier et corriger sur le terrain.

Quand le sol est en pente, on réduit les longueurs à Thorizon, comme dans le levé du plan, parce que c'est la projection horizontale qu'il faut arpenter. £n effet, il est reconnu que l'étendue productive d'un sol n'c5t pas le développement des accidents de la surface. La projection a, il est vrai, une aire moindre que celle qui est inclinée ; mais l'espace de terre qu'il faut pour la croissance des racines et la masse d'air nécessaire à la végétation des plantes réduisent Taire inclinée à sa projection horizontale, lorsqu'on mesure les produits. D'ailleurs, si Ton accorde un faible avan-

aupentagb. 55

tage à Taire inclinée sur sa projection, elle est plus que compensée par les difficultés de la culture, à moins que l'inclinaison du sol ne soit une des conditions de succès, comme dans le cas des terres à vignes. La métliodc de cttltellation est celle qui consiste à réduire ainsi les aires inclinées à leur projection. L'exposition faite (46 et 53) contient tout ce qui est nécessaire pour ce genre de calculs.

Le plus ordinairement, les champs, les bois, les parcs sont limités par des lignes droites, et quelquefois même leur forme est celle de rectangles, de parallélogrammes, de triangles, etc. Nous récapitulerons les théorèmes de Géométrie qui s'appliquent à l'arpentage de ces figures.

I* La surface (Tun rectangie ou d'un parallélogramme est le produit de sa base par sa hauteur. On prend pour base l'un quelconque des côtés; la hauteur est la distance de ce côté à celui qui lui est opposé, mesurée sur une perpendiculaire aux deux.

a* La même théorie s'applique au triangle, mais on ne prend que la moitié du produit, parce qu'u/r triangle est la moitié d'un parallélogramme de même base et de même hauteur,

3* L'aire d'un trapèze est le produit de la somme des deux côtés pa^ rallèles par la moitié de leur distance, ou, si l'on veut, le produit de cette distance par la parallèle menée à distances égales de ces deux côtés,

4* L*aire (fun polygone s'obtient en le décomposant en triangles par des droites menées d'un point intérieur {Jîg, 26), ou par des diagonales menées d'un même sommet. On cherche les aires de ces triangles et on les ajoute.

Si le polygone est régtdier, sa surface est

n étant le nombre des côtés et a la longueur d'un de ces côtés.

5* Nous avons donné (36) l'aire d'un triangle dont on a Its trois côtes. Si Ion connaît deux côtés 6, c et l'angle compris A, la surface cit

-^^sinA.

Bnfin, lorsqu'on a un côté c et \c9 deux angles adjacents A et B,

l'aire est