On tire de Téquation

C0S« — cos A C03C

cosA =

sin^ sine

TftlGONOMÉTBlB SPHÉaiQUE. 65

d'où

I — cos* A = sin» A « I — ( r-T--. ) :

réduisant le deuxième membre au même dénominateur, et rempiaçanl sin* par i — cos*,

... I — C03* b — C0S*r — COS'fl -h 2C03<I COSi COSC

sin'A= — •.!.•• •

sm'0sm*c

Prenons la racine carrée, et divisons les deux membres par sina, nous voyons que le deuxième membre est une fonction symétrique de a, b, r, que nous nommerons M, savoir

sinA .,

-:: = Al.

sm^<

Changeant dans cette équation A et ^ en B et 6, en C et c, corn :ie M reste constant, on en tire cette équation

. sinA sinB sinC

^ ' sin« "" sinA "^ sine*

Ikuu tout triangle sphérique, les sintis des angles sont proportionnels aux sinus des côtés opposés.

69. Pour éliminer b de Téquation (3), mettons pour cos6 sa valeur (4),

, sinB sin^ ri-*

et — 7—T — pour smo; il vient

„ sinasinrsinBcosA cosfl = cosû cos'c -H sma smc cosc cosB h r—j- ;

mais

cos*c = i — sin*c;

donc, en divisant tout par sina x sine,

(6) sinccota «cosccosB-h sinBcotA*

En appliquant à l'équation (3) la propriété du triangle supplémentaire [équations(i)et(a)], c'est-à-dire changeantaen 180''— A,Aeni8o''— 0, ^ en iSo"*— B, . . . , nous avons

(7 ) — cos A » cosB cosG — sinB tuiCcosa.

F. - Géodésie. ^

66 GBOMORPHIB.

Ces théorèmes suffisent à la résolution de tous les triangles spbériques, ainsi qu'on le verra par les développements que nous allons donner; mais il y a encore une équation générale qu'on emploie quelquefois.

Éliminons cosc entre les équations (4) ; à cause de cos'^ = i — sin'^, et en divisant tout par sina, on trouve

(8) sinacos^ ^ sin^cosacosC + sinrcosB.

70. Nous devons encore ajouter que, dans les équations générales, entre certains éléments d'un triangle sphérique quelconque ABC, on peut changer a et A en 6 et B, ou bien en <: et C, et réciproquement : en sorte que nos équations (6), (7) et (8) en représentent chacune trois, comme réquat' n (3) en a donné deux autres (4)- On a, par exemple.

(lO)

(9) sinccot^ = cosrcosA + sinAcotB,

— cosB = cos A cosC — sinA sinC cosA, sine cosb = sinb cosc cosÀ -h sin/7 cosB, ....

Triangles sp/iériques rectangles.

71. Désignons Tangle droit par A et l'hypoténuse par a {Jïg, 5i); faisons donc A = 90* dans les équations (3), (5), (6), (7), (9) et (10) ;

( nt ) cosa = cos h cos c,

(n) sinA = sin^sinB,

(/>) tangr = tanga cosB,

[f/) cosrt = col B cote, (r) cotB = cotô sinr,

[s) cosB = sinC cosA.

Ces six équations sont propres au calcul logarithmique et suffisent à la résolution de tout triangle rectangle : Des cinq éléments a, b, c, B et G, tleux étant donnés, on peut toujours trouver les trois autres, chacun au moyen d'une de ces six équations. Ainsi la question est posée entre trois éléments dont un seul est inconnu. On dénommera les angles du triangle par A, B, C, l'angle droit étant A, et l'on cherchera celle de ces six équations qui comprend les trois éléments dont il s'agit ; mais, pour trouver cette équation, il pourra arriver qu'on soit obligé de changer de place

TRIGONOMETRIE SPHÉRIQUE. 67

les lettres B et C dans la figure. Suivant les divers cas qui se présent43nt, on choî^t les équations qui contiennent les trois éléments compris dans- le problème.

/ et deux angles B, C, . .., prenez l'équation... (7)

L'hypoténuso \ un angle B.f opposé Z>, . ». (/i)

a j et le côté ) adjacent r, y [p)

\ les trois côtés a, b^ c, » {m)

Un côté b de l'angle droit et les angles B, G, » [s)

Deux côtés 6, c de Tangle droit et un angle B, d (r)

72. Le fréquent usage qu'on fait de ces équations exige qu'on les ait sans cesse présentes à la mémoire, chose que le défaut de symétrie rend assez difficile. II y a un moyen empirique de les retrouver^ qui consiste à lire, sur la figure, les cinq éléments du triangle rectangle dans l'ordre où ils sont, en faisant Te tour, et à observer que les trois éléments entre lesquels on cherche une relation sont cotUigus, ou bien que deux éléments sont contigus et le troisième séparé : il est de fait qu'on a toujours : i"" Si les (rois éléments sont contigus :

cos arc intermédiaire ^ produit des cot des deux autres arcs ;

a* Si deux éléments sont contigus et le troisième séparé :

cos arc séparé » produit des sin des deux autres arcs contigus.

