TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE

Notions fondamentales,

63. Trois plans MON, NOP, MOP (fig, 5i) quise coupent dans l'espace en un point 0 forment un trièdre; une sphère quelconque qui a son centre en ce point 0 est coupée par ces plans selon trois arcs de grands cercles CA, CB, AB, qui composent un triangle sphérique ACB. Les angles plans du trièdre 0 sont respectivement mesurés par les côtés ou arcs de oe triangle, savoir, l'angle NOM par AB, MOP par AC et NOP par BC. Un angle G du triangle est mesuré par celui que forment deux tangentes enC aux arcs contigus AG, BG ; ces tangentes, situées dans les plans de ces arcs, mesurent l'angle dièdre de ces mômes plans, c'est-à-dire l'angle NOPM, parce que ces tangentes, étant perpendiculaires à OG, déterminent un plan perpendiculaire à ce rayon, qui est l'intersection dés deux plans NOPi FOM : ainsi l'angle G, celui que font ces tangentes, mesure l'inclinaison de ces plans l'un sur l'autre.

TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQIE. 6l

Donc les angles plans du trièdre 0 sont mesurés respectivement par les côtés du triangle sphérique ABC, et les inclinaisons des faces le sont pat les angles respectifs de ce triangle.

Étant données quelques parties d'un trièdre, si Ton se propose de trouver les autres, le problème revient à déterminer certains éléments d'un triangle sphérique, lorsqu'on connaît les autres. Il y a six parties, trois angles A, B, C, et les trois côtés respectivement opposés a, ^, c, ou, si Ton veut, trois angles dièdres A, B, C et les trois angles plans opposés a, b, c. Nous verrons bientôt que, quand on connaît trois de ces six éléments, on peut toujours trouver les trois autres.

D'après cela, que d'un point 0 on dirige des rayons visuels à trois points M, N, P de l'espace, tels que des étoiles, des signaux, etc. ; ces lignes sont les arêtes d'un trièdre 0, dont les éléments constituants sont ceux d'un triangle sphérique ABC. Ce triangle est formé par les sections des feces de ce trièdre avec la surface d'une sphère de rayon arbitraire, dont le centre est placé à l'œil du spectateur.

64. Ces principes servent à démontrer les théorèmes suivants :

1* Tout angle plan d'un trièdre étant nécessairement moindre que deux droits, chaque côté de tout triangle sphérique est < iSo"; chaque angle iài triangle est aussi plus petit que deux droits (c'est ce qui résulte aussi du triangle polaire; w/>n'* 65 ci-après).

Toutes les fois qu'un calcul conduira à trouver un arc > i8o° pour valeur de l'un des éléments de triangle sphérique, cette solution devra être rejetée comme impossible, ou du moins remplacée par le supplément de cet arc, et les cosinus, sinus, tangentes, etc., ne peuvent appartenir qu'à un arc moindre que la demi-circonférence.

a* Puisque la somme des angles plans de tout angle polyèdre est toujours moindre que quatre droits, la somme des trois côtés de tout triangle sjMrique est < 36o''. L'angle trièdre d'un cube étant formé de trois angles plans qui sont droits, on voit que chacun des côtés d'un triangle sphé-' rique peut ôtre de 90 degrés, et évidemment il peut aussi surpasser 90 degrés.

3* DeiiX triangles sphèriques sont égaux lorsque leurs trois angles, ou leurs trois côtés, ou deux côtés et l'angle compris, ou deux angles et le côté adjacent, sont respectivement égaux cJuicun à chacun. On suppose

62 G£OMORPHIE.

les rayons des sphères égaux, et ces théorèmes se démontrent, ainsi que les deux suivants, par les mêmes procédés que pour les triangles rectilignes.

4* Dans un triangle sphéiique isoscèle, rare abaissé du sommet perpencUctdai rement sur la base divise par moitié celte base et l'angle du sommet : les angles égaux sont opposés aux côtés égaux, et réciproquement.

5" Dans tout triangle sp/iénque, le plus grand angle est toujours oi^posé au plus grand côté, le moyen V est au moyen, le moindre au plus petit,

6** Un côté est toujours moindre que la somme des deux autres, et plus grand que leur différence. En effet, la somme des deux angles plans d'un trièdre surpasse le troisième, d'oti fl<AH-c;^<a-»-c; d'où « > ^ — c. Donc aussi la demi-somme des trois côtés d^un triangle spltérique surpasse toujours un quelconque de ses côtés; car, en remplaçant b-\-c par a-^i^ a-^b-^c devient aan-i; ainsi le demi-périmètre

est a -^ - i "^ a,

6S. Coupons notre trièdre 0 par trois plans respectivement perpendiculaires aux arêtes, ces plans détermineront un second trièdre O' (y^.4S) opposé au premier : il s'agit de prouver que les angles plans de l*un de ces trièdres sont suppléments des angles dièdres de l'atUre, et récipm» que ment.

En effet, l'une des faces du trièdre proposé 0 étant MON, menons, eii des points quelconques N, M, sur les arêtes OM, ON, deux plans perpendiculaires à ces droites, et par suite aux faces MON, MOP d'une part, MON, NOP de l'autre; les angles M et N du quadrilatère OMP'N sont droits; l'angle F est donc supplément de MON. Mais ces deux plans coupants sont des faces du nouveau trièdre 0', et se coupent suivant la droite O'P*, arête de ce corps. L'angle dièdre formé par ces plans est visiblement mesuré par l'angle MP'N, puisque le plan de cet angle est perpendiculaire à ses deux faces. Donc l'angle plan MON du premier est supplément de l'angle dièdre P' du second. Il en faut dire autant des deux autres faces MOP, NOP, qui sont supplément des anglesM'NP, NM'P. Les angles plans du trièdre 0 sont donc respectivement les suppléments des angles dièdres du trièdre opposé O'.

TRIGONOHBTIIIE SPUÊRIQUE. 03

Réciproquement, les angles plans du trièdre 0' sont les suppléments des angles dièdres du trièdre 0, par la même raison.

On conclut de là qu'en imaginant deux sphères de même rayon, dont les centres sont aux sommets 0 et 0', formant deux triangles sphériques ABC, Â'B'C, les côtés de Tun de ces triangles sont les suppléments dés angles de Tautre, et réciproquement. L'un des trièdres ou des triangles est appelé polaire ou supplémentaire de l'autre.

66. Étant donné un triangle sphérique dont Â, B, C [fig, 48) sont les angles, et a, b^ c les côtés respectivement opposés, on peut toujours en construire on autre dont A', B', C sont les angles, /i', b\ c' les côtés, tels que A, B, C soient les suppléments respectifs de a\ b\ c\ et a^ b, c suppléments de A', B', C, savoir :

On voit en outre que la somme des trois angles (te tout triangle sphérique est toujours comprise entre deux et six droits. En effet, d'une part, chaque angle étant moindre que deux droits, A + B + C < 6 droits ; et d'une autre part, en ajoutant les trois équations (2), on a

A -+- B -h C = 6 droits — (^/'-+- 6'-+- r') ;

et, comme on a vu que «'-♦- ^'h- c'<4 droits (64, 2*), on voit que A -+- B H- 0 a droits.

Les équations (1) et (2) sont fort utiles, car elles réduisent à trois les six problèmes de la Trigonométrie sphérique, qui consistent à trouver trois des six éléments d'un triangle, lorsqu'on connaît les autres. Supposons, par exemple, qu'on sache trouver les trois angles A, B, C, quand on connaît les trois côtés a^b^c: réciproquement, si l'on donne les trois angles A, B, C, pour trouver un côté a, on substituera au triangle son supplémentairo A' B'C, dont on connaît les trois côtés a', b ', c' par les équations (2) ; et lorsqu'on aura trouvé l'un A' des angles l'équation (i)

G4 GÉOMORPHIB.

donnera le côté opposé

iî=i8o*'— A'.

£n sorte qu'il suffit de savoir résoudre un triangle dont on connaît les trois côtés pour savoir aussi résoudre celui dont on connaît les trois angles; et ainsi des autres cas. C'est ce qui s'éclaircira mieux par la suite.

67. Si Ton coupe le trièdre 0 {Jîg. 49) par un pian pmn perpendiculaire à une arête OA, en un point m tel que 0/n = 1 , on a

mn = tangc, 0/ï = sécc, mp = tang^, Op s= séc^.

Or les triangles rectilignes mnp, npO donnent [équation (^5), p. 35J

npt = mn* h- pm* — 2 mn .pm . cos A, np*= /îO*-f-/>0'— a/ïO./?0.cos<?;

retranchant la première de la deuxième, il vient, à cause des triangles /î/wO, pmO, rectangles en m, et de Om = i ,

o = I -j- I — asécc. séc^. cosa -h 2 tangc. tang^. cos A; et mettant — pour séc, et — pour tang,

cosa sine. sine. cosA