sinAsinB i , sinAsinB

2 sin(AH-B) 2 sinC

6* faire d*un quadrilatère se trouve en le divisant par une diagonale en deux triangles qu*on évalue séparément : cette aire est aussi égale à la moitié du produit des deux diagonales multiplié par le sinus de Tangle qu'elles forment entre elles.

7* Vaire d'un cercle de rayon R est

frétant 3,t4i59 (93).

8* L'aire d*un secteur de cercle dont Tare a n degrés est

7r/?R« 36o ' Celle d'un segment

On trouve que

9* Vaire d'une ellipse dont les demi-axes sont a et 6 est

Tcab,

Lorsqu'on doit arpenter un terrain formé de diverses parcelles dont on veut avoir les aires séparées, comme cela arrive pour les opérations cadastrales, on évalue d'abord Taire totale des piècesréunies, puis les aires des parcelles, et l'on examine si la somme de celles-ci reproduit Taire totale. On estime qu'une différence en plus ou en moins de -^ n'est pas une erreur assez grave pour nécessiter que l'opération soit recommencée Ces évaluations se font sur le plan, à Taidede subdivisions qu'on fait avec le crayon.

61 . L'arpentage comprend aussi le mode de division des héritages dans le rapport des droits des partageants. Ce problème n'est pas sans difficultés, surtout lorsqu'il comprend des conditions particulières d'intérêt ou

de localités, comme lorsqu'il s'agit de faire aboutir les sentiers de séparation à un point déterminé, tel qu'un puits commun, une porte, une voio publique, etc., et aussi quand le terrain a des parties irréguiières ou coursons et qu'on veut que chaque partageant ait une portion de ces désavantages.

Pour résoudre celte question, on évalue Faire totale en nombres et Ton divise le résultat dans les rapports assignés, afin de connaître le nombre d'ares que doit avoir chacun ; puis, opérant sur Iç plan, et par quelques ^sais approchés, on trace des lignes de séparation présumées ; on mesure œs aires partielles et l'on reconnaît la quantité que chacun se trou* verait avoir de trop ou de moins; on corrige ensuite ces résultats ainsi que nous allons l'exposer.

62. Supposons qu'on ait présumé que la droite El (Jig, 46) coupe le c|uadrilatère ÀBCD par moitié, et qu'en arpentant chaque partie M et N, l'aire M surpasse N de a mètreâ carrés. Voyons comment l'on devra dé* placer la droite El pour que les deux parts deviennent égales. Il faut rendre

- a à N aux dépens de M. On abaissera la perpendiculaire EH = h sur ÂB

et on la mesurera : divisant l'aire - /? par - A, on portera de I en F le quo-

'Jent 7 = T = IF ; la droite EF coupera la figure par moitié, puisque le

triangle EIF = - qh = ~a.

On peut encore transporter la ligne de séparation vers AD (Jig, 5o), de El en FG, parallèlement à El, en faisant en sorte que l'aire EFGI égale

-a=Blxnin : donc la distance mn = -t=^; et si l'on veut que le sentier

de séparation passe en un point donné /, on prendra F/= Gg, et Ton mènera fg, qui sera la droite demandée.

Cette solution suppose que les côtés AB, CD sont parallèles ; mais il n'en peut résulter d'erreur sensible qu'autant que ces lignes seraient trèsinclinées l'une sur l'autre, et encore, dans ce cas, on accepterait cette solution comme approchée et on la corrigerait ensuite par le même procédé. Cette méthode n'est qu'une suite d'essais; mais elle est très-courte dans la pratique, surtout pour avoir égard aux conditions particulières du partage.

â8 TOPOGRAPHIE. *- ARPENTAGE.

On veut partager un champ de i^^,a5o en trois portions qui soient comme a, 3 et 5. Par des proportions, on trouve que les parts sont 2o*^,5, 3o"",75 et 5i*"*,25. li s'agit donc de mener à travers le champ deux droites qui le coupent en aires respectivement égales à ces nombres. II sera facile de tirer une droite qui sépare à peu près 20 ares d'un côté et 3o''*,75 ■+■ 5i''",a5 de l'autre; on corrigera ce résultat d'après ce qu'on vient de dire, en y ajoutant 5o mètres carrés ; ensuite il faudra séparer, dans ce qui reste, 51**^,25 par le môme moyen. La troisième part devra se trouver juste de 80**^,75. En opérant ensuite sur le terrain, on vérifiera si, en effet, les aires sont ce qu'elles doivent être, et Ton corrigera de nouveau s'il est nécessaire. Toutes ces opérations, faites d'abord au crayon sur le plan et transportées sur le terrain, conduisent enfin à un arpentage final exact.

Supposons qu'on veuille partager le polygone {fig, 29) en deux parties égales. On commencera par on évaluer la surface totale, qui, d'après les nombres qui y sont inscrits, est de 264244*^,67 : la moitié 182 122, 33 est Faire de chacune des deux parts. On tire la droite AD qui sépare le triangle ADE; on en cherche la surface et l'on trouve (n** 60, 5"*) qu'elle

est- 270.416 sin 117', c'est-à-dire 5oo38"*>, 98. Retranchant du nombre

ci-dessus, on voit que, pour compléter l'une des parts, il faut à Taire ADE ajouter 82 o83'"'(,4o. La perpendiculaire abaissée du sommet D sur la base Afi est de 459", 2 ; divisant le dernier nombre par 229,6, moitié de celui-ci, le quotient est 355", 34, longueur qu'on prendra de A en L La droite Dl sera la ligne demandée, qui coupe en deux moitiés la surface du polygone. En effet, l'aire du triangle ADI est de 229,6 x 355,34 = 82083,4 ; celle du triangle ADE = 5oo38 ^ 98, et ces deux aires réunies valent 1 82 1 22'^,33, moitié de la surface totale du polygone.

Observez que : 1** si le contour AED, au lieu d'être composé de deux droites, l'eût été de parties courbes et irrégulières, on aurait pu employer le môme procédé, seulement il eût été plus difficile de trouver l'aire ADE, «"t il aurait fallu recourir à la méthode de Simpson (59).

2*" Si l'on exige que la ligne droite de séparation des deux parts, au lieu d'être DI, vienne aboutir en un point donné L, il restera encore à trouver, par le procédé indiqué ci-devant, la direction de la ligne KL qui satisfait à cette condition.