Seulement, en appliquant co théorème, il faut remplacer les deux côtés de l'angle droit par leur complément, c'est-à-dire leurs sin par cos, leurs tang par cot, etc. On peut, en effet, vérifier que ces deux propositions reproduisent exactement nos six équations : dans le premier cas on a les équations ^, 7, r, et les autres dans le second.

I* De l'équation (m) on conclut que le cosinus de /'hypoténuse est égal au produit des cosinus des deux autres côtés; ainsi l'un des trois côtés est < ou > 90^, selon que les deux autres côtés sont d'espèces semblables ou difiérentes, car les cosinus d'arcs > 90"* sont négatifs.

2^ L'équation (7) montre que, si l'on compare l'hypoténuse aux deux angles adjacents B et C, l'un de ces trois arcs est > ou <9o'', selon que les deux autres arcs sont d'espèces semblables ou différentes.

3* Les équations (r) ou (^) prouvent que chacun des angles B et G est toujours de môme espèce que le côté oppo jé.

68 GfiOMORPHIB.

4'' De même l'équalion (p) montre que Thypoténuse et un côté sont de môme espèce, quand l'angle compris est < go"", et d'espèces différentes quand cet angle est > 90**.

Nous entendons par des arcs de môme espèce ceux qui sont ensemble soit <, soit >9o''; et d'espèces différentes quand Tun des arcs est < et l'autre > 90'.

5"* Enfin, si le côté b de l'angle droit égale 90 degrés, on aura

cos6 = o,

et, d'après les équations (m] et (^ ),

cosûf = o, cosb = o.

Les côtés GA, GB sont donc chacun de 90 degrés et perpendiculaires sur AB ; le triangle est isoscèle birectangle; G est le pôle de l'arc AB {fi^, 52), c'est-à-dire que G est distant de 90 degrés de tous les points de cet arc.

73. Quoique nos équations résolvent tous les triangles sphériques rectangles, il convient de remarquer qu'elles ne donneraient pas les valeurs des inconnues avec précision, si ces arcs étaient très-petits et donnés par des sinus ou bien s'ils étaient exprimés par des cosinus vois^ins de 90 degrés. Voici comment on doit opérer dans ces cas :

1* On a [équation (8), p. Sa]

,1 I — cosx tang - a: = :

si l'on demande l'hypoténuse a, connaissant B et G, Téquation (7) donne

,1 .1 — cotBcotG sinBsinG — cosBcosC

tang' — a= = «

° a I -H cotB cotG sinB sinG -h cosB cosG

t \ * •! cos(B-hG)

(>0 tang*-a = )-^ — 7^;

^ ' ° a cos(B —G)'

on voit par cette équation que la somme des deux angles B etG est > 90**,

puisque le second membre est négatif et doit devenir positif.

a* De môme, pour obtenir un côté b de l'angle droit, connaissant B cl

G, l'équation (s) donne

, cosB

COS^ = -r-TT)

smG'

T]IICM>NOHéTRIB SPHÉRIQUE. 69

on poso

» = 9o'»-B, d*où

cosB = sin» et cos^ = -=— t^* smC

ainsi Ton a [équation (8), p. Sa]

Hp^'fr^MnC~8ing^tangi(C^z)^tang[i(B-hC)^45T.

^a sinC-f-9in« tangitCn-z) tang[}(C-B)-h451'

tangi6= Y/tang[l|B-C) + 45']tang[i(B-4.C)«45-].

y* Connaissant Thypoténuse a et un côté c^ pour trouver l'angle adjacent B, réquation (p) donne

-i„ I — tangrcota cosrsina— -sinccosa

tang«- B = -—2 = , : ,

^ a I + tangr cota cosc sina + smc cosa

(la) tang-B=: 4/-r-7 -•

^ ' '^a Ysin(fl-+-c)

On remarquera que les sinus de a — c et a-^c doivent avoir le même signe, pour éviter les imaginaires; donc, si a h- c > 180*, l'hypoténuse ^ doit être <r. On voit donc que, quand le triangle a des angles obtus, l'hypoténuse a n'est pas le plus grand côté. C'est, au reste, ce que la Jig, 55 mettra en évidence (n*" 87).

4*" L'équation {m) donne

cos/i cosc= — 5 >

d'où

(i3) tang'- tf = tang-(flf-h6)tang-(« — 6).

5*" Enfin, si l'on cherche un côté b, connaissant l'angle opposé B et l'hy-

poténuse a, au lieu d'employer l'équation (71) quand b est voisin de

90 degrés, posez

A = 90** — a «, tang X = sin a sin B,

l'équation {n) revient à

cosas=tangf, d*où

^"«'^ = i^teng^ = Ung(45--xi;

^^S* GÉOMORPllIE.

ainsi

(i4) tang^45*»-i*) = v^tang(45--x).

L'arc X étant calculé par l'équation

tangx = sin^sinB,

cette dernière donnera b,

74. Nous donnerons ici les cinq éléments constitutifs d'un triangle sphérique rectangle, afin qu'on puisse s'exercer à l'application numérique des formules, en prenant à volonté deux de ces éléments et calculant les trois autres.

Triangle rectangle d*épreuve